Coordenadas esferoidales oblatas

Sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales

Figura 1: Isosuperficies de coordenadas para un punto  P (mostrado como una esfera negra) en coordenadas esferoidales achatadas ( μ , ν , φ ) . El eje z es vertical y los focos están en  ±2 . El esferoide achatado rojo (esfera aplanada) corresponde a μ = 1 , mientras que el semihiperboloide azul corresponde a ν = 45° . El acimut φ = −60° mide el ángulo diedro entre el semiplano xz verde y el semiplano amarillo que incluye el punto  P . Las coordenadas cartesianas de P son aproximadamente (1,09, −1,89, 1,66) .

Las coordenadas esferoidales achatadas son un sistema de coordenadas ortogonal tridimensional que resulta de rotar el sistema de coordenadas elíptico bidimensional sobre el eje no focal de la elipse, es decir, el eje de simetría que separa los focos. De esta manera, los dos focos se transforman en un anillo de radio en el plano x - y . (La rotación sobre el otro eje produce coordenadas esferoidales alargadas ). Las coordenadas esferoidales achatadas también pueden considerarse como un caso límite de coordenadas elipsoidales en el que los dos semiejes mayores tienen la misma longitud. ${\displaystyle a}$

Las coordenadas esferoidales oblatas suelen ser útiles para resolver ecuaciones diferenciales parciales cuando las condiciones de contorno se definen en un esferoide oblato o un hiperboloide de revolución . Por ejemplo, desempeñaron un papel importante en el cálculo de los factores de fricción de Perrin , que contribuyeron a la concesión del Premio Nobel de Física de 1926 a Jean Baptiste Perrin . Estos factores de fricción determinan la difusión rotacional de las moléculas, lo que afecta a la viabilidad de muchas técnicas como la RMN de proteínas y a partir de la cual se puede inferir el volumen hidrodinámico y la forma de las moléculas. Las coordenadas esferoidales oblatas también son útiles en problemas de electromagnetismo (p. ej., constante dieléctrica de moléculas oblatas cargadas), acústica (p. ej., dispersión del sonido a través de un orificio circular), dinámica de fluidos (p. ej., el flujo de agua a través de la boquilla de una manguera contra incendios) y la difusión de materiales y calor (p. ej., enfriamiento de una moneda al rojo vivo en un baño de agua)

Definición (μ,ν,φ)

Figura 2: Representación gráfica de las coordenadas esferoidales achatadas μ y ν en el plano x - z , donde φ es cero y a es igual a uno. Las curvas de μ constante forman elipses rojas, mientras que las de ν constante forman semihipérbolas cian en este plano. El eje z discurre verticalmente y separa los focos; las coordenadas z y ν siempre tienen el mismo signo. Las superficies de μ y ν constantes en tres dimensiones se obtienen por rotación alrededor del eje z , y son las superficies roja y azul, respectivamente, en la Figura 1.

La definición más común de coordenadas esferoidales oblatas es ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \varphi \\y&=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \varphi \\z&=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \end{aligned}}}$$

donde es un número real no negativo y el ángulo . El ángulo acimutal puede caer en cualquier lugar de un círculo completo, entre . Estas coordenadas se prefieren a las alternativas siguientes porque no son degeneradas; el conjunto de coordenadas describe un punto único en coordenadas cartesianas . Lo inverso también es cierto, excepto en el eje y el disco en el plano dentro del anillo focal. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu \in \left[-\pi /2,\pi /2\right]}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pm \pi }$ ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle xy}$

Superficies de coordenadas

Las superficies de μ constante forman esferoides achatados , por la identidad trigonométrica $${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$$

ya que son elipses rotadas alrededor del eje z , que separa sus focos. Una elipse en el plano x - z (Figura 2) tiene un semieje mayor de longitud a cosh μ a lo largo del eje x , mientras que su semieje menor tiene longitud a sinh μ a lo largo del eje z . Los focos de todas las elipses en el plano x - z están ubicados en el eje x en ± a .

De manera similar, las superficies de constante ν forman semihiperboloides de revolución de una sola hoja mediante la identidad trigonométrica hiperbólica

$${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$$

Para ν positivo , el semihiperboloide está por encima del plano x - y (es decir, tiene z positivo ), mientras que para ν negativo, el semihiperboloide está por debajo del plano x - y (es decir, tiene z negativo ). Geométricamente, el ángulo ν corresponde al ángulo de las asíntotas de la hipérbola. Los focos de todas las hipérbolas también están ubicados en el eje x en ± a .

Transformación inversa

Las coordenadas (μ, ν, φ) se pueden calcular a partir de las coordenadas cartesianas ( x , y , z ) de la siguiente manera. El ángulo azimutal φ se obtiene mediante la fórmula $${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$$

El radio cilíndrico ρ del punto P está dado por y sus distancias a los focos en el plano definido por φ están dadas por $${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}\\d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}\end{aligned}}}$$

Las coordenadas restantes μ y ν se pueden calcular a partir de las ecuaciones $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh \mu &={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}\\\cos \nu &={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}\end{aligned}}}$$

donde el signo de μ es siempre no negativo y el signo de ν es el mismo que el de z .

Otro método para calcular la transformada inversa es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\operatorname {Re} \operatorname {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}\\\nu &=\operatorname {Im} \operatorname {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}\\\phi &=\arctan {\frac {y}{x}}\end{aligned}}}$$

dónde $${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$

Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas μ y ν son iguales , mientras que el factor de escala azimutal es igual $${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$$ $${\displaystyle h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu }$$

En consecuencia, un elemento de volumen infinitesimal es igual a y el laplaciano se puede escribir $${\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu \,d\nu \,d\phi }$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$$

Otros operadores diferenciales como y pueden expresarse en las coordenadas (μ, ν, φ) sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

Vectores de base

Los vectores base ortonormales del sistema de coordenadas se pueden expresar en coordenadas cartesianas como ${\displaystyle \mu ,\nu ,\phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{\mu }&={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(\sinh \mu \cos \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\sinh \mu \cos \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\cosh \mu \sin \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)\\{\hat {e}}_{\nu }&={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(-\cosh \mu \sin \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}-\cosh \mu \sin \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\sinh \mu \cos \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)\\{\hat {e}}_{\phi }&=-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}\end{aligned}}}$$

donde son los vectores unitarios cartesianos. Aquí, es el vector normal externo a la superficie esferoidal achatada de constante , es el mismo vector unitario azimutal de coordenadas esféricas, y se encuentra en el plano tangente a la superficie esferoidal achatada y completa el conjunto base dextrógiro. ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {i}}},{\boldsymbol {\hat {j}}},{\boldsymbol {\hat {k}}}}$ ${\displaystyle {\hat {e}}_{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\hat {e}}_{\phi }}$ ${\displaystyle {\hat {e}}_{\nu }}$

Definición (ζ, ξ, φ)

A veces se utiliza otro conjunto de coordenadas esferoidales achatadas , donde y (Smythe 1968). Las curvas de constante son esferoides achatados y las curvas de constante son hiperboloides de revolución. La coordenada está restringida por y está restringida por . ${\displaystyle (\zeta ,\xi ,\phi )}$ ${\displaystyle \zeta =\sinh \mu }$ ${\displaystyle \xi =\sin \nu }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle 0\leq \zeta <\infty }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle -1\leq \xi <1}$

La relación con las coordenadas cartesianas es $${\displaystyle {\begin{aligned}x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi \\y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi \\z=a\zeta \xi \end{aligned}}}$$

Factores de escala

Los factores de escala para son: ${\displaystyle (\zeta ,\xi ,\phi )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\zeta }&=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}\\h_{\xi }&=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\\h_{\phi }&=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\end{aligned}}}$$

Conociendo los factores de escala, se pueden calcular diversas funciones de las coordenadas mediante el método general descrito en el artículo sobre coordenadas ortogonales . El elemento de volumen infinitesimal es: $${\displaystyle dV=a^{3}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)d\zeta \,d\xi \,d\phi }$$

El gradiente es: $${\displaystyle \nabla V={\frac {1}{h_{\zeta }}}{\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\,{\hat {\zeta }}+{\frac {1}{h_{\xi }}}{\frac {\partial V}{\partial \xi }}\,{\hat {\xi }}+{\frac {1}{h_{\phi }}}{\frac {\partial V}{\partial \phi }}\,{\hat {\phi }}}$$

La divergencia es: $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{a(\zeta ^{2}+\xi ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left({\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\zeta }\right)+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\sqrt {1-\xi ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\xi }\right)\right\}+{\frac {1}{a{\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}}$$

y el laplaciano es igual $${\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}}$$

Armónicos esferoidales oblatos

Como es el caso de las coordenadas esféricas y los armónicos esféricos , la ecuación de Laplace puede resolverse mediante el método de separación de variables para obtener soluciones en forma de armónicos esferoidales oblatos , que son convenientes de usar cuando las condiciones de contorno se definen en una superficie con una coordenada esferoidal oblata constante.

Siguiendo la técnica de separación de variables , se escribe una solución a la ecuación de Laplace: $${\displaystyle V=Z(\zeta )\,\Xi (\xi )\,\Phi (\phi )}$$

Esto produce tres ecuaciones diferenciales independientes en cada una de las variables: donde m es una constante que es un número entero porque la variable φ es periódica con un período de 2π. n será entonces un número entero. Las soluciones de estas ecuaciones son: donde son constantes y y son polinomios de Legendre asociados de primera y segunda clase respectivamente. El producto de las tres soluciones se denomina armónico esferoidal achatado y la solución general de la ecuación de Laplace se escribe: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\zeta }}\left[(1+\zeta ^{2}){\frac {dZ}{d\zeta }}\right]+{\frac {m^{2}Z}{1+\zeta ^{2}}}-n(n+1)Z=0\\{\frac {d}{d\xi }}\left[(1-\xi ^{2}){\frac {d\Xi }{d\xi }}\right]-{\frac {m^{2}\Xi }{1-\xi ^{2}}}+n(n+1)\Xi =0\\{\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}=-m^{2}\Phi \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{mn}&=A_{1}P_{n}^{m}(i\zeta )+A_{2}Q_{n}^{m}(i\zeta )\\[1ex]\Xi _{mn}&=A_{3}P_{n}^{m}(\xi )+A_{4}Q_{n}^{m}(\xi )\\[1ex]\Phi _{m}&=A_{5}e^{im\phi }+A_{6}e^{-im\phi }\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle P_{n}^{m}(z)}$ ${\displaystyle Q_{n}^{m}(z)}$ $${\displaystyle V=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }\,Z_{mn}(\zeta )\,\Xi _{mn}(\xi )\,\Phi _{m}(\phi )}$$

Las constantes se combinarán para producir solo cuatro constantes independientes para cada armónico.

Definición (σ, τ, φ)

Figura 3: Isosuperficies de coordenadas para un punto P (mostradas como una esfera negra) en las coordenadas esferoidales oblatas alternativas (σ, τ, φ). Como antes, el esferoide oblato correspondiente a σ se muestra en rojo, y φ mide el ángulo azimutal entre los semiplanos verde y amarillo. Sin embargo, la superficie de la constante τ es un hiperboloide de una sola hoja, que se muestra en azul. Esto produce una degeneración doble, mostrada por las dos esferas negras ubicadas en ( x , y , ± z ).

A veces se utiliza un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas esferoidales achatadas (σ, τ, φ), donde σ = cosh μ y τ = cos ν. ^[1] Por lo tanto, la coordenada σ debe ser mayor o igual que uno, mientras que τ debe estar entre ±1, inclusive. Las superficies de σ constante son esferoides achatados, como lo eran las de μ constante, mientras que las curvas de τ constante son hiperboloides completos de revolución, incluidos los semihiperboloides correspondientes a ±ν. Por lo tanto, estas coordenadas son degeneradas; dos puntos en coordenadas cartesianas ( x , y , ± z ) se asignan a un conjunto de coordenadas (σ, τ, φ). Esta doble degeneración en el signo de z es evidente a partir de las ecuaciones que transforman las coordenadas esferoidales achatadas en coordenadas cartesianas. $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sigma \tau \cos \phi \\y&=a\sigma \tau \sin \phi \\z^{2}&=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Las coordenadas y tienen una relación simple con las distancias al anillo focal. Para cualquier punto, la suma de sus distancias al anillo focal es igual a , mientras que su diferencia es igual a . Por lo tanto, la distancia "lejana" al anillo focal es , mientras que la distancia "cercana" es . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\tau }$ ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$ ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$

Superficies de coordenadas

De manera similar a su contraparte μ, las superficies de σ constante forman esferoides achatados . $${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1}$$

De manera similar, las superficies de τ constante forman hiperboloides de revolución de una sola hoja completos. $${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1}$$

Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas esferoidales oblatas alternativas son mientras que el factor de escala azimutal es . ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}\\h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau }$

Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal se puede escribir y el laplaciano es igual a $${\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(\tau {\sqrt {1-\tau ^{2}}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$$

Otros operadores diferenciales como y pueden expresarse en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

Como es el caso de las coordenadas esféricas , la ecuación de Laplace puede resolverse mediante el método de separación de variables para obtener soluciones en forma de armónicos esferoidales achatados , que son convenientes de usar cuando las condiciones de contorno se definen en una superficie con una coordenada esferoidal achatada constante (véase Smythe, 1968).

Véase también

• Coordenadas elipsoidales (geodesia)

Referencias

1. Abramowitz y Stegun, pág. 752.

Bibliografía

No hay convención de ángulos

• Morse PM, Feshbach H (1953). Métodos de física teórica, parte I. Nueva York: McGraw-Hill. pág. 662. Utiliza ξ ₁ = a sinh μ, ξ ₂ = sin ν y ξ ₃ = cos φ.
• Zwillinger D (1992). Manual de integración . Boston, MA: Jones y Bartlett. pág. 115. ISBN. 0-86720-293-9. Igual que Morse y Feshbach (1953), sustituyendo u _k por ξ _k .
• Smythe, WR (1968). Electricidad estática y dinámica (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. pag. 98.LCCN 67025285  . Utiliza coordenadas híbridas ξ ​​= sinh μ, η = sin ν y φ.

Convención de ángulos

• Korn GA, Korn TM (1961). Manual matemático para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pág. 177. LCCN  59014456. Korn y Korn utilizan las coordenadas (μ, ν, φ), pero también introducen las coordenadas degeneradas (σ, τ, φ).
• Margenau H, Murphy GM (1956). Matemáticas de la física y la química . Nueva York: D. van Nostrand. pág. 182. LCCN  55010911. Como Korn y Korn (1961), pero utiliza colatitud θ = 90° - ν en lugar de latitud ν.
• Moon PH, Spencer DE (1988). "Coordenadas esferoidales oblatas (η, θ, ψ)". Manual de teoría de campos, incluidos sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (2.ª edición corregida, 3.ª edición impresa). Nueva York: Springer Verlag. págs. 31–34 (Tabla 1.07). ISBN 0-387-02732-7. Moon y Spencer utilizan la convención de colatitud θ = 90° - ν, y renombran φ como ψ.

Convención inusual

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Electrodinámica de medios continuos (volumen 8 del Curso de física teórica ) (2.ª ed.). Nueva York: Pergamon Press. págs. 19-29. ISBN 978-0-7506-2634-7. Trata las coordenadas esferoidales achatadas como un caso límite de las coordenadas elipsoidales generales . Utiliza coordenadas (ξ, η, ζ) que tienen las unidades de distancia al cuadrado.

Enlaces externos

• Descripción de MathWorld de coordenadas esferoidales oblatas