Coordenadas esferoidales alargadas

Las tres superficies de coordenadas de las coordenadas esferoidales alargadas. El esferoide alargado rojo (esfera estirada) corresponde a μ = 1, y el hiperboloide  de dos láminas azul corresponde a ν  = 45°. El semiplano amarillo corresponde a φ  = −60°, que se mide en relación con el eje x (resaltado en verde). La esfera negra representa el punto de intersección de las tres superficies, que tiene coordenadas cartesianas de aproximadamente (0,831, −1,439, 2,182).

Las coordenadas esferoidales prolatas son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que resulta de rotar el sistema de coordenadas elíptico bidimensional sobre el eje focal de la elipse, es decir, el eje de simetría en el que se encuentran los focos. La rotación sobre el otro eje produce coordenadas esferoidales achatadas . Las coordenadas esferoidales prolatas también pueden considerarse como un caso límite de coordenadas elipsoidales en el que los dos ejes principales más pequeños tienen la misma longitud.

Las coordenadas esferoidales alargadas se pueden utilizar para resolver varias ecuaciones diferenciales parciales en las que las condiciones de contorno coinciden con su simetría y forma, como resolver un campo producido por dos centros, que se toman como focos en el eje z . Un ejemplo es resolver la función de onda de un electrón que se mueve en el campo electromagnético de dos núcleos cargados positivamente , como en el ion molecular de hidrógeno , H ₂ ⁺ . Otro ejemplo es resolver el campo eléctrico generado por dos pequeñas puntas de electrodo . Otros casos límite incluyen áreas generadas por un segmento de línea ( μ  = 0) o una línea con un segmento faltante (ν = 0). La estructura electrónica de moléculas diatómicas generales con muchos electrones también se puede resolver con excelente precisión en el sistema de coordenadas esferoidales alargadas. ^[1]

Definición

Coordenadas esferoidales alargadas μ y ν para a  = 1. Las líneas de valores iguales de μ y ν se muestran en el plano xz , es decir para φ  = 0. Las superficies de μ y ν constantes se obtienen por rotación alrededor del eje z , de modo que el diagrama es válido para cualquier plano que contenga el eje z : es decir para cualquier φ .

La definición más común de coordenadas esferoidales proladas es ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$

${\displaystyle x=a\sinh \mu \sin \nu \cos \varphi }$

${\displaystyle y=a\sinh \mu \sin \nu \sin \varphi }$

${\displaystyle z=a\cosh \mu \cos \nu }$

donde es un número real no negativo y . El ángulo azimutal pertenece al intervalo . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \nu \in [0,\pi ]}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

La identidad trigonométrica

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$

muestra que las superficies de forma constante alargan los esferoides , ya que son elipses rotadas alrededor del eje que une sus focos. De manera similar, la identidad trigonométrica hiperbólica ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$

muestra que las superficies de constante forman hiperboloides de revolución. ${\displaystyle \nu }$

Las distancias desde los focos ubicados en son ${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,\pm a)}$

${\displaystyle r_{\pm }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z\mp a)^{2}}}=a(\cosh \mu \mp \cos \nu ).}$

Factores de escala

Los factores de escala para las coordenadas elípticas son iguales ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$

${\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$

mientras que el factor de escala azimutal es

${\displaystyle h_{\varphi }=a\sinh \mu \sin \nu ,}$

resultando en una métrica de

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=h_{\mu }^{2}d\mu ^{2}+h_{\nu }^{2}d\nu ^{2}+h_{\varphi }^{2}d\varphi ^{2}\\&=a^{2}\left[(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )d\mu ^{2}+(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )d\nu ^{2}+(\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu )d\varphi ^{2}\right].\end{aligned}}}$

En consecuencia, un elemento de volumen infinitesimal es igual a

${\displaystyle dV=a^{3}\sinh \mu \sin \nu (\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )\,d\mu \,d\nu \,d\varphi }$

y el laplaciano se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {1}{a^{2}(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu )}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}\end{aligned}}}$

Otros operadores diferenciales como y pueden expresarse en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\mu ,\nu ,\varphi )}$

Definición alternativa

En principio, una definición de coordenadas esferoidales alargadas podría ser degenerada. En otras palabras, un único conjunto de coordenadas podría corresponder a dos puntos en coordenadas cartesianas ; esto se ilustra aquí con dos esferas negras, una en cada hoja del hiperboloide y ubicadas en ( x , y , ± z ). Sin embargo, ninguna de las definiciones presentadas aquí es degenerada.

A veces se utiliza un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas esferoidales alargadas , donde y . Por lo tanto, las curvas de constante son esferoides alargados, mientras que las curvas de constante son hiperboloides de revolución. La coordenada pertenece al intervalo [−1, 1], mientras que la coordenada debe ser mayor o igual a uno. ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$ ${\displaystyle \sigma =\cosh \mu }$ ${\displaystyle \tau =\cos \nu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$

Las coordenadas y tienen una relación simple con las distancias a los focos y . Para cualquier punto en el plano, la suma de sus distancias a los focos es igual a , mientras que su diferencia es igual a . Por lo tanto, la distancia a es , mientras que la distancia a es . (Recuerde que y están ubicados en y , respectivamente). Esto da las siguientes expresiones para , y : ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle d_{1}+d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\sigma }$ ${\displaystyle d_{1}-d_{2}}$ ${\displaystyle 2a\tau }$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle a(\sigma +\tau )}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle a(\sigma -\tau )}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle z=-a}$ ${\displaystyle z=+a}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2a}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{2a}}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}-{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)}$

A diferencia de las coordenadas esferoidales oblatas análogas , las coordenadas esferoidales proladas (σ, τ, φ) no son degeneradas; en otras palabras, existe una correspondencia única y reversible entre ellas y las coordenadas cartesianas.

${\displaystyle x=a{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}\cos \varphi }$

${\displaystyle y=a{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}\sin \varphi }$

${\displaystyle z=a\ \sigma \ \tau }$

Factores de escala alternativos

Los factores de escala para las coordenadas elípticas alternativas son ${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\varphi )}$

${\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}$

${\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}$

mientras que el factor de escala azimutal es ahora

${\displaystyle h_{\varphi }=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}$

Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal se convierte en

${\displaystyle dV=a^{3}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }$

y el laplaciano es igual

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {1}{a^{2}(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[(1-\tau ^{2}){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}\\&{}+{\frac {1}{a^{2}(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}\end{aligned}}}$

Otros operadores diferenciales como y pueden expresarse en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$

Como es el caso de las coordenadas esféricas , la ecuación de Laplace puede resolverse mediante el método de separación de variables para obtener soluciones en forma de armónicos esferoidales alargados , que son convenientes de usar cuando las condiciones de contorno se definen en una superficie con una coordenada esferoidal alargada constante (véase Smythe, 1968).

Referencias

1. Lehtola, Susi (21 de mayo de 2019). "Una revisión sobre cálculos de estructura electrónica totalmente numéricos y no relativistas sobre átomos y moléculas diatómicas". Int. J. Quantum Chem . 119 : e25968. arXiv : 1902.01431 . doi : 10.1002/qua.25968 .

Bibliografía

No hay convención de ángulos

• Morse PM, Feshbach H (1953). Métodos de física teórica, parte I. Nueva York: McGraw-Hill. pág. 661. Utiliza ξ ₁ = a cosh μ , ξ ₂ = sin ν y ξ ₃ = cos φ .
• Zwillinger D (1992). Manual de integración . Boston, MA: Jones y Bartlett. pág. 114. ISBN. 0-86720-293-9. Igual que Morse y Feshbach (1953), sustituyendo u _k por ξ _k .
• Smythe, WR (1968). Electricidad estática y dinámica (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. pag. 97.LCCN 67025285  . Utiliza coordenadas ξ ​​= cosh μ , η = sin ν y φ .

Convención de ángulos

• Korn GA, Korn TM (1961). Manual matemático para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pág. 177. LCCN  59014456. Korn y Korn utilizan las coordenadas (μ, ν, φ), pero también introducen las coordenadas degeneradas (σ, τ, φ).
• Margenau H, Murphy GM (1956). Matemáticas de la física y la química . Nueva York: D. van Nostrand. págs. 180-182. LCCN  55010911. Similar a Korn y Korn (1961), pero utiliza colatitud θ = 90° - ν en lugar de latitud ν.
• Moon PH, Spencer DE (1988). "Coordenadas esferoidales alargadas (η, θ, ψ)". Manual de teoría de campos, incluidos sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (2.ª edición corregida, 3.ª edición impresa). Nueva York: Springer Verlag. págs. 28-30 (tabla 1.06). ISBN 0-387-02732-7. Moon y Spencer utilizan la convención de colatitud θ = 90° − ν , y renombran φ como ψ .

Convención inusual

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Electrodinámica de medios continuos (volumen 8 del Curso de física teórica ) (2.ª ed.). Nueva York: Pergamon Press. págs. 19-29. ISBN 978-0-7506-2634-7. Trata las coordenadas esferoidales alargadas como un caso límite de las coordenadas elipsoidales generales . Utiliza coordenadas (ξ, η, ζ) que tienen las unidades de distancia al cuadrado.

Enlaces externos

• Descripción de MathWorld de coordenadas esferoidales alargadas