Ejes semimayores y semimenores

Término en geometría; semidiámetros más largo y más corto de una elipse

El semieje mayor ( a ) y el semieje menor ( b ) de una elipse

En geometría , el eje mayor de una elipse es su diámetro más largo : un segmento de línea que pasa por el centro y ambos focos , con extremos en los dos puntos más separados del perímetro . El semieje mayor ( semieje mayor ) es el semidiámetro más largo o la mitad del eje mayor, y por lo tanto va desde el centro, a través de un foco , y hasta el perímetro. El semieje menor ( semieje menor ) de una elipse o hipérbola es un segmento de línea que está en ángulo recto con el semieje mayor y tiene un extremo en el centro de la sección cónica . Para el caso especial de un círculo, las longitudes de los semiejes son ambas iguales al radio del círculo.

La longitud del semieje mayor a de una elipse está relacionada con la longitud del semieje menor b a través de la excentricidad e y el semilato recto , de la siguiente manera: ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

El semieje mayor de una hipérbola es, según la convención, más o menos la mitad de la distancia entre las dos ramas. Por lo tanto, es la distancia desde el centro hasta cualquiera de los vértices de la hipérbola.

Una parábola se puede obtener como el límite de una secuencia de elipses donde un foco se mantiene fijo mientras que el otro puede alejarse arbitrariamente en una dirección, manteniéndose fijo. Por lo tanto, a y b tienden al infinito, a más rápido que b . ${\displaystyle \ell }$

Los ejes mayor y menor son los ejes de simetría de la curva: en una elipse, el eje menor es el más corto; en una hipérbola, es el que no interseca a la hipérbola.

Elipse

La ecuación de una elipse es

${\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,}$

donde ( h ,  k ) es el centro de la elipse en coordenadas cartesianas , en la que un punto arbitrario está dado por ( x ,  y ).

El semieje mayor es el valor medio de las distancias máxima y mínima y de la elipse desde un foco, es decir, de las distancias desde un foco hasta los puntos finales del eje mayor. ${\displaystyle r_{\text{max}}}$ ${\displaystyle r_{\text{min}}}$

Excentricidad e en términos de los ejes semimayor a y semimenor b : e ² + ( b/a )² = 1

${\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}$

En astronomía, estos puntos extremos se llaman ábsides . ^[1]

El semieje menor de una elipse es la media geométrica de estas distancias:

${\displaystyle b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.}$

La excentricidad de una elipse se define como

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},}$

entonces

${\displaystyle r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).}$

Consideremos ahora la ecuación en coordenadas polares , con un foco en el origen y el otro en la dirección: ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle r(1+e\cos \theta )=\ell .}$

El valor medio de y , para y es ${\displaystyle r=\ell /(1-e)}$ ${\displaystyle r=\ell /(1+e)}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.}$

En una elipse, el semieje mayor es la media geométrica de la distancia desde el centro a cualquiera de los focos y la distancia desde el centro a cualquiera de las directrices.

El semieje menor de una elipse va desde el centro de la elipse (un punto a medio camino entre los focos y sobre la línea que los une ) hasta el borde de la elipse. El semieje menor es la mitad del eje menor. El eje menor es el segmento de línea más largo perpendicular al eje mayor que conecta dos puntos en el borde de la elipse.

El semieje menor b está relacionado con el semieje mayor a a través de la excentricidad e y el semilato recto , de la siguiente manera: ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}$

Una parábola se puede obtener como el límite de una secuencia de elipses donde un foco se mantiene fijo mientras que el otro puede alejarse arbitrariamente en una dirección, manteniéndose fijo. Por lo tanto, a y b tienden al infinito, a más rápido que b . ${\displaystyle \ell }$

La longitud del semieje menor también se puede encontrar utilizando la siguiente fórmula: ^[2]

${\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},}$

donde f es la distancia entre los focos, p y q son las distancias de cada foco a cualquier punto de la elipse.

Hipérbola

El semieje mayor de una hipérbola es, dependiendo de la convención, más o menos la mitad de la distancia entre las dos ramas; si este está en la dirección x la ecuación es: ^[3]

${\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}$

En cuanto al recto semilato y la excentricidad, tenemos

${\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}.}$

El eje transversal de una hipérbola coincide con el eje mayor. ^[4]

En una hipérbola, un eje conjugado o eje menor de longitud , correspondiente al eje menor de una elipse, puede trazarse perpendicular al eje transversal o eje mayor, este último conectando los dos vértices (puntos de giro) de la hipérbola, con los dos ejes intersecándose en el centro de la hipérbola. Los puntos finales del eje menor se encuentran a la altura de las asíntotas sobre/debajo de los vértices de la hipérbola. Cualquier mitad del eje menor se llama semieje menor, de longitud b . Denotando la longitud del semieje mayor (distancia desde el centro a un vértice) como a , las longitudes de los semiejes menor y semieje mayor aparecen en la ecuación de la hipérbola en relación con estos ejes de la siguiente manera: ${\displaystyle 2b}$ ${\displaystyle (0,\pm b)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

El semieje menor es también la distancia desde uno de los focos de la hipérbola hasta una asíntota. A menudo llamado parámetro de impacto , es importante en física y astronomía, y mide la distancia que una partícula alcanzará sin tocar el foco si su recorrido no es perturbado por el cuerpo que se encuentra en el foco. ^{[ cita requerida ]}

El semieje menor y el semieje mayor están relacionados a través de la excentricidad, de la siguiente manera:

${\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.}$^[5]

Nótese que en una hipérbola b puede ser mayor que a . ^[6]

Astronomía

Periodo orbital

Gráfico logarítmico-logarítmico del período T frente al semieje mayor a (promedio del afelio y perihelio) de algunas órbitas del Sistema Solar (las cruces indican los valores de Kepler) que muestran que a ³  /  T ^{‍ 2} es constante (línea verde)

En astrodinámica, el período orbital T de un cuerpo pequeño que orbita un cuerpo central en una órbita circular o elíptica es: ^[1]

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}$

dónde:

a es la longitud del semieje mayor de la órbita,

${\displaystyle \mu }$es el parámetro gravitacional estándar del cuerpo central.

Nótese que para todas las elipses con un semieje mayor dado, el período orbital es el mismo, sin tener en cuenta su excentricidad.

El momento angular específico h de un cuerpo pequeño que orbita alrededor de un cuerpo central en una órbita circular o elíptica es ^[1]

${\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}$

dónde:

a y son como se definen anteriormente, ${\displaystyle \mu }$

e es la excentricidad de la órbita.

En astronomía , el semieje mayor es uno de los elementos orbitales más importantes de una órbita , junto con su período orbital . Para los objetos del Sistema Solar , el semieje mayor está relacionado con el período de la órbita por la tercera ley de Kepler (derivada originalmente de manera empírica ): ^[1]

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}$

donde T es el período y a es el semieje mayor. Esta forma resulta ser una simplificación de la forma general para el problema de dos cuerpos , determinada por Newton : ^[1]

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}$

donde G es la constante gravitacional , M es la masa del cuerpo central y m es la masa del cuerpo en órbita. Normalmente, la masa del cuerpo central es mucho mayor que la del cuerpo en órbita, por lo que m puede ignorarse. Si se hace esa suposición y se utilizan unidades astronómicas típicas, se obtiene la forma más simple que descubrió Kepler.

La trayectoria del cuerpo en órbita alrededor del baricentro y su trayectoria relativa a su eje primario son ambas elipses. ^[1] El semieje mayor se utiliza a veces en astronomía como la distancia entre el eje primario y el secundario cuando la relación de masas entre el eje primario y el secundario es significativamente grande ( ); por lo tanto, los parámetros orbitales de los planetas se dan en términos heliocéntricos. La diferencia entre las órbitas primocéntricas y "absolutas" se puede ilustrar mejor observando el sistema Tierra-Luna. La relación de masas en este caso es ${\displaystyle M\gg m}$81.300 59 . La distancia característica Tierra-Luna, el semieje mayor de la órbita lunar geocéntrica , es de 384.400 km. (Dada la excentricidad de la órbita lunar e  = 0,0549, su semieje menor es de 383.800 km. Por lo tanto, la órbita de la Luna es casi circular). La órbita lunar baricéntrica , por otro lado, tiene un semieje mayor de 379.730 km, y la contraórbita de la Tierra absorbe la diferencia, 4.670 km. La velocidad orbital baricéntrica media de la Luna es de 1,010 km/s, mientras que la de la Tierra es de 0,012 km/s. La suma de estas velocidades da una velocidad orbital lunar media geocéntrica de 1,022 km/s; el mismo valor puede obtenerse considerando solo el valor del semieje mayor geocéntrico. ^{[ cita requerida ]}

Distancia media

Se suele decir que el semieje mayor es la distancia "promedio" entre el foco primario de la elipse y el cuerpo en órbita. Esto no es del todo exacto, porque depende de qué promedio se tome. La distancia promediada en tiempo y ángulo del cuerpo en órbita puede variar entre un 50 y un 100 % con respecto al semieje mayor orbital, dependiendo de la excentricidad. ^[7]

• Al promediar la distancia sobre la anomalía excéntrica se obtiene de hecho el semieje mayor.
• el promedio sobre la anomalía real (el ángulo orbital real, medido en el foco) da como resultado el eje semimenor . ${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}$
• el promedio sobre la anomalía media (la fracción del período orbital transcurrido desde el pericentro, expresada como un ángulo) da el promedio temporal . ${\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,}$

El valor promedio en el tiempo del recíproco del radio, , es . ${\displaystyle r^{-1}}$ ${\displaystyle a^{-1}}$

Energía; cálculo del semieje mayor a partir de vectores de estado

En astrodinámica , el semieje mayor a se puede calcular a partir de los vectores de estados orbitales :

${\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

para una órbita elíptica y, dependiendo de la convención, la misma o

${\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}$

para una trayectoria hiperbólica , y

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}$

( energía orbital específica ) y

${\displaystyle \mu =GM,}$

( parámetro gravitacional estándar ), donde:

v es la velocidad orbital del vector de velocidad de un objeto en órbita,

r es un vector de posición cartesiano de un objeto en órbita en coordenadas de un marco de referencia con respecto al cual se deben calcular los elementos de la órbita (por ejemplo, ecuatorial geocéntrica para una órbita alrededor de la Tierra, o eclíptica heliocéntrica para una órbita alrededor del Sol),

G es la constante gravitacional ,

M es la masa del cuerpo gravitacional, y

${\displaystyle \varepsilon }$es la energía específica del cuerpo en órbita.

Obsérvese que, para una cantidad dada de masa total, la energía específica y el semieje mayor son siempre los mismos, independientemente de la excentricidad o la relación de las masas. Por el contrario, para una masa total y un semieje mayor dados, la energía orbital específica total es siempre la misma. Esta afirmación siempre será cierta en cualquier condición dada. ^{[ cita requerida ]}

Ejes semimayores y semimenores de las órbitas de los planetas

Las órbitas de los planetas siempre se citan como ejemplos principales de elipses ( primera ley de Kepler ). Sin embargo, la diferencia mínima entre los semiejes mayor y menor muestra que tienen una apariencia prácticamente circular. Esa diferencia (o relación) se basa en la excentricidad y se calcula como , que para las excentricidades típicas de los planetas produce resultados muy pequeños. ${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}}$

La razón para suponer órbitas elípticas prominentes probablemente se encuentra en la diferencia mucho mayor entre el afelio y el perihelio. Esa diferencia (o relación) también se basa en la excentricidad y se calcula como . Debido a la gran diferencia entre el afelio y el perihelio, la segunda ley de Kepler se visualiza fácilmente. ${\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}$

1 UA (unidad astronómica) equivale a 149,6 millones de kilómetros.

Referencias

1. Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Ciencias planetarias fundamentales: física, química y habitabilidad . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 24–31. ISBN 9781108411981.
2. "Eje mayor / menor de una elipse", Math Open Reference, 12 de mayo de 2013.
3. Weisstein, Eric W. "Elipse". mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de agosto de 2024 .
4. "7.1 Caracterización alternativa". www.geom.uiuc.edu . Archivado desde el original el 24 de octubre de 2018. Consultado el 6 de septiembre de 2007 .
5. "La geometría de las órbitas: elipses, parábolas e hipérbolas". www.bogan.ca .
6. "7.1 Caracterización alternativa". Archivado desde el original el 24 de octubre de 2018. Consultado el 6 de septiembre de 2007 .
7. Williams, Darren M. (noviembre de 2003). "Distancia media entre una estrella y un planeta en una órbita excéntrica". American Journal of Physics . 71 (11): 1198–1200. Bibcode :2003AmJPh..71.1198W. doi :10.1119/1.1578073.

Enlaces externos

• Semiejes mayor y semieje menor de una elipse Con animación interactiva