Difusión rotacional

Una molécula con una cruz roja en su frente sometida a difusión rotacional tridimensional. La cruz roja se mueve erráticamente a medida que la esfera gira aleatoriamente debido a colisiones con las moléculas circundantes.

La difusión rotacional es el movimiento de rotación que actúa sobre cualquier objeto como partículas , moléculas , átomos cuando están presentes en un fluido , mediante cambios aleatorios en sus orientaciones . Si bien las direcciones e intensidades de estos cambios son estadísticamente aleatorias, no surgen al azar sino que son el resultado de interacciones entre partículas. Un ejemplo ocurre en los coloides , donde partículas insolubles relativamente grandes están suspendidas en una mayor cantidad de líquido. Los cambios de orientación se producen a partir de colisiones entre la partícula y las muchas moléculas que forman el fluido que rodea la partícula, cada una de las cuales transfiere energía cinética a la partícula y, como tal, puede considerarse aleatoria debido a las diferentes velocidades y cantidades de moléculas de fluido que inciden en cada una. partícula individual en un momento dado.

Análoga a la difusión traslacional que determina la posición de la partícula en el espacio , la difusión rotacional aleatoriza la orientación de cualquier partícula sobre la que actúa. Cualquier cosa en una solución experimentará difusión rotacional, desde la escala microscópica donde los átomos individuales pueden tener un efecto entre sí, hasta la escala macroscópica .

Aplicaciones

La difusión rotacional tiene múltiples aplicaciones en química y física, y está muy involucrada en muchos campos de la biología. Por ejemplo, la interacción proteína-proteína es un paso vital en la comunicación de señales biológicas. Para comunicarse, las proteínas deben entrar en contacto entre sí y estar orientadas de la manera adecuada para interactuar con el sitio de unión de cada una , lo que depende de la capacidad de las proteínas para rotar. ^[1] Como ejemplo relativo a la física, el movimiento browniano de rotación en astronomía se puede utilizar para explicar las orientaciones de los planos orbitales de las estrellas binarias , así como los ejes de giro aparentemente aleatorios de los agujeros negros supermasivos . ^[2]

La reorientación aleatoria de moléculas (o sistemas más grandes) es un proceso importante para muchas sondas biofísicas . Debido al teorema de equipartición , las moléculas más grandes se reorientan más lentamente que los objetos más pequeños y, por tanto, las mediciones de las constantes de difusión rotacional pueden dar una idea de la masa general y su distribución dentro de un objeto. Cuantitativamente, el cuadrado medio de la velocidad angular alrededor de cada uno de los ejes principales de un objeto es inversamente proporcional a su momento de inercia alrededor de ese eje. Por lo tanto, debería haber tres constantes de difusión rotacional (los valores propios del tensor de difusión rotacional), lo que da como resultado cinco constantes de tiempo rotacionales . ^{[3] [4]} Si dos valores propios del tensor de difusión son iguales, la partícula se difunde como un esferoide con dos velocidades de difusión únicas y tres constantes de tiempo. Y si todos los valores propios son iguales, la partícula se difunde como una esfera con una constante de tiempo. El tensor de difusión puede determinarse a partir de los factores de fricción de Perrin , en analogía con la relación de difusión traslacional de Einstein, pero a menudo es inexacto y se requiere una medición directa.

El tensor de difusión rotacional se puede determinar experimentalmente mediante anisotropía de fluorescencia , birrefringencia de flujo , espectroscopia dieléctrica , relajación por RMN y otros métodos biofísicos sensibles a picosegundos o procesos rotacionales más lentos. En algunas técnicas, como la fluorescencia, puede resultar muy difícil caracterizar el tensor de difusión completo; por ejemplo, a veces puede ser posible medir dos velocidades de difusión cuando hay una gran diferencia entre ellas, por ejemplo, para elipsoides muy largos y delgados, como ciertos virus . Sin embargo, este no es el caso de la técnica de resolución atómica extremadamente sensible de relajación por RMN que se puede utilizar para determinar completamente el tensor de difusión rotacional con una precisión muy alta.

Relación con la difusión traslacional

El modelo traslacional estándar del movimiento browniano.

Al igual que la difusión traslacional en la que las partículas en un área de alta concentración se extienden lentamente a través de recorridos aleatorios hasta que se distribuyen casi equitativamente en todo el espacio, en la difusión rotacional, durante largos períodos de tiempo, las direcciones a las que se enfrentan estas partículas se extenderán hasta que sigue una distribución completamente aleatoria con una cantidad casi igual orientada en todas direcciones. Como los impactos de las partículas circundantes rara vez, o nunca, ocurren directamente en el centro de masa de una partícula 'objetivo', cada impacto ocurrirá descentrado y, como tal, es importante tener en cuenta que las mismas colisiones que causan difusión traslacional causan difusión rotacional. ya que parte de la energía del impacto se transfiere a energía cinética de traslación y otra parte se transfiere a torsión .

Versión rotacional de la ley de Fick

Se puede definir una versión rotacional de la ley de difusión de Fick . Sea cada molécula en rotación asociada a un vector unitario ; por ejemplo, podría representar la orientación de un momento dipolar eléctrico o magnético . Sea f ( θ, φ, t ) la distribución de densidad de probabilidad para la orientación en el tiempo t . Aquí, θ y φ representan los ángulos esféricos , siendo θ el ángulo polar entre el eje z y φ el ángulo azimutal en el plano xy . ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$

La versión rotacional de la ley de Fick establece

${\displaystyle {\frac {1}{D_{\mathrm {rot} }}}{\frac {\partial f}{\partial t}}=\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}}$.

Esta ecuación diferencial parcial (PDE) se puede resolver expandiendo f(θ, φ, t) en armónicos esféricos para los cuales se cumple la identidad matemática. ${\displaystyle Y_{l}^{m}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y_{l}^{m}}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y_{l}^{m}}{\partial \phi ^{2}}}=-l(l+1)Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )}$.

Por tanto, la solución de la PDE puede escribirse

${\displaystyle f(\theta ,\phi ,t)=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}C_{lm}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )e^{-t/\tau _{l}}}$,

donde C _lm son constantes ajustadas a la distribución inicial y las constantes de tiempo son iguales

${\displaystyle \tau _{l}={\frac {1}{D_{\mathrm {rot} }l(l+1)}}}$.

Difusión rotacional bidimensional.

Una esfera que gira alrededor de un eje central fijo se puede modelar como un círculo que gira en 2 dimensiones cuando se ve desde el eje de rotación. Aquí A ₀ es la posición inicial en t ₀ y A es la posición en el momento t cuando el círculo ha girado θ.

Una esfera que gira alrededor de un eje fijo girará sólo en dos dimensiones y puede verse desde arriba del eje fijo como un círculo. En este ejemplo, una esfera que está fijada en el eje vertical gira alrededor de ese eje únicamente, lo que significa que la partícula puede tener un valor θ de 0 a 360 grados, o 2π radianes, antes de volver a tener una rotación neta de 0. ^[5]

Estas direcciones se pueden colocar en un gráfico que cubra la totalidad de las posiciones posibles para la cara en relación con el punto inicial, a través de 2π radianes, comenzando con -π radianes hasta 0 a π radianes. Suponiendo que todas las partículas comienzan con una orientación única de 0, la primera medición de las direcciones tomadas se parecerá a una función delta en 0, ya que todas las partículas estarán en su posición inicial, o 0, y por lo tanto crearán una línea única infinitamente empinada. Con el tiempo, la creciente cantidad de mediciones tomadas provocará una dispersión en los resultados; Las mediciones iniciales verán la forma de un pico delgado en el gráfico ya que la partícula solo puede moverse ligeramente en un corto tiempo. Luego, a medida que pasa el tiempo, aumenta la posibilidad de que la molécula gire más desde su punto inicial, lo que amplía el pico, hasta que haya pasado suficiente tiempo para que las mediciones se distribuyan uniformemente en todas las direcciones posibles.

La distribución de orientaciones llegará a un punto en el que se volverán uniformes a medida que todas se dispersen aleatoriamente para ser casi iguales en todas las direcciones. Esto se puede visualizar de dos maneras.

1. Para una sola partícula con múltiples mediciones tomadas a lo largo del tiempo. Una partícula que tiene un área designada como su cara apuntando en la orientación inicial, comenzando en un momento t ₀ , comenzará con una distribución de orientación que se asemeja a una sola línea, ya que es la única medida. Cada medición sucesiva en un tiempo mayor que t ₀ ampliará el pico ya que la partícula habrá tenido más tiempo para alejarse de la posición inicial.
2. Para partículas múltiples medidas una vez mucho después de la primera medición . Se puede hacer el mismo caso con una gran cantidad de moléculas, todas comenzando en su respectiva orientación 0. Suponiendo que haya pasado suficiente tiempo para ser mucho mayor que t ₀ , las moléculas pueden haber girado completamente si las fuerzas que actúan sobre ellas lo requieren, y una sola medición muestra que están distribuidas casi uniformemente.

Ecuaciones básicas

Para la difusión rotacional alrededor de un solo eje, la desviación angular cuadrática media en el tiempo es ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \left\langle \theta ^{2}\right\rangle =2D_{r}t}$,

donde es el coeficiente de difusión rotacional (en unidades de radianes ² /s). La velocidad de deriva angular en respuesta a un par externo (suponiendo que el flujo permanece no turbulento y que los efectos de inercia pueden despreciarse) está dada por ${\displaystyle D_{r}}$ ${\displaystyle \Omega _{d}=(d\theta /dt)_{\rm {drift}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{\theta }}$

${\displaystyle \Omega _{d}={\frac {\Gamma _{\theta }}{f_{r}}}}$,

donde es el coeficiente de arrastre por fricción. La relación entre el coeficiente de difusión rotacional y el coeficiente de arrastre de fricción rotacional viene dada por la relación de Einstein (o relación de Einstein-Smoluchowski): ${\displaystyle f_{r}}$

${\displaystyle D_{r}={\frac {k_{\rm {B}}T}{f_{r}}}}$,

donde es la constante de Boltzmann y es la temperatura absoluta. Estas relaciones son en completa analogía con la difusión traslacional. ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$ ${\displaystyle T}$

El coeficiente de arrastre por fricción rotacional para una esfera de radio es ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f_{r,{\textrm {sphere}}}=8\pi \eta R^{3}}$

¿Dónde está la viscosidad dinámica (o de corte) ? ^[6] ${\displaystyle \eta }$

La difusión rotacional de esferas, como las nanopartículas, puede desviarse de lo que se espera en entornos complejos, como en soluciones o geles de polímeros. Esta desviación puede explicarse por la formación de una capa de agotamiento alrededor de la nanopartícula. ^[7]

Dinámica de Langevin

Las colisiones con las moléculas de fluido circundantes crearán un par fluctuante en la esfera debido a las distintas velocidades, números y direcciones del impacto. Al intentar girar una esfera mediante un par aplicado externamente, habrá una resistencia de arrastre sistemática a la rotación. Con estos dos hechos combinados, es posible escribir la ecuación tipo Langevin :

${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}={I}\,\cdot {\frac {d^{2}{\phi }}{dt^{2}}}=-{\zeta }^{r}\cdot {\frac {d{\theta }}{dt}}+TB(t)}$

Dónde:

• L es el momento angular.
• ${\displaystyle {\frac {dL}{dt}}}$es el par .
• I es el momento de inercia respecto del eje de rotación.
• Es el momento.
• t ₀ es la hora de inicio.
• θ es el ángulo entre la orientación en t ₀ y cualquier momento posterior, t .
• ζ ^r es el coeficiente de fricción rotacional.
• TB(t) es el par browniano fluctuante en el momento t .

El par total sobre la partícula será la diferencia entre:

${\displaystyle TB(t)}$y . ${\displaystyle ({\zeta }^{r}\cdot {\frac {d{\theta }}{dt}})}$

Esta ecuación es la versión rotacional de la segunda ecuación de movimiento de Newton . Por ejemplo, en términos de traducción estándar, un cohete experimentará una fuerza de impulso del motor y al mismo tiempo experimentará una fuerza de resistencia del aire por el que viaja. Lo mismo puede decirse de un objeto que está girando.

Debido a la naturaleza aleatoria de la rotación de la partícula, el par browniano promedio es igual en ambas direcciones de rotación. simbolizado como:

${\displaystyle \left\langle TB(t)\right\rangle =0}$

Esto significa que la ecuación se puede promediar para obtener:

${\displaystyle {\frac {d\left\langle L\right\rangle }{dt}}=-{\zeta }^{r}\cdot \left\langle {\frac {d{\theta }}{dt}}\right\rangle =-{\frac {\zeta ^{r}}{I}}\left\langle L\right\rangle }$

Es decir que la primera derivada con respecto al tiempo del momento angular promedio es igual al negativo del coeficiente de fricción rotacional dividido por el momento de inercia, todo multiplicado por el promedio del momento angular.

Como es la tasa de cambio del momento angular a lo largo del tiempo, y es igual a un valor negativo de un coeficiente multiplicado por , esto muestra que el momento angular disminuye con el tiempo o decae con un tiempo de caída de: ${\displaystyle {\frac {d\left\langle L\right\rangle }{dt}}}$ ${\displaystyle \left\langle L\right\rangle }$

${\displaystyle {\tau {_{L}}}={\frac {I}{\zeta ^{r}}}}$.

Para una esfera de masa m , densidad uniforme ρ y radio a , el momento de inercia es:

${\displaystyle I={\frac {2ma^{2}}{5}}={\frac {8{\pi }{\rho }a^{5}}{15}}}$.

Como se mencionó anteriormente, la resistencia rotacional viene dada por la fricción de Stokes para la rotación:

${\displaystyle {\zeta ^{r}}=8\pi \eta a^{3}}$

Combinando todas las ecuaciones y fórmulas anteriores, obtenemos:

${\displaystyle {\tau {_{L}}}={\frac {\rho a^{2}}{15\eta }}={\frac {3}{10}}\tau _{p}}$ dónde:

• ${\displaystyle \tau _{p}}$es el tiempo de relajación del impulso
• η es la viscosidad del líquido en el que se encuentra la esfera.

Ejemplo: partícula esférica en agua.

Partículas de agua (azul) y partículas de virus más grandes (rojas). El impacto entre el virus y las moléculas de agua provocará un movimiento de traslación y rotación con velocidades variables según el ángulo y la velocidad del impacto.

Digamos que hay un virus que se puede modelar como una esfera perfecta con las siguientes condiciones:

• Radio (a) de 100 nanómetros , a = 10 ⁻⁷ m.
• Densidad: ρ = 1500 kg m ⁻³
• Orientación originalmente orientada en una dirección indicada por π .
• Suspendido en agua.
• El agua tiene una viscosidad de η = 8,9 × 10 ⁻⁴ Pa·s a 25 °C
• Suponga masa y densidad uniformes en toda la partícula.

Primero, se puede calcular la masa de la partícula viral:

${\displaystyle m={\frac {4\rho \pi a^{3}}{3}}={\frac {4\times 1500\times \pi \times (10^{-7})^{3}}{3}}=6.3\times 10^{-18}kg}$

A partir de esto ahora conocemos todas las variables para calcular el momento de inercia:

${\displaystyle I={\frac {2ma^{2}}{5}}={\frac {2\times (6.3\times 10^{-18})\times (10^{-7})^{2}}{5}}=2.5\times 10^{-32}kg\cdot m^{2}}$

Simultáneamente a esto, también podemos calcular la resistencia rotacional:

${\displaystyle \zeta ^{r}=8\pi \eta a^{3}=8\times \pi \times (8.9\times 10^{-4})\times (10^{-7})^{3}=2.237\times 10^{-23}Pa\cdot s\cdot m^{3}}$

Combinando estas ecuaciones obtenemos:

${\displaystyle \tau _{L}={\frac {I}{\zeta ^{r}}}={\frac {2.5\times 10^{-32}kg\cdot m^{2}}{2.2\times 10^{-23}Pa\cdot s\cdot m^{3}}}=1.1\times 10^{-9}kg\cdot Pa^{-1}\cdot s^{-1}\cdot m^{-1}}$

Como las unidades SI para Pascal son las unidades en la respuesta, se puede reducir para leer: ${\displaystyle kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-2}}$

${\displaystyle \tau _{L}=1.1\times 10^{-9}s}$

Para este ejemplo, el tiempo de descomposición del virus es del orden de nanosegundos.

Descripción de Smoluchowski de la rotación.

Para escribir la ecuación de Smoluchowski para una partícula que gira en dos dimensiones, introducimos una densidad de probabilidad P(θ, t) para encontrar el vector u en un ángulo θ y en el tiempo t. Esto se puede hacer escribiendo una ecuación de continuidad:

${\displaystyle {\partial P(\theta ,t) \over \partial t}=-{\partial j(\theta ,t) \over \partial \theta }}$

donde la corriente se puede escribir como:

${\displaystyle j(\theta ,t)=-D^{r}{\partial P(\theta ,t) \over \partial \theta }}$

Que se pueden combinar para dar la ecuación de difusión rotacional:

${\displaystyle {\partial P(\theta ,t) \over \partial t}=D^{r}{\partial ^{2}P(\theta ,t) \over \partial \theta ^{2}}=D^{r}P(\theta ,t)}$

Podemos expresar la corriente en términos de una velocidad angular que es resultado del par browniano T _B a través de una movilidad rotacional con la ecuación:

${\displaystyle j_{B}(\theta ,t)={\dot {\theta }}_{B}P(\theta ,t)}$

Dónde:

• ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{B}=\mu ^{r}T_{B}}$
• ${\displaystyle T_{B}=-{\partial V_{B} \over \partial \theta }}$
• ${\displaystyle V_{B}(\theta ,t)=k_{B}T\ln P(\theta ,t)}$

La única diferencia entre difusión rotacional y traslacional en este caso es que en la difusión rotacional tenemos periodicidad en el ángulo θ. Como la partícula se modela como una esfera que gira en dos dimensiones, el espacio que puede ocupar la partícula es compacto y finito, ya que la partícula puede girar una distancia de 2π antes de regresar a su posición original.

${\displaystyle P(\theta +2\pi ,t)={P(\theta ,t)}}$

Podemos crear una densidad de probabilidad condicional, que es la probabilidad de encontrar el vector u en el ángulo θ y el tiempo t dado que estaba en el ángulo θ ₀ en el tiempo t=0. Esto se escribe como tal:

${\displaystyle P(\theta ,0\mid \theta _{0})=\delta (\theta -\theta _{0})}$

La solución a esta ecuación se puede encontrar mediante una serie de Fourier:

${\displaystyle P(\theta ,t\mid \theta _{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[1+2\sum _{m=1}^{\infty }e^{-D^{r}m^{2}t}cosm(\theta -\theta _{0})\right]={\frac {1}{2\pi }}\Theta _{3}({\frac {1}{2}}(\theta -\theta _{0}),e^{-D^{r}t})}$

¿Dónde está la función theta jacobiana de tercer tipo? ${\displaystyle \Theta _{3}(z,\tau )}$

Usando la ecuación ^[8]

${\displaystyle \Theta _{3}(z,\tau )=(-i\tau )^{-1/2}exp{\biggl (}{\frac {z^{2}}{i\pi \tau }}{\biggl )}\Theta _{3}{\biggl (}{\frac {z}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}{\biggl )}}$

La función de densidad de probabilidad condicional se puede escribir como:

${\displaystyle P(\theta ,t\mid \theta _{0})={\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{r}t}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }exp\left[-{\frac {(\theta -\theta _{0}-2n\pi )^{2}}{4D^{r}t}}\right]}$

Para tiempos breves después del punto de partida donde t ≈ t ₀ y θ ≈ θ ₀ , la fórmula queda:

${\displaystyle P(\theta ,t\mid \theta _{0})\approx {\frac {1}{\sqrt {4\pi D^{r}t}}}exp\left[-{\frac {(\theta -\theta _{0})^{2}}{4D^{r}t}}\right]+\cdots }$

Los términos incluidos en el son exponencialmente pequeños y hacen poca diferencia como para no incluirse aquí. Esto significa que en tiempos cortos la probabilidad condicional parece similar a la difusión traslacional, ya que ambas muestran perturbaciones extremadamente pequeñas cerca de t ₀ . Sin embargo, en tiempos largos, t » t ₀ , el comportamiento de la difusión rotacional es diferente al de la difusión traslacional:

${\displaystyle P(\theta ,t\mid \theta _{0})\approx {\frac {1}{2\pi }},t\rightarrow \infty }$

La principal diferencia entre la difusión rotacional y la difusión traslacional es que la difusión rotacional tiene una periodicidad de , lo que significa que estos dos ángulos son idénticos. Esto se debe a que un círculo puede girar completamente una vez antes de estar en el mismo ángulo que tenía al principio, lo que significa que todas las orientaciones posibles se pueden mapear dentro del espacio de . Esto se opone a la difusión traslacional, que no tiene tal periodicidad. ${\displaystyle \theta +(2\pi )=\theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$

La probabilidad condicional de que el ángulo sea θ es aproximadamente . ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}$

Esto se debe a que durante largos períodos de tiempo, la partícula ha rotado en todo el rango de ángulos posibles y, como tal, el ángulo θ podría ser cualquier cantidad entre θ ₀ y θ ₀ + 2 π. La probabilidad se distribuye casi uniformemente en cada ángulo en momentos suficientemente grandes. Esto se puede demostrar sumando la probabilidad de todos los ángulos posibles. Como hay 2π ángulos posibles, cada uno con la probabilidad de , la probabilidad total suma 1, lo que significa que existe la certeza de encontrar el ángulo en algún punto del círculo. ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}}$

Ver también

• Ecuación de difusión
• Factores de fricción de Perrin
• Tiempo de correlación rotacional
• Falsa difusión

Referencias

1. Conggang Li, Yaqiang Wang y Gary J. Pielak . Revista de Química Física B 2009 113 (40), 13390-13392 DOI:10.1021/jp907744m
2. Merritt, D. (2002), Movimiento browniano rotacional de un binario masivo, The Astrophysical Journal , 568 , 998-1003. Consultado el 28 de marzo de 2022.
3. Perrin, Francisco (1934). "Mouvement brownien d'un ellipsoide (I). Dispersión diélectrique pour des molécules ellipsoidales". Journal de Physique (en francés). 7 (5): 497–511. doi :10.1051/jphysrad:01934005010049700.
4. Perrin, Francisco (1936). "Mouvement brownien d'un ellipsoide (II). Rotación libre y despolarización de fluorescencias: traducción y difusión de moléculas elipsoidales". Le Journal de Physique (en francés). 7 (7): 1–11. doi :10.1051/jphysrad:01936007010100.
5. Jones, Robert. B. "Difusión rotacional en medios dispersivos" (PDF) . Varsovia, Polonia: Instituto de Investigación Tecnológica Fundamental. pag. 21 . Consultado el 16 de marzo de 2022 .
6. LD Landau , EM Lifshitz (1987). Mecánica de fluidos . vol. 6 (2ª ed.). Butterworth-Heinemann . pag. 65.ISBN​ 978-0-08-033933-7.
7. Maldonado-Camargo, Lorena; Yang, Chuncheng; Rinaldi, Carlos (24/08/2017). "Difusión rotacional dependiente de la escala de nanopartículas en soluciones poliméricas". Nanoescala . 9 (33): 12039–12050. doi :10.1039/c7nr01603d. ISSN  2040-3372. PMID  28795729.
8. Whittaker, ET, Watson, GN Un curso de análisis moderno , (1965)

Otras lecturas

• Cantor, CR; Schimmel relaciones públicas (1980). Química Biofísica. Parte II. Técnicas para el estudio de la estructura y función biológica . WH Freeman.
• Berg, Howard C. (1993). Paseos aleatorios en biología . Prensa de la Universidad de Princeton.