Clasificación de Petrov

Classification used in differential geometry and general relativity

En geometría diferencial y física teórica , la clasificación de Petrov (también conocida como clasificación de Petrov-Pirani-Penrose) describe las posibles simetrías algebraicas del tensor de Weyl en cada evento en una variedad lorentziana .

Se aplica con mayor frecuencia al estudio de soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein , pero, en sentido estricto, la clasificación es un teorema de matemáticas puras que se aplica a cualquier variedad lorentziana, independientemente de cualquier interpretación física. La clasificación fue encontrada en 1954 por AZ Petrov y, de manera independiente, por Felix Pirani en 1957.

Teorema de clasificación

Podemos pensar en un tensor de cuarto rango como el tensor de Weyl , evaluado en algún evento , como actuando sobre el espacio de bivectores en ese evento como un operador lineal que actúa sobre un espacio vectorial:

${\displaystyle X^{ab}\rightarrow {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}X^{mn}}$

Entonces, es natural considerar el problema de encontrar valores propios y vectores propios (que ahora se denominan bivectores propios) tales que ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X^{ab}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}\,X^{mn}=\lambda \,X^{ab}}$

En los espacios-tiempos lorentzianos (de cuatro dimensiones), existe un espacio de seis dimensiones de bivectores antisimétricos en cada evento. Sin embargo, las simetrías del tensor de Weyl implican que cualquier bivector propio debe pertenecer a un subconjunto de cuatro dimensiones. Por lo tanto, el tensor de Weyl (en un evento dado) puede, de hecho, tener como máximo cuatro bivectores propios linealmente independientes.

Los vectores propios del tensor de Weyl pueden presentarse con varias multiplicidades y cualquier multiplicidad entre los vectores propios indica una especie de simetría algebraica del tensor de Weyl en el evento dado. Los diferentes tipos de tensor de Weyl (en un evento dado) pueden determinarse resolviendo una ecuación característica , en este caso una ecuación de cuarto grado . Todo lo anterior sucede de manera similar a la teoría de los vectores propios de un operador lineal ordinario.

Estos vectores propios están asociados con ciertos vectores nulos en el espacio-tiempo original, que se denominan direcciones nulas principales (en un evento dado). El álgebra multilineal pertinente es algo compleja (ver las citas a continuación), pero el teorema de clasificación resultante establece que existen exactamente seis tipos posibles de simetría algebraica. Estos se conocen como los tipos de Petrov :

Diagrama de Penrose que muestra las posibles degeneraciones del tipo Petrov del tensor de Weyl

• Tipo I : cuatro direcciones nulas principales simples,
• Tipo II : una dirección nula principal doble y dos simples,
• Tipo D : dos direcciones nulas principales dobles,
• Tipo III : una dirección nula principal triple y una simple,
• Tipo N : una dirección nula principal cuádruple,
• Tipo O : el tensor de Weyl desaparece.

Las posibles transiciones entre los tipos de Petrov se muestran en la figura, que también puede interpretarse como que algunos de los tipos de Petrov son "más especiales" que otros. Por ejemplo, el tipo I , el tipo más general, puede degenerar en los tipos II o D , mientras que el tipo II puede degenerar en los tipos III , N o D.

Diferentes eventos en un espacio-tiempo dado pueden tener diferentes tipos de Petrov. Un tensor de Weyl que tiene tipo I (en algún evento) se llama algebraicamente general ; de lo contrario, se llama algebraicamente especial (en ese evento). En Relatividad General, los espacio-tiempos de tipo O son conformemente planos .

Formalismo de Newman-Penrose

En la práctica, se suele utilizar el formalismo de Newman-Penrose para la clasificación. Consideremos el siguiente conjunto de bivectores, construido a partir de tétradas de vectores nulos (nótese que en algunas notaciones, los símbolos l y n se intercambian):

${\displaystyle U_{ab}=-2l_{[a}{\bar {m}}_{b]}}$

${\displaystyle V_{ab}=2n_{[a}m_{b]}}$

${\displaystyle W_{ab}=2m_{[a}{\bar {m}}_{b]}-2n_{[a}l_{b]}.}$

El tensor de Weyl se puede expresar como una combinación de estos bivectores mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}&=\Psi _{0}U_{ab}U_{cd}\\&\,\,\,+\Psi _{1}(U_{ab}W_{cd}+W_{ab}U_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{2}(V_{ab}U_{cd}+U_{ab}V_{cd}+W_{ab}W_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{3}(V_{ab}W_{cd}+W_{ab}V_{cd})\\&\,\,\,+\Psi _{4}V_{ab}V_{cd}+c.c.\end{aligned}}}$

donde son los escalares de Weyl y cc es el conjugado complejo. Los seis tipos de Petrov diferentes se distinguen por cuál de los escalares de Weyl se anula. Las condiciones son ${\displaystyle \{\Psi _{j}\}}$

• Tipo I  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=0}$
• Tipo II  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=0}$
• Tipo D  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$
• Tipo III  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=0}$
• Tipo N  : , ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=0}$
• Tipo O  : . ${\displaystyle \Psi _{0}=\Psi _{1}=\Psi _{2}=\Psi _{3}=\Psi _{4}=0}$

Criterios de Bel

Dada una métrica en una variedad lorentziana , se puede calcular el tensor de Weyl para esta métrica. Si el tensor de Weyl es algebraicamente especial en algún , existe un conjunto útil de condiciones, encontradas por Lluis (o Louis) Bel y Robert Debever, ^[1] para determinar con precisión el tipo de Petrov en . Denotando los componentes del tensor de Weyl en por (supuesto distinto de cero, es decir, no de tipo O ), los criterios de Bel se pueden enunciar como: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle C_{abcd}}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$es de tipo N si y sólo si existe un vector que satisface ${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{d}=0}$

donde es necesariamente nulo y único (hasta escalar). ${\displaystyle k}$

• Si no es de tipo N , entonces es de tipo III si y sólo si existe un vector que satisface ${\displaystyle C_{abcd}}$ ${\displaystyle C_{abcd}}$ ${\displaystyle k(p)}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=0={^{*}C}_{abcd}\,k^{b}k^{d}}$

donde es necesariamente nulo y único (hasta escalar). ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$es de tipo II si y sólo si existe un vector que satisface ${\displaystyle k}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$y ( ) ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$ ${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$

donde es necesariamente nulo y único (hasta escalar). ${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle C_{abcd}}$es de tipo D si y sólo si existen dos vectores linealmente independientes , que satisfacen las condiciones ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k'}$

${\displaystyle C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\alpha k_{a}k_{c}}$, ( ) ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k^{b}k^{d}=\beta k_{a}k_{c}}$ ${\displaystyle \alpha \beta \neq 0}$

y

${\displaystyle C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\gamma k'_{a}k'_{c}}$, ( ). ${\displaystyle {}^{*}C_{abcd}\,k'^{b}k'^{d}=\delta k'_{a}k'_{c}}$ ${\displaystyle \gamma \delta \neq 0}$

donde es el dual del tensor de Weyl en . ${\displaystyle {{}^{*}C}_{abcd}}$ ${\displaystyle p}$

De hecho, para cada criterio anterior, existen condiciones equivalentes para que el tensor de Weyl tenga ese tipo. Estas condiciones equivalentes se expresan en términos del dual y autodual del tensor de Weyl y ciertos bivectores y se recopilan juntas en Hall (2004).

Los criterios de Bel encuentran aplicación en la relatividad general, donde la determinación del tipo Petrov de los tensores de Weyl algebraicamente especiales se logra mediante la búsqueda de vectores nulos.

Interpretación física

Según la relatividad general , los diversos tipos de Petrov algebraicamente especiales tienen algunas interpretaciones físicas interesantes, por lo que a veces se denomina a esta clasificación clasificación de campos gravitacionales .

Las regiones de tipo D están asociadas con los campos gravitatorios de objetos masivos aislados, como las estrellas. Más precisamente, los campos de tipo D se producen como el campo exterior de un objeto gravitatorio que está completamente caracterizado por su masa y momento angular. (Un objeto más general podría tener momentos multipolares superiores no nulos). Las dos direcciones nulas principales dobles definen congruencias nulas entrantes y salientes "radialmente" cerca del objeto que es la fuente del campo.

El tensor electrogravítico (o tensor de mareas ) en una región de tipo D es muy similar a los campos gravitatorios que se describen en la gravedad newtoniana mediante un potencial gravitatorio de tipo Coulomb . Un campo de mareas de este tipo se caracteriza por la tensión en una dirección y la compresión en las direcciones ortogonales; los valores propios tienen el patrón (-2,1,1). Por ejemplo, una nave espacial que orbita la Tierra experimenta una pequeña tensión a lo largo de un radio desde el centro de la Tierra y una pequeña compresión en las direcciones ortogonales. Al igual que en la gravitación newtoniana, este campo de mareas normalmente decae como , donde es la distancia desde el objeto. ${\displaystyle O(r^{-3})}$ ${\displaystyle r}$

Si el objeto está rotando sobre algún eje , además de los efectos de marea, habrá varios efectos gravitomagnéticos , como fuerzas de espín-espín sobre giroscopios llevados por un observador. En el vacío de Kerr , que es el ejemplo más conocido de solución de vacío de tipo D , esta parte del campo se desintegra como . ${\displaystyle O(r^{-4})}$

Las regiones de tipo III están asociadas con un tipo de radiación gravitacional longitudinal . En dichas regiones, las fuerzas de marea tienen un efecto de cizallamiento . Esta posibilidad a menudo se descuida, en parte porque la radiación gravitacional que surge en la teoría de campos débiles es de tipo N y en parte porque la radiación de tipo III se desintegra como , que es más rápida que la radiación de tipo N. ${\displaystyle O(r^{-2})}$

Las regiones de tipo N están asociadas con la radiación gravitacional transversal , que es el tipo que los astrónomos han detectado con LIGO . La dirección nula principal cuádruple corresponde al vector de onda que describe la dirección de propagación de esta radiación. Normalmente se desintegra como , por lo que el campo de radiación de largo alcance es de tipo N. ${\displaystyle O(r^{-1})}$

Las regiones de tipo II combinan los efectos observados anteriormente para los tipos D , III y N , de una manera no lineal bastante complicada.

Las regiones de tipo O , o regiones conformemente planas , están asociadas con lugares donde el tensor de Weyl se anula de manera idéntica. En este caso, se dice que la curvatura es pura de Ricci . En una región conformemente plana, cualquier efecto gravitacional debe deberse a la presencia inmediata de materia o a la energía de campo de algún campo no gravitacional (como un campo electromagnético ). En cierto sentido, esto significa que los objetos distantes no ejercen ninguna influencia de largo alcance sobre los eventos en nuestra región. Más precisamente, si hay campos gravitacionales que varían con el tiempo en regiones distantes, la noticia aún no ha llegado a nuestra región conformemente plana.

La radiación gravitatoria emitida por un sistema aislado no suele ser algebraicamente especial. El teorema de desprendimiento describe la forma en que, a medida que uno se aleja de la fuente de radiación, los diversos componentes del campo de radiación se "despegan", hasta que finalmente solo se percibe la radiación de tipo N a grandes distancias. Esto es similar al teorema de desprendimiento electromagnético.

Ejemplos

En algunas soluciones (más o menos) familiares, el tensor de Weyl tiene el mismo tipo de Petrov en cada evento:

• La aspiradora Kerr está en todas partes tipo D ,
• Ciertas aspiradoras Robinson/Trautman están en todas partes del tipo III ,
• Los espaciotiempos de ondas pp son en todas partes del tipo N ,
• Los modelos FLRW son en todas partes del tipo O.

En términos más generales, cualquier espacio-tiempo simétrico esférico debe ser de tipo D (u O ). Se conocen todos los espacio-tiempos algebraicamente especiales que tienen varios tipos de tensor de tensión-energía , por ejemplo, todas las soluciones de vacío de tipo D.

Algunas clases de soluciones pueden caracterizarse invariablemente utilizando simetrías algebraicas del tensor de Weyl: por ejemplo, la clase de soluciones de electrovacío nulo o de polvo nulo no conformemente planas que admiten una congruencia nula en expansión pero no en torsión es precisamente la clase de los espaciotiempos de Robinson/Trautmann . Estos suelen ser de tipo II , pero incluyen ejemplos de tipo III y tipo N.

Generalización a dimensiones superiores

A. Coley, R. Milson, V. Pravda y A. Pravdová (2004) desarrollaron una generalización de la clasificación algebraica a una dimensión arbitraria del espacio-tiempo . Su enfoque utiliza un enfoque de base de marco nulo, que es una base de marco que contiene dos vectores nulos y , junto con vectores similares al espacio. Los componentes de la base de marco del tensor de Weyl se clasifican por sus propiedades de transformación bajo impulsos locales de Lorentz . Si los componentes de Weyl particulares se desvanecen, entonces y/o se dice que son Direcciones Nulas Alineadas con Weyl (WAND). En cuatro dimensiones, es una WAND si y solo si es una dirección nula principal en el sentido definido anteriormente. Este enfoque proporciona una extensión natural de mayor dimensión de cada uno de los diversos tipos algebraicos II , D etc. definidos anteriormente. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d-2}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle l}$

De Smet (2002) definió previamente una generalización alternativa, pero no equivalente, basada en un enfoque espinorial . Sin embargo, el enfoque de De Smet está restringido a solo cinco dimensiones.

Véase también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Clasificación de los campos electromagnéticos
• Soluciones exactas en relatividad general
• Clasificación Segre
• Teorema de pelado
• Tensor de Plebanski
• Teorema de Goldberg-Sachs

Referencias

1. Ortaggio, Marcello (2009). "Criterios de Bel–Debever para la clasificación del tensor de Weyl en dimensiones superiores". Gravedad clásica y cuántica . arXiv : 0906.3818 . doi :10.1088/0264-9381/26/19/195015.

• Coley, A.; et al. (2004). "Clasificación del tensor de Weyl en dimensiones superiores". Gravedad clásica y cuántica . 21 (7): L35–L42. arXiv : gr-qc/0401008 . Código Bibliográfico :2004CQGra..21L..35C. doi :10.1088/0264-9381/21/7/L01. S2CID  31859828.
• de Smet, P. (2002). "Los agujeros negros en cilindros no son algebraicamente especiales". Gravedad clásica y cuántica . 19 (19): 4877–4896. arXiv : hep-th/0206106 . Bibcode :2002CQGra..19.4877D. doi :10.1088/0264-9381/19/19/307. S2CID:  15772816.
• d'Inverno, Ray (1992). Introducción a la relatividad de Einstein . Oxford: Oxford University Press . ISBN 0-19-859686-3. Véanse las secciones 21.7 y 21.8.
• Hall, Graham (2004). Simetrías y estructura de curvatura en la relatividad general (World Scientific Lecture Notes in Physics) . Singapur: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-02-1051-5. Consulte las secciones 7.3 y 7.4 para obtener una discusión completa de la clasificación de Petrov .
• MacCallum, MAH (2000). "Nota del editor: Clasificación de espacios que definen campos gravitacionales". Relatividad general y gravitación . 32 (8): 1661–1663. Bibcode :2000GReGr..32.1661P. doi :10.1023/A:1001958823984. S2CID  116370483.
• Penrose, Roger (1960). "Un enfoque espinorial para la relatividad general". Anales de Física . 10 (2): 171–201. Código Bibliográfico :1960AnPhy..10..171P. doi :10.1016/0003-4916(60)90021-X.
• Petrov, AZ (1954). "Klassifikacya prostranstv opredelyayushchikh polya tyagoteniya". Uh. Zapiski Kazán. Vaya. Univ . 114 (8): 55–69.Petrov, AZ (2000). «Clasificación de espacios definidos por campos gravitacionales». Relatividad general y gravitación . 32 (8): 1665–1685. Bibcode : 2000GReGr..32.1665P . doi :10.1023/A:1001910908054. S2CID  73540912.
• Petrov, AZ (1969). Espacios de Einstein . Oxford: Pergamon. ISBN 0080123155., traducido por RF Kelleher y J. Woodrow.
• Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C. y Herlt, E. (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (2ª ed.) . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-46136-7. Véase los capítulos 4 y 26.