Espacio-tiempo simétrico esférico

En física , los espaciotiempos esféricamente simétricos se utilizan habitualmente para obtener soluciones analíticas y numéricas a las ecuaciones de campo de Einstein en presencia de materia o energía en movimiento radial. Debido a que los espaciotiempos esféricamente simétricos son por definición irrotacionales, no son modelos realistas de los agujeros negros en la naturaleza. Sin embargo, sus métricas son considerablemente más simples que las de los espaciotiempos rotatorios, lo que los hace mucho más fáciles de analizar.

Los modelos esféricamente simétricos no son del todo inadecuados: muchos de ellos tienen diagramas de Penrose similares a los de los espacio-tiempos en rotación, y estos suelen tener características cualitativas (como los horizontes de Cauchy ) que no se ven afectados por la rotación. Una de esas aplicaciones es el estudio de la inflación de masa debido a corrientes de materia que se mueven en sentido contrario y que caen en el interior de un agujero negro.

Definición formal

Un espaciotiempo esféricamente simétrico es un espaciotiempo cuyo grupo de isometría contiene un subgrupo que es isomorfo al grupo de rotación SO(3) y las órbitas de este grupo son 2-esferas ( esferas ordinarias bidimensionales en el espacio euclidiano tridimensional ). Las isometrías se interpretan entonces como rotaciones y un espaciotiempo esféricamente simétrico se describe a menudo como uno cuya métrica es "invariante bajo rotaciones". La métrica del espaciotiempo induce una métrica en cada órbita 2-esfera (y esta métrica inducida debe ser un múltiplo de la métrica de una 2-esfera). Convencionalmente, la métrica en la 2-esfera se escribe en coordenadas polares como

${\displaystyle g_{\Omega }=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$,

y entonces la métrica completa incluye un término proporcional a esto.

La simetría esférica es un rasgo característico de muchas soluciones de las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein , especialmente la solución de Schwarzschild y la solución de Reissner–Nordström . Un espacio-tiempo esféricamente simétrico se puede caracterizar de otra manera, es decir, utilizando la noción de campos vectoriales de Killing , que, en un sentido muy preciso, preservan la métrica . Las isometrías a las que se hizo referencia anteriormente son en realidad difeomorfismos de flujo local de campos vectoriales de Killing y, por lo tanto, generan estos campos vectoriales. Para un espacio-tiempo esféricamente simétrico , hay exactamente 3 campos vectoriales de Killing rotacionales. Dicho de otra manera, la dimensión del álgebra de Killing es 3; es decir, . En general, ninguno de estos es similar al tiempo, ya que eso implicaría un espacio-tiempo estático . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle K(M)}$ ${\displaystyle \dim K(M)=3}$

Se sabe (véase el teorema de Birkhoff ) que cualquier solución esféricamente simétrica de las ecuaciones de campo del vacío es necesariamente isométrica a un subconjunto de la solución de Schwarzschild máximamente extendida . Esto significa que la región exterior alrededor de un objeto gravitatorio esféricamente simétrico debe ser estática y asintóticamente plana .

Métricas esféricamente simétricas

Tradicionalmente, se utilizan coordenadas esféricas para escribir la métrica (el elemento de línea ). Son posibles varios gráficos de coordenadas , entre ellos: ${\displaystyle x^{\mu }=(t,r,\theta ,\phi )}$

• Coordenadas de Schwarzschild
• Coordenadas isótropas , en las que los conos de luz son redondos y, por tanto, útiles para estudiar polvos nulos .
• Coordenadas polares gaussianas , a veces utilizadas para estudiar fluidos perfectos, estáticos y esféricamente simétricos.
• Radio circunferencial, que se da a continuación, conveniente para estudiar la inflación de masa.

Radio circunferencial métrico

Una métrica popular, ^[1] utilizada en el estudio de la inflación de masas, es

${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=-{\frac {dt^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{\beta _{r}^{2}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)^{2}+r^{2}\,g(\Omega ).}$

Aquí, es la métrica estándar en la unidad de radio 2-esfera . La coordenada radial se define de modo que sea el radio circunferencial, es decir, de modo que la circunferencia propia en el radio sea . En esta elección de coordenadas, el parámetro se define de modo que sea la tasa de cambio propia del radio circunferencial (es decir, donde es el tiempo propio ). El parámetro se puede interpretar como la derivada radial del radio circunferencial en un marco de caída libre; esto se vuelve explícito en el formalismo de la tétrada . ${\displaystyle g(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2\pi r}$ ${\displaystyle \beta _{t}}$ ${\displaystyle \beta _{t}=dr/d\tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \beta _{r}}$

Formalismo de tétrada ortonormal

Nótese que la métrica anterior se escribe como una suma de cuadrados y, por lo tanto, se puede entender que codifica explícitamente un vierbein y, en particular, una tétrada ortonormal . Es decir, el tensor métrico se puede escribir como un pullback de la métrica de Minkowski : ${\displaystyle \eta _{ij}}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{ij}\,e_{\;\mu }^{i}\,e_{\;\nu }^{j}}$

donde es el vierbein inverso. La convención aquí y en lo que sigue es que los índices romanos se refieren al marco de la tétrada ortonormal plana, mientras que los índices griegos se refieren al marco de coordenadas. El vierbein inverso se puede leer directamente a partir de la métrica anterior como ${\displaystyle e_{\;\mu }^{i}}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{t}dx^{\mu }={\frac {dt}{\alpha }}}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{r}dx^{\mu }={\frac {1}{\beta _{r}}}\left(dr-\beta _{t}{\frac {dt}{\alpha }}\right)}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{\theta }dx^{\mu }=rd\theta }$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{\phi }dx^{\mu }=r\sin \theta d\phi }$

donde se tomó la firma como . Escrito como una matriz, el vierbein inverso es ${\displaystyle (-+++)}$

${\displaystyle e_{\;\mu }^{i}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\alpha }}&0&0&0\\-{\frac {\beta _{t}}{\alpha \beta _{r}}}&{\frac {1}{\beta _{r}}}&0&0\\0&0&r&0\\0&0&0&r\sin \theta \\\end{bmatrix}}}$

El vierbein en sí es la inversa (-transpuesta) del vierbein inverso

${\displaystyle e_{i}^{\;\mu }={\begin{bmatrix}\alpha &\beta _{t}&0&0\\0&\beta _{r}&0&0\\0&0&{\frac {1}{r}}&0\\0&0&0&{\frac {1}{r\sin \theta }}\\\end{bmatrix}}}$

Es decir, es la matriz identidad. ${\displaystyle (e_{\;\mu }^{i})^{T}e_{i}^{\;\nu }=e_{\mu }^{\;\;i}e_{i}^{\;\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }}$

La forma particularmente simple de lo anterior es un factor motivador fundamental para trabajar con la métrica dada.

El vierbein relaciona los campos vectoriales en el marco de coordenadas con los campos vectoriales en el marco de la tétrada, como

${\displaystyle \partial _{i}=e_{i}^{\;\mu }{\frac {\partial \;\;}{\partial x^{\mu }}}}$

Los más interesantes de estos dos son cuál es el tiempo propio en el sistema de referencia en reposo y cuál es la derivada radial en el sistema de referencia en reposo. Por construcción, como se señaló anteriormente, era la tasa de cambio propia del radio circunferencial; esto ahora se puede escribir explícitamente como ${\displaystyle \partial _{t}}$ ${\displaystyle \partial _{r}}$ ${\displaystyle \beta _{t}}$

${\displaystyle \beta _{t}=\partial _{t}r}$

De manera similar, uno tiene

${\displaystyle \beta _{r}=\partial _{r}r}$

que describe el gradiente (en el marco de la tétrada en caída libre) del radio circunferencial a lo largo de la dirección radial. Esto no es en general la unidad; compárese, por ejemplo, con la solución estándar de Swarschild o la solución de Reissner-Nordström. El signo de determina efectivamente "en qué dirección se encuentra abajo"; el signo de distingue entre marcos entrantes y salientes, de modo que es un marco entrante y es un marco saliente. ${\displaystyle \beta _{r}}$ ${\displaystyle \beta _{r}}$ ${\displaystyle \beta _{r}>0}$ ${\displaystyle \beta _{r}<0}$

Estas dos relaciones sobre el radio circunferencial proporcionan otra razón por la que esta parametrización particular de la métrica es conveniente: tiene una caracterización intuitiva simple.

Formulario de conexión

La forma de conexión en el marco de la tétrada se puede escribir en términos de los símbolos de Christoffel en el marco de la tétrada, que se dan por ${\displaystyle \Gamma _{ijk}}$

${\displaystyle \Gamma _{rtt}=-\partial _{r}\ln \alpha }$

${\displaystyle \Gamma _{rtr}=-\beta _{t}{\frac {\partial \ln \alpha }{\partial r}}+{\frac {\partial \beta _{t}}{\partial r}}-\partial _{t}\ln \beta _{r}}$

${\displaystyle \Gamma _{\theta t\theta }=\Gamma _{\phi t\phi }={\frac {\beta _{t}}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\theta r\theta }=\Gamma _{\phi r\phi }={\frac {\beta _{r}}{r}}}$

${\displaystyle \Gamma _{\phi \theta \phi }={\frac {\cot \theta }{r}}}$

y todos los demás cero.

Ecuaciones de Einstein

Un conjunto completo de expresiones para el tensor de Riemann , el tensor de Einstein y el escalar de curvatura de Weyl se puede encontrar en Hamilton & Avelino. ^[1] Las ecuaciones de Einstein se convierten en

${\displaystyle \nabla _{t}\beta _{t}=-{\frac {M}{r^{2}}}-4\pi rp}$

${\displaystyle \nabla _{t}\beta _{r}=4\pi rf}$

donde es la derivada temporal covariante (y la conexión de Levi-Civita ), la presión radial ( ¡no la presión isotrópica!) y el flujo de energía radial. La masa es la masa de Misner-Thorne o masa interior, dada por ${\displaystyle \nabla _{t}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M(r)}$

${\displaystyle {\frac {2M}{r}}-1=\beta _{t}^{2}-\beta _{r}^{2}}$

Como estas ecuaciones son efectivamente bidimensionales, se pueden resolver sin una dificultad abrumadora para una variedad de suposiciones sobre la naturaleza del material que cae (es decir, para el supuesto de un agujero negro esféricamente simétrico que está acretando polvo, gas, plasma o materia oscura cargado o neutro, de alta o baja temperatura, es decir , material con varias ecuaciones de estado ).

Véase también

• Espacio-tiempo estático
• Espacio-tiempo estacionario
• Simetrías del espacio-tiempo
• El espacio de Sitter

Referencias

1. Andrew JS Hamilton y Pedro P. Avelino, "La física de la inestabilidad contracorriente relativista que impulsa la inflación de masa dentro de los agujeros negros" (2008), arXiv :0811.1926

• Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: University of Chicago Press . ISBN 0-226-87033-2. Consulte la Sección 6.1 para una discusión de la simetría esférica .