Campo vectorial proyectivo

Un campo vectorial proyectivo ( proyectivo ) es un campo vectorial suave en una variedad semiriemanniana (p. ej. espacio-tiempo ) cuyo flujo preserva la estructura geodésica sin preservar necesariamente el parámetro afín de ninguna geodésica. De manera más intuitiva, el flujo de los campos proyectivos transforma las geodésicas suavemente en geodésicas sin preservar el parámetro afín. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Descomposición

Al tratar con un campo vectorial en una variedad semiriemanniana (por ejemplo, en relatividad general ), a menudo es útil descomponer la derivada covariante en sus partes simétricas y antisimétricas: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X_{a;b}={\frac {1}{2}}h_{ab}+F_{ab}}$

dónde

${\displaystyle h_{ab}=({\mathcal {L}}_{X}g)_{ab}=X_{a;b}+X_{b;a}}$

y

${\displaystyle F_{ab}={\frac {1}{2}}(X_{a;b}-X_{b;a})}$

Nótese que son los componentes covariantes de . ${\displaystyle X_{a}}$ ${\displaystyle X}$

Condiciones equivalentes

Matemáticamente, la condición para que un campo vectorial sea proyectivo es equivalente a la existencia de una forma única que satisfaga ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle X_{a;bc}\,=R_{abcd}X^{d}+2g_{a(b}\psi _{c)}}$

que es equivalente a

${\displaystyle h_{ab;c}\,=2g_{ab}\psi _{c}+g_{ac}\psi _{b}+g_{bc}\psi _{a}}$

El conjunto de todos los campos vectoriales proyectivos globales sobre una variedad conexa o compacta forma un álgebra de Lie de dimensión finita denotada por (el álgebra proyectiva ) y satisface para variedades conexas la condición: . Aquí un campo vectorial proyectivo se determina de forma única especificando los valores de , y (equivalentemente, especificando , , y ) en cualquier punto de . (Para variedades no conexas, debe especificar estos 3 en un punto por componente conexo). Los proyectivos también satisfacen las propiedades: ${\displaystyle P(M)}$ ${\displaystyle \dim P(M)\leq n(n+2)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nabla X}$ ${\displaystyle \nabla \nabla X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R^{a}{}_{bcd}=\delta ^{a}{}_{d}\psi _{b;c}-\delta ^{a}{}_{c}\psi _{b;d}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R_{ab}=-3\psi _{a;b}}$

Subálgebras

Pueden darse varios casos especiales importantes de campos vectoriales proyectivos y formar subálgebras de Lie de . Estas subálgebras son útiles, por ejemplo, para clasificar los espaciotiempos en la relatividad general. ${\displaystyle P(M)}$

Álgebra afín

Los campos vectoriales afines (afines) satisfacen (equivalentemente, ) y, por lo tanto, cada afín es proyectivo. Los afines preservan la estructura geodésica de la semivariedad de Riem. (léase espacio-tiempo) mientras que también preservan el parámetro afín. El conjunto de todos los afines en forma una subálgebra de Lie de denotada por (el álgebra afín ) y satisface para M conexo , . Un vector afín se determina de manera única especificando los valores del campo vectorial y su primera derivada covariante (equivalentemente, especificando , y ) en cualquier punto de . Los afines también preservan los tensores de Riemann, Ricci y Weyl, es decir ${\displaystyle \nabla h=0}$ ${\displaystyle \psi =0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P(M)}$ ${\displaystyle A(M)}$ ${\displaystyle \dim A(M)\leq n(n+1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R^{a}{}_{bcd}=0}$, , ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}R_{ab}=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}C^{a}{}_{bcd}=0}$

Álgebra homotética

Los campos vectoriales homotéticos (homotecias) conservan la métrica hasta un factor constante, es decir . Como , toda homotecia es afín y el conjunto de todas las homotecias en forma una subálgebra de Lie de denotada por (el álgebra homotética ) y satisface para M conexos ${\displaystyle h={\mathcal {L}}_{X}g=2cg}$ ${\displaystyle \nabla h=0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A(M)}$ ${\displaystyle H(M)}$

${\displaystyle \dim H(M)\leq {\frac {1}{2}}n(n+1)+1}$.

Un campo vectorial homotético se determina de forma única especificando los valores del campo vectorial y su primera derivada covariante (de manera equivalente, especificando , y ) en cualquier punto de la variedad. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c}$

Matar el álgebra

Los campos vectoriales de Killing (Killings) conservan la métrica, es decir , . Si tomamos la propiedad definitoria de una homotecia, se ve que cada Killing es una homotecia (y, por lo tanto, afín) y el conjunto de todos los campos vectoriales de Killing en forma una subálgebra de Lie de denotada por (el álgebra de Killing ) y satisface para M conexos ${\displaystyle h={\mathcal {L}}_{X}g=0}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H(M)}$ ${\displaystyle K(M)}$

${\displaystyle \dim K(M)\leq {\frac {1}{2}}n(n+1)}$.

Un campo vectorial de Killing se determina de forma única especificando los valores del campo vectorial y su primera derivada covariante (equivalentemente, especificando y ) en cualquier punto (para cada componente conectado) de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$

Aplicaciones

En la relatividad general, muchos espacio-tiempos poseen ciertas simetrías que pueden caracterizarse mediante campos vectoriales en el espacio-tiempo. Por ejemplo, el espacio de Minkowski admite el álgebra proyectiva máxima, es decir . ${\displaystyle {\mathbb {M} }}$ ${\displaystyle \dim P({\mathbb {M} })=24}$

Se pueden encontrar muchas otras aplicaciones de los campos vectoriales de simetría en la relatividad general en Hall (2004), que también contiene una extensa bibliografía que incluye muchos artículos de investigación en el campo de las simetrías en la relatividad general .

Referencias

• Poor, W. (1981). Estructuras geométricas diferenciales . Nueva York: McGraw Hill. ISBN 0-07-050435-0.
• Yano, K. (1970). Fórmulas integrales en geometría riemanniana . Nueva York: Marcel Dekker. ISBN ???.
• Hall, Graham (2004). Simetrías y estructura de curvatura en la relatividad general (World Scientific Lecture Notes in Physics) . Singapur: World Scientific Pub. ISBN 981-02-1051-5.