Formalismo tétrada

Relatividad con base no derivada de coordenadas

El formalismo de tétrada es un enfoque de la relatividad general que generaliza la elección de la base para el paquete tangente desde una base de coordenadas a la elección menos restrictiva de una base local, es decir, un conjunto definido localmente de cuatro ^[a] campos vectoriales linealmente independientes llamado tétrada. o vierbein . ^[1] Es un caso especial de la idea más general de un formalismo vielbein , que se establece en la geometría (pseudo-) riemanniana . Este artículo, tal como está escrito actualmente, hace mención frecuente de la relatividad general; sin embargo, casi todo lo que dice es igualmente aplicable a variedades (pseudo) Riemannianas en general, e incluso a variedades de espín . La mayoría de las afirmaciones se mantienen simplemente sustituyendo arbitrario por . En alemán, " vier " se traduce como "cuatro" y " viel " como "muchos". ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=4}$

La idea general es escribir el tensor métrico como el producto de dos vielbeins , uno a la izquierda y otro a la derecha. El efecto de los vielbeins es cambiar el sistema de coordenadas utilizado en la variedad tangente a uno que sea más simple o más adecuado para los cálculos. Con frecuencia ocurre que el sistema de coordenadas Vielbein es ortonormal, ya que generalmente es el más fácil de usar. La mayoría de los tensores se vuelven simples o incluso triviales en este sistema de coordenadas; por lo tanto, se revela que la complejidad de la mayoría de las expresiones es un artefacto de la elección de coordenadas, más que una propiedad innata o un efecto físico. Es decir, como formalismo , no altera las predicciones; es más bien una técnica de cálculo.

La ventaja del formalismo de tétrada sobre el enfoque estándar basado en coordenadas de la relatividad general radica en la capacidad de elegir la base de tétrada para reflejar aspectos físicos importantes del espacio-tiempo. La notación de índice abstracto denota tensores como si estuvieran representados por sus coeficientes con respecto a una tétrada local fija. En comparación con una notación libre completamente coordinada , que a menudo es conceptualmente más clara, permite una manera fácil y computacionalmente explícita de denotar contracciones.

La importancia del formalismo tetrádico aparece en la formulación de la relatividad general de Einstein-Cartan . El formalismo tetrádico de la teoría es más fundamental que su formulación métrica, ya que no se pueden realizar conversiones entre las formulaciones tetrádica y métrica de las acciones fermiónicas a pesar de que esto sea posible para las acciones bosónicas. Esto se debe efectivamente a que los espinores de Weyl pueden definirse de forma muy natural en una variedad de Riemann ^[2] y su configuración natural conduce a la conexión de espín . Esos espinores toman forma en el sistema de coordenadas vielbein, y no en el sistema de coordenadas múltiple.

El formalismo tetrádico privilegiado también aparece en la deconstrucción de las teorías de gravedad de Kaluza-Klein de dimensiones superiores ^[3] y de las teorías de gravedad masiva , en las que las dimensiones extra son reemplazadas por series de N sitios de red tales que la métrica de dimensiones superiores es reemplazado por un conjunto de métricas interactivas que dependen únicamente de los componentes 4D. ^[4] Los Vielbeins suelen aparecer en otros entornos generales de física y matemáticas. Los Vielbeins pueden entenderse como formas de soldadura .

formulación matemática

La formulación tétrada es un caso especial de una formulación más general, conocida como formulación vielbein o n -bein, con n =4. Tome nota de la ortografía: en alemán, "viel" significa "muchos", no debe confundirse con "vier", que significa "cuatro".

En el formalismo vielbein, ^[5] se elige una cubierta abierta de la variedad espacio-temporal y una base local para cada uno de esos conjuntos abiertos: un conjunto de campos vectoriales independientes ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle e_{a}=e_{a}{}^{\mu }\partial _{\mu }}$

porque juntos abarcan el paquete tangente de dimensiones en cada punto del conjunto. Dualmente, un vielbein (o tétrada en 4 dimensiones) determina (y está determinado por) un co-vielbein dual (co-tétrada), un conjunto de 1-formas independientes . ${\displaystyle a=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

tal que

${\displaystyle e^{a}(e_{b})=e^{a}{}_{\mu }e_{b}{}^{\mu }=\delta _{b}^{a},}$

¿Dónde está el delta del Kronecker ? Un vielbein generalmente se especifica por sus coeficientes con respecto a una base de coordenadas, a pesar de que la elección de un conjunto de coordenadas (locales) es innecesaria para la especificación de una tétrada. Cada covector es una forma de soldadura . ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$ ${\displaystyle e^{\mu }{}_{a}}$ ${\displaystyle x^{\mu }}$

Desde el punto de vista de la geometría diferencial de los haces de fibras , los n campos vectoriales definen una sección del haz de marco , es decir, cuya paralelización equivale a un isomorfismo . Dado que no todas las variedades son paralelizables, un vielbein generalmente solo se puede elegir localmente ( es decir, solo en un gráfico de coordenadas y no en todas ). ${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1\dots n}}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$

Todos los tensores de la teoría se pueden expresar en base vectorial y covector, expresándolos como combinaciones lineales de miembros del (co)vielbein. Por ejemplo, el tensor métrico del espacio-tiempo se puede transformar de una base de coordenadas a una base de tétrada .

Las bases de tétradas populares en la relatividad general incluyen las tétradas ortonormales y las tétradas nulas. Las tétradas nulas se componen de cuatro vectores nulos , por lo que se utilizan con frecuencia en problemas relacionados con la radiación y son la base del formalismo de Newman-Penrose y del formalismo GHP .

Relación con el formalismo estándar

El formalismo estándar de la geometría diferencial (y de la relatividad general) consiste simplemente en utilizar la tétrada de coordenadas en el formalismo de la tétrada. La tétrada de coordenadas es el conjunto canónico de vectores asociados al gráfico de coordenadas . La tétrada de coordenadas se denota comúnmente mientras que se denota la cotétrada dual . Estos vectores tangentes generalmente se definen como operadores derivados direccionales : dado un gráfico que asigna un subconjunto de la variedad al espacio de coordenadas y cualquier campo escalar , los vectores de coordenadas son tales que: ${\displaystyle \{\partial _{\mu }\}}$ ${\displaystyle \{dx^{\mu }\}}$ ${\displaystyle {\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \partial _{\mu }[f]\equiv {\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x^{\mu }}}.}$

La definición de cotétrada utiliza el abuso habitual de notación para definir covectores (formas 1) en . La participación de la tétrada de coordenadas no suele hacerse explícita en el formalismo estándar. En el formalismo de tétrada, en lugar de escribir las ecuaciones tensoriales por completo (incluidos los elementos de tétrada y los productos tensoriales como se indicó anteriormente), solo se mencionan los componentes de los tensores. Por ejemplo, la métrica se escribe como " ". Cuando la tétrada no se especifica, esto se convierte en una cuestión de especificar el tipo de tensor llamado notación de índice abstracto . Permite especificar fácilmente la contracción entre tensores repitiendo índices como en la convención de suma de Einstein. ${\displaystyle dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle g_{ab}}$

Cambiar las tétradas es una operación rutinaria en el formalismo estándar, ya que está involucrada en cada transformación de coordenadas (es decir, cambiar de una base de tétrada de coordenadas a otra). El cambio entre múltiples gráficos de coordenadas es necesario porque, excepto en casos triviales, no es posible que un solo gráfico de coordenadas cubra toda la variedad. Cambiar hacia y entre tétradas generales es muy similar e igualmente necesario (excepto en el caso de variedades paralelizables ). Cualquier tensor se puede escribir localmente en términos de esta tétrada de coordenadas o de una (co)tétrada general.

Por ejemplo, el tensor métrico se puede expresar como: ${\displaystyle \mathbf {g} }$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\qquad {\text{where}}~g_{\mu \nu }=\mathbf {g} (\partial _{\mu },\partial _{\nu }).}$

(Aquí utilizamos la convención de suma de Einstein ). Asimismo, la métrica se puede expresar con respecto a una (co)tétrada arbitraria como

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}\qquad {\text{where}}~g_{ab}=\mathbf {g} \left(e_{a},e_{b}\right).}$

Aquí utilizamos la elección del alfabeto ( latín y griego ) para las variables del índice para distinguir la base aplicable.

Podemos traducir de una cotétrada general a la cotétrada de coordenadas expandiendo el covector . entonces obtenemos ${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$

de donde se deduce que . Asimismo, expandiendo con respecto a la tétrada general, obtenemos ${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }}$ ${\displaystyle dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}e^{b}}$

lo que demuestra eso . ${\displaystyle g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}}$

Manipulación de índices

La manipulación con coeficientes de tétrada muestra que las fórmulas de índices abstractos se pueden obtener, en principio, a partir de fórmulas tensoriales con respecto a una tétrada de coordenadas "reemplazando índices griegos por índices latinos". Sin embargo, se debe tener cuidado de que una fórmula de tétrada de coordenadas defina un tensor genuino cuando se trata de diferenciación. Dado que los campos vectoriales de coordenadas tienen un corchete de Lie que desaparece (es decir, conmutar :), las sustituciones ingenuas de fórmulas que calculan correctamente los coeficientes tensoriales con respecto a una tétrada de coordenadas pueden no definir correctamente un tensor con respecto a una tétrada general porque el corchete de Lie no desaparece. : . Así, a veces se dice que las coordenadas de la tétrada proporcionan una base no holonómica . ${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }}$ ${\displaystyle [e_{a},e_{b}]\neq 0}$

Por ejemplo, el tensor de curvatura de Riemann se define para campos vectoriales generales por ${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)}$.

En una tétrada de coordenadas esto da coeficientes tensoriales

${\displaystyle R_{\ \nu \sigma \tau }^{\mu }=dx^{\mu }\left((\nabla _{\sigma }\nabla _{\tau }-\nabla _{\tau }\nabla _{\sigma })\partial _{\nu }\right).}$

La ingenua sustitución "del griego al latín" de esta última expresión

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c})e_{b}\right)\qquad {\text{(wrong!)}}}$

es incorrecto porque para c y d fijos , es, en general, un operador diferencial de primer orden en lugar de un operador de orden cero que define un coeficiente tensorial. Sin embargo, sustituyendo una base de tétrada general en la fórmula abstracta encontramos la definición adecuada de la curvatura en la notación de índice abstracta: ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)}$

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e})e_{b}\right)}$

dónde . Tenga en cuenta que la expresión es de hecho un operador de orden cero, por lo tanto (el componente ( c d ) de) un tensor. Dado que concuerda con la expresión de coordenadas de la curvatura cuando se especializa en una tétrada de coordenadas, está claro, incluso sin utilizar la definición abstracta de curvatura, que define el mismo tensor que la expresión de la base de coordenadas. ${\displaystyle [e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}}$ ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)}$

Ejemplo: grupos de mentiras

Dado un vector (o covector) en la variedad tangente (o cotangente), el mapa exponencial describe la geodésica correspondiente de ese vector tangente. Escribiendo , el transporte paralelo de un diferencial corresponde a ${\displaystyle X\in TM}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }$

Lo anterior se puede verificar fácilmente simplemente considerándolo una matriz. ${\displaystyle X}$

Para el caso especial de un álgebra de Lie , se puede tomar como un elemento del álgebra, el exponencial es el mapa exponencial de un grupo de Lie , y los elementos del grupo corresponden a las geodésicas del vector tangente. Al elegir una base para el álgebra de Lie y escribir para algunas funciones, los conmutadores se pueden escribir explícitamente. Uno calcula fácilmente que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle X=X^{i}e_{i}}$ ${\displaystyle X^{i},}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots }$

para las constantes de estructura del álgebra de Lie. La serie se puede escribir de forma más compacta como ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j}}$

con la serie infinita

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}$

Aquí hay una matriz cuyos elementos de matriz son . La matriz es entonces el vielbein; expresa el diferencial en términos de las "coordenadas planas" (ortonormales, además) . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle dX^{j}}$ ${\displaystyle e_{i}}$

Dado algún mapa de alguna variedad a algún grupo de Lie , el tensor métrico en la variedad se convierte en el retroceso del tensor métrico en el grupo de Lie : ${\displaystyle N\to G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{mn}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}B_{mn}{W^{n}}_{j}}$

El tensor métrico del grupo de Lie es la métrica de Cartan, también conocida como la forma Killing . Tenga en cuenta que, como matriz, la segunda W es la transpuesta. Para una variedad (pseudo) Riemanniana , la métrica es una métrica (pseudo) Riemanniana . Lo anterior se generaliza al caso de espacios simétricos . ^[6] Estos vielbeins se utilizan para realizar cálculos en modelos sigma , de los cuales las teorías de supergravedad son un caso especial. ^[7] ${\displaystyle B_{mn}}$ ${\displaystyle N}$

Ver también

• Paquete de marco
• Paquete de marco ortonormal
• paquete principal
• paquete de giro
• Conexión (matemáticas)
• estructura G
• Colector de giro
• Estructura de giro
• Ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo

Notas

1. El mismo enfoque se puede utilizar para un espacio-tiempo de dimensión arbitraria, donde el marco del conjunto de marcos se denomina n-bein o vielbein .

Citas

1. De Felice, F.; Clarke, CJS (1990), Relatividad en variedades curvas , pág. 133, ISBN 0-521-26639-4
2. Jost, Jürgen (1995), Geometría riemanniana y análisis geométrico , Springer, ISBN 3-540-57113-2
3. Arkani-Hamed, Nima; Cohen, Andrew G.; Georgi, Howard (mayo de 2001). "(Des)Construcción de dimensiones". Cartas de revisión física . 86 (21): 4757–4761. arXiv : hep-th/0104005 . Código bibliográfico : 2001PhRvL..86.4757A. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.4757. ISSN  0031-9007. PMID  11384341. S2CID  4540121.
4. de Rham, Claudia (diciembre de 2014). "Gravedad masiva". Reseñas vivas en relatividad . 17 (1): 7. arXiv : 1401.4173 . Código Bib : 2014LRR....17....7D. doi :10.12942/lrr-2014-7. ISSN  2367-3613. PMC 5256007 . PMID  28179850. 
5. Tohru Eguchi, Peter B. Gilkey y Andrew J. Hanson, "Gravitación, teorías de calibre y geometría diferencial", Physics Reports 66 (1980) págs.
6. Nejat Tevfik Yilmaz, (2007) "Sobre la cinemática del modelo Sigma del espacio simétrico" arXiv:0707.2150 [hep-th]
7. Arjan Keurentjes (2003) "La teoría de grupo de la oxidación", arXiv:0210178 [hep-th]

Referencias

• De Felice, F.; Clarke, CJS (1990), Relatividad en variedades curvas (publicado por primera vez en 1990), Cambridge University Press, ISBN 0-521-26639-4
• Benn, IM; Tucker, RW (1987), Introducción a los espinores y la geometría con aplicaciones en física (publicado por primera vez en la edición de 1987), Adam Hilger, ISBN 0-85274-169-3

enlaces externos

• Relatividad general con tétradas