esfera de fotones

Región esférica del espacio de alta gravedad alrededor de la cual viajan partículas sin masa en órbitas

Una animación de cómo los rayos de luz se pueden doblar gravitacionalmente para formar una esfera de fotones.

Una esfera de fotones ^[1] o círculo de fotones ^[2] es un área o región del espacio donde la gravedad es tan fuerte que los fotones se ven obligados a viajar en órbitas, lo que a veces también se denomina órbita del último fotón . ^[3] El radio de la esfera de fotones, que también es el límite inferior para cualquier órbita estable , es, para un agujero negro de Schwarzschild ,

${\displaystyle r={\frac {3GM}{c^{2}}}={\frac {3r_{\text{s}}}{2}},}$

donde G es la constante gravitacional , M es la masa del agujero negro , c es la velocidad de la luz en el vacío y r _s es el radio de Schwarzschild (el radio del horizonte de sucesos ); consulte a continuación una derivación de este resultado.

Esta ecuación implica que las esferas de fotones sólo pueden existir en el espacio que rodea a un objeto extremadamente compacto (un agujero negro o posiblemente una estrella de neutrones "ultracompacta" ^[4] ).

La esfera de fotones se encuentra más lejos del centro de un agujero negro que el horizonte de sucesos. Dentro de una esfera de fotones, es posible imaginar un fotón que se emite desde la parte posterior de la cabeza, orbitando el agujero negro, para luego ser interceptado por los ojos de la persona, permitiéndole ver la parte posterior de la cabeza. Para los agujeros negros no giratorios, la esfera de fotones es una esfera de radio 3/2  r _s . No existen órbitas estables de caída libre que existan dentro o que crucen la esfera de fotones. Cualquier órbita en caída libre que la cruce desde el exterior gira en espiral hacia el agujero negro. Cualquier órbita que lo atraviese desde el interior escapa al infinito o vuelve a caer y gira en espiral hacia el agujero negro. No es posible una órbita no acelerada con un semieje mayor menor que esta distancia, pero dentro de la esfera de fotones, una aceleración constante permitirá que una nave espacial o una sonda flote sobre el horizonte de sucesos.

Otra propiedad de la esfera de fotones es la inversión de la fuerza centrífuga (nota: no centrípeta ). ^[5] Fuera de la esfera de fotones, cuanto más rápido se orbita, mayor es la fuerza hacia afuera que se siente. La fuerza centrífuga cae a cero en la esfera de fotones, incluidas las órbitas sin caída libre a cualquier velocidad, es decir, un objeto pesa lo mismo sin importar a qué velocidad orbita y se vuelve negativo en su interior. Dentro de la esfera de fotones, una órbita más rápida conduce a un mayor peso o fuerza hacia adentro. Esto tiene serias ramificaciones para la dinámica de fluidos del flujo de fluido entrante.

Un agujero negro en rotación tiene dos esferas de fotones. Cuando un agujero negro gira, arrastra el espacio consigo. La esfera de fotones que está más cerca del agujero negro se mueve en la misma dirección que la rotación, mientras que la esfera de fotones más alejada se mueve en contra de él. Cuanto mayor es la velocidad angular de rotación de un agujero negro, mayor es la distancia entre las dos esferas de fotones. Dado que el agujero negro tiene un eje de rotación, esto sólo es cierto si nos acercamos al agujero negro en la dirección del ecuador. En una órbita polar , sólo hay una esfera de fotones. Esto se debe a que al acercarse en este ángulo no existe la posibilidad de viajar a favor o en contra de la rotación. En cambio, la rotación hará que la órbita precese . ^[6]

Derivación de un agujero negro de Schwarzschild

Dado que un agujero negro de Schwarzschild tiene simetría esférica, todos los ejes posibles para una órbita circular de un fotón son equivalentes y todas las órbitas circulares tienen el mismo radio.

Esta derivación implica el uso de la métrica de Schwarzschild , dada por

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}(\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}+d\theta ^{2}).}$

Para un fotón que viaja con un radio constante r (es decir, en la dirección de coordenadas φ ), . Dado que es un fotón (un "intervalo similar a la luz"). Siempre podemos rotar el sistema de coordenadas de manera que sea constante (por ejemplo, ). ${\displaystyle dr=0}$ ${\displaystyle ds=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta =0}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

Poniendo ds , dr y dθ a cero, tenemos

${\displaystyle \left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}\,dt^{2}=r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.}$

Reorganizar da

${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {c}{r\sin \theta }}{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}}.}$

Para continuar, necesitamos la relación . Para encontrarlo utilizamos la ecuación geodésica radial. ${\displaystyle {\frac {d\phi }{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{r}u^{\mu }u^{\nu }=0.}$

Los coeficientes de conexión que no desaparecen son ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma _{tt}^{r}={\frac {c^{2}BB'}{2}},\quad \Gamma _{rr}^{r}=-{\frac {B^{-1}B'}{2}},\quad \Gamma _{\theta \theta }^{r}=-rB,\quad \Gamma _{\phi \phi }^{r}=-Br\sin ^{2}\theta ,}$

dónde . ${\displaystyle B'={\frac {dB}{dr}},\ B=1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}$

Tratamos geodésicas radiales de fotones con r constante y , por lo tanto ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {dr}{d\tau }}={\frac {d^{2}r}{d\tau ^{2}}}={\frac {d\theta }{d\tau }}=0.}$

Sustituyendo todo esto en la ecuación geodésica radial (la ecuación geodésica con la coordenada radial como variable dependiente), obtenemos

${\displaystyle \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}={\frac {c^{2}r_{\text{s}}}{2r^{3}\sin ^{2}\theta }}.}$

Comparándolo con lo obtenido anteriormente tenemos

${\displaystyle c{\sqrt {\frac {r_{\text{s}}}{2r}}}=c{\sqrt {1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}}},}$

donde hemos insertado radianes (imagínese que la masa central, alrededor de la cual orbita el fotón, está ubicada en el centro de los ejes de coordenadas. Luego, a medida que el fotón viaja a lo largo de la línea de coordenadas -, para que la masa esté ubicada directamente en el centro de la órbita del fotón, debemos tener radianes). ${\displaystyle \theta =\pi /2}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta =\pi /2}$

Por lo tanto, reorganizar esta expresión final da

${\displaystyle r={\frac {3}{2}}r_{\text{s}},}$

que es el resultado que nos propusimos demostrar.

Un fotón orbita alrededor de un agujero negro de Kerr

Vistas desde un lado (l) y desde arriba de un poste (r). Un agujero negro en rotación tiene 9 radios entre los cuales la luz puede orbitar en una coordenada r constante . En esta animación, se muestran todas las órbitas de los fotones para a = M.

A diferencia de un agujero negro de Schwarzschild, un agujero negro de Kerr (giratorio) no tiene simetría esférica, sino sólo un eje de simetría, lo que tiene profundas consecuencias para las órbitas de los fotones; véase, por ejemplo, Cramer ^[2] para detalles y simulaciones de órbitas de fotones. y círculos de fotones. Hay dos órbitas circulares de fotones en el plano ecuatorial (prograda y retrógrada), con diferentes radios de Boyer-Lindquist :

${\displaystyle r_{\pm }^{\circ }=r_{\text{s}}\left[1+\cos \left({\frac {2}{3}}\arccos {\frac {\pm |a|}{M}}\right)\right],}$

¿Dónde está el momento angular por unidad de masa del agujero negro? ^[7] Existen otras órbitas de radio constante, pero tienen trayectorias más complicadas que oscilan en latitud alrededor del ecuador. ^[7] ${\displaystyle a=J/M}$

Referencias

1. Bennett, Jay (10 de abril de 2019). "Los astrónomos capturan la primera imagen de un agujero negro supermasivo". Smithsonian.com . Institución Smithsonian. Archivado desde el original el 13 de abril de 2021 . Consultado el 15 de abril de 2019 .
2. Cramer, Claes R. (1997). "Uso del agujero negro de Kerr descargado como espejo gravitacional". Relatividad General y Gravitación . 29 (4): 445–454. arXiv : gr-qc/9510053 . Código Bib : 1997GReGr..29..445C. doi :10.1023/A:1018878515046. S2CID  9517046.
3. "Qué significa la vista de un agujero negro para un físico de agujeros negros" Archivado el 14 de mayo de 2021 en Wayback Machine , Revista Quanta , 10 de abril de 2019: "una región definida por la ubicación más cercana al agujero negro donde un haz de La luz podría orbitar en un círculo, conocido como la “órbita del último fotón”.
4. Propiedades de las estrellas de neutrones ultracompactas Archivado el 6 de mayo de 2021 en Wayback Machine .
5. Abramowicz, Marek (1990). "Inversión de la fuerza centrífuga cerca de un agujero negro de Schwarzschild". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 245 : 720. Código bibliográfico : 1990MNRAS.245..720A.
6. Hirata, Christopher M. (diciembre de 2011). "Conferencia XXVII: Agujeros negros de Kerr: II. Precesión, órbitas circulares y estabilidad" (PDF) . Caltech . Consultado el 5 de marzo de 2018 .
7. Teo, Edward (2003). "Órbitas de fotones esféricos alrededor de un agujero negro de Kerr" (PDF) . Relatividad General y Gravitación . 35 (11): 1909-1926. Código Bib : 2003GReGr..35.1909T. doi :10.1023/A:1026286607562. ISSN  0001-7701. S2CID  117097507. Archivado (PDF) desde el original el 3 de junio de 2020 . Consultado el 24 de agosto de 2010 .

enlaces externos

• Paso a paso hacia un agujero negro
• Viajes virtuales a agujeros negros y estrellas de neutrones
• Guía de agujeros negros
• Órbitas de fotones esféricos alrededor de un agujero negro de Kerr