Métrica de Schwarzschild interior

En la teoría de la relatividad general de Einstein , la métrica interior de Schwarzschild (también llamada solución interior de Schwarzschild o solución fluida de Schwarzschild ) es una solución exacta para el campo gravitatorio en el interior de un cuerpo esférico no giratorio que consiste en un fluido incompresible (lo que implica que la densidad es constante en todo el cuerpo) y tiene presión cero en la superficie. Esta es una solución estática, lo que significa que no cambia con el tiempo. Fue descubierta por Karl Schwarzschild en 1916, quien anteriormente había descubierto la métrica exterior de Schwarzschild . ^[1]

Matemáticas

Coordenadas esféricas

La métrica interior de Schwarzschild está enmarcada en un sistema de coordenadas esféricas con el centro del cuerpo situado en el origen, más la coordenada temporal. Su elemento de línea es ^{[2] [3]}

${\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=-{\frac {1}{4}}\left(3{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r_{g}}}}}-{\sqrt {1-{\frac {r^{2}r_{s}}{r_{g}^{3}}}}}\right)^{2}c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}r_{s}}{r_{g}^{3}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right),}$

dónde

• ${\displaystyle \tau }$es el tiempo propio (tiempo medido por un reloj que se mueve a lo largo de la misma línea del mundo que la partícula de prueba ).
• ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz .
• ${\displaystyle t}$es la coordenada del tiempo (medida por un reloj estacionario situado infinitamente lejos del cuerpo esférico).
• ${\displaystyle r}$es la coordenada radial de Schwarzschild. Cada superficie de constante y tiene la geometría de una esfera con circunferencia y área medibles (adecuadas) (como con las fórmulas habituales), pero la deformación del espacio significa que la distancia adecuada desde cada capa hasta el centro del cuerpo es mayor que . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2\pi r}$ ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle \theta }$es la colatitud (ángulo desde el norte, en unidades de radianes ).
• ${\displaystyle \varphi }$es la longitud (también en radianes).
• ${\displaystyle r_{s}}$es el radio de Schwarzschild del cuerpo, que está relacionado con su masa por , donde es la constante gravitacional . (Para las estrellas y planetas ordinarios, esto es mucho menor que su radio propio). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r_{s}=2GM/c^{2}}$ ${\displaystyle G}$
• ${\displaystyle r_{g}}$es el valor de la coordenada en la superficie del cuerpo. (Este es menor que su radio propio (interior medible), aunque para la Tierra la diferencia es solo de aproximadamente 1,4 milímetros.) ${\displaystyle r}$

Esta solución es válida para . Para obtener una métrica completa del campo gravitatorio de la esfera, la métrica de Schwarzschild interior debe coincidir con la exterior, ${\displaystyle r\leq r_{g}}$

${\displaystyle -c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right),}$

en la superficie. Se puede ver fácilmente que los dos tienen el mismo valor en la superficie, es decir, en . ${\displaystyle r=r_{g}}$

Otras formulaciones

Definiendo un parámetro , obtenemos ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{2}=r_{g}^{3}/r_{s}}$

${\displaystyle -c^{2}{d\tau }^{2}=-{\frac {1}{4}}\left(3{\sqrt {1-{\frac {r_{g}^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}-{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}}}\right)^{2}c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{{\mathcal {R}}^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right).}$

También podemos definir una coordenada radial alternativa y un parámetro correspondiente , obteniendo ^[4] ${\displaystyle \eta =\arcsin {\frac {r}{\mathcal {R}}}}$ ${\displaystyle \eta _{g}=\arcsin {\frac {r_{g}}{\mathcal {R}}}=\arcsin {\sqrt {\frac {r_{s}}{r_{g}}}}}$

${\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=\left({\frac {3\cos \eta _{g}-\cos \eta }{2}}\right)^{2}c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{\cos ^{2}\eta }}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right).}$

Propiedades

Volumen

Con y el área ${\displaystyle g_{rr}=(1-r_{s}r^{2}/r_{g}^{3})^{-1}}$ ${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$

La integral para el volumen propio es

${\displaystyle V=\int _{0}^{r_{g}}A{\sqrt {g_{rr}}}\,{\rm {d}}r=2\pi \left({\frac {r_{g}^{9/2}\arcsin {\sqrt {\frac {r_{s}}{r_{g}}}}}{r_{s}^{3/2}}}-{\frac {r_{g}^{4}{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r_{g}}}}}}{r_{s}}}\right)}$

que es mayor que el volumen de una capa de referencia euclidiana.

Densidad

El fluido tiene una densidad constante por definición. Viene dada por

${\displaystyle \rho ={\frac {M}{{\frac {4\pi }{3}}r_{g}^{3}}}={\frac {3}{\kappa {\mathcal {R}}^{2}}},}$

donde es la constante gravitacional de Einstein . ^{[3] [5]} Puede ser contraintuitivo que la densidad sea la masa dividida por el volumen de una esfera con radio , lo que parece ignorar que este es menor que el radio propio, y que el espacio dentro del cuerpo es curvo de modo que la fórmula del volumen para una esfera "plana" no debería ser válida en absoluto. Sin embargo, es la masa medida desde el exterior, por ejemplo observando una partícula de prueba orbitando el cuerpo gravitatorio (la " masa de Kepler "), que en la relatividad general no es necesariamente igual a la masa propia. Esta diferencia de masa cancela exactamente la diferencia de los volúmenes. ${\displaystyle \kappa =8\pi G/c^{2}}$ ${\displaystyle r_{g}}$ ${\displaystyle M}$

Presión y estabilidad

La presión del fluido incompresible se puede encontrar calculando el tensor de Einstein a partir de la métrica. El tensor de Einstein es diagonal (es decir, todos los elementos fuera de la diagonal son cero), lo que significa que no hay tensiones de corte , y tiene valores iguales para los tres componentes diagonales espaciales, lo que significa que la presión es isotrópica . Su valor es ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$

${\displaystyle p=\rho c^{2}{\frac {\cos \eta -\cos \eta _{g}}{3\cos \eta _{g}-\cos \eta }}.}$

Como era de esperar, la presión es cero en la superficie de la esfera y aumenta hacia el centro. Se vuelve infinita en el centro si , que corresponde a o , lo cual es cierto para un cuerpo que es extremadamente denso o grande. Un cuerpo así sufre un colapso gravitacional en un agujero negro . Como se trata de un proceso dependiente del tiempo, la solución de Schwarzschild ya no se cumple. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \cos \eta _{g}=1/3}$ ${\displaystyle r_{s}={\frac {8}{9}}r_{g}}$ ${\displaystyle \eta _{g}\approx 70.5^{\circ }}$

Desplazamiento al rojo

El corrimiento al rojo gravitacional de la radiación de la superficie de la esfera (por ejemplo, la luz de una estrella) es

${\displaystyle z={\frac {1}{\cos \eta _{g}}}-1.}$

De la condición de estabilidad se deduce . ^[3] ${\displaystyle \cos \eta _{g}>1/3}$ ${\displaystyle z<2}$

Visualización

Incorporación de una porción de la métrica de Schwarzschild en un espacio euclidiano tridimensional. La solución interior es la tapa más oscura en la parte inferior.
Esta incorporación no debe confundirse con el concepto no relacionado de pozo de gravedad .

La curvatura espacial de la métrica de Schwarzschild interior se puede visualizar tomando una porción (1) con tiempo constante y (2) a través del ecuador de la esfera, es decir . Esta porción bidimensional se puede incrustar en un espacio euclidiano tridimensional y luego toma la forma de una tapa esférica con radio y medio ángulo de apertura . Su curvatura gaussiana es proporcional a la densidad del fluido e igual a . Como la métrica exterior se puede incrustar de la misma manera (lo que produce el paraboloide de Flamm ), se puede dibujar una porción de la solución completa de la siguiente manera: ^{[5] [6]} ${\displaystyle t=const.,\theta =\pi /2}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \eta _{g}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{-2}=r_{s}/r_{g}^{3}=\rho \kappa /3}$

En este gráfico, el arco circular azul representa la métrica interior y los arcos parabólicos negros con la ecuación representan la métrica exterior, o paraboloide de Flamm. La coordenada es el ángulo medido desde el centro de la tapa, es decir, desde "arriba" de la rebanada. El radio propio de la esfera (intuitivamente, la longitud de una vara de medir que se extiende desde su centro hasta un punto en su superficie) es la mitad de la longitud del arco circular, o . ${\displaystyle w=2{\sqrt {r_{s}(r-r_{s})}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta _{g}{\mathcal {R}}}$

Se trata de una visualización puramente geométrica y no implica una "cuarta dimensión espacial" física en la que se curvaría el espacio. (La curvatura intrínseca no implica una curvatura extrínseca ).

Ejemplos

A continuación se presentan los parámetros relevantes para algunos objetos astronómicos, sin tener en cuenta la rotación y las inhomogeneidades como la desviación de la forma esférica y la variación en la densidad.

Historia

La solución interior de Schwarzschild fue la primera solución estática de fluido perfecto con simetría esférica que se encontró. Se publicó el 24 de febrero de 1916, sólo tres meses después de las ecuaciones de campo de Einstein y un mes después de la solución exterior de Schwarzschild. ^{[1] [2]}

Referencias

1. Karl Schwarzschild (1916). "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie" [Sobre el campo gravitacional de una masa puntual según la teoría de Einstein]. Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften (en alemán). Berlín: 189-196. Código Bib :1916SPAW.......189S.
2. Karl Schwarzschild (1916). "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie" [Sobre el campo gravitacional de una bola de fluido incompresible según la teoría de Einstein]. Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften (en alemán). Berlín: 424–434. Código bibliográfico : 1916skpa.conf..424S.
3. Torsten Fließbach (2003). Allgemeine Relativitätstheorie [ Teoría general de la relatividad ] (en alemán) (4ª ed.). Spektrum Akademischer Verlag. págs. 231–241. ISBN 3-8274-1356-7.
4. R. Burghardt (2009). «Solución de Schwarzschild interior y caída libre» (PDF) . Informes austríacos sobre gravitación . Archivado desde el original (PDF) el 5 de marzo de 2017. Consultado el 5 de mayo de 2016 .
5. PS Florides (1974). "Una nueva solución de Schwarzschild interior". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A, Ciencias matemáticas y físicas . 337 (1611): 529–535. Bibcode :1974RSPSA.337..529F. doi :10.1098/rspa.1974.0065. JSTOR  78530. S2CID  122449954.
6. R. Burghardt (2009). "Nueva incrustación de la geometría de Schwarzschild. II. Solución interior" (PDF) . Informes austriacos sobre gravitación . Archivado desde el original (PDF) el 8 de mayo de 2016. Consultado el 3 de mayo de 2016 .