Solución de vacío (relatividad general)

Lorentzian manifold with vanishing Einstein tensor

En la relatividad general , una solución de vacío es una variedad lorentziana cuyo tensor de Einstein se anula de forma idéntica. Según la ecuación de campo de Einstein , esto significa que el tensor de tensión-energía también se anula de forma idéntica, de modo que no hay materia ni campos no gravitacionales. Estas son distintas de las soluciones de electrovacío , que tienen en cuenta el campo electromagnético además del campo gravitacional. Las soluciones de vacío también son distintas de las soluciones de lambdavacío , donde el único término en el tensor de tensión-energía es el término de la constante cosmológica (y, por lo tanto, los lambdavacíos pueden tomarse como modelos cosmológicos).

De manera más general, una región de vacío en una variedad lorentziana es una región en la que el tensor de Einstein se desvanece.

Las soluciones de vacío son un caso especial de las soluciones exactas más generales de la relatividad general .

Condiciones equivalentes

Es un hecho matemático que el tensor de Einstein se anula si y sólo si se anula el tensor de Ricci . Esto se deduce del hecho de que estos dos tensores de segundo rango se encuentran en una especie de relación dual; son el inverso de la traza uno del otro:

${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\frac {R}{2}}\,g_{ab},\;\;R_{ab}=G_{ab}-{\frac {G}{2}}\,g_{ab}}$

donde estan las huellas ${\displaystyle R={R^{a}}_{a},\;\;G={G^{a}}_{a}=-R}$

Una tercera condición equivalente se desprende de la descomposición de Ricci del tensor de curvatura de Riemann como suma del tensor de curvatura de Weyl más los términos construidos a partir del tensor de Ricci: los tensores de Weyl y Riemann concuerdan, , en alguna región si y sólo si es una región de vacío. ${\displaystyle R_{abcd}=C_{abcd}}$

Energía gravitacional

Dado que en una región de vacío, podría parecer que, según la relatividad general, las regiones de vacío no deben contener energía , pero el campo gravitatorio puede realizar trabajo , por lo que debemos esperar que el propio campo gravitatorio posea energía, y la tiene. Sin embargo, determinar la ubicación precisa de esta energía del campo gravitatorio es técnicamente problemático en la relatividad general, por su propia naturaleza de separación clara en una interacción gravitatoria universal y "todo el resto". ${\displaystyle T^{ab}=0}$

El hecho de que el propio campo gravitatorio posea energía nos permite entender la no linealidad de la ecuación de campo de Einstein: esta energía del campo gravitatorio produce más gravedad (esto se describe como "la gravedad de la gravedad", ^[1] o diciendo que "la gravedad gravita"). Esto significa que el campo gravitatorio fuera del Sol es un poco más fuerte según la relatividad general que según la teoría de Newton.

Ejemplos

Algunos ejemplos conocidos de soluciones de vacío explícitas incluyen:

• El espacio-tiempo de Minkowski (que describe el espacio vacío sin constante cosmológica )
• Modelo de Milne (que es un modelo desarrollado por EA Milne que describe un universo vacío que no tiene curvatura)
• Vacío de Schwarzschild (que describe la geometría del espacio-tiempo alrededor de una masa esférica),
• Vacío de Kerr (que describe la geometría alrededor de un objeto giratorio),
• Vacío Taub-NUT (un famoso contraejemplo que describe el campo gravitacional exterior de un objeto aislado con propiedades extrañas),
• Vacío de Kerns-Wild (Robert M. Kerns y Walter J. Wild 1982) (un objeto de Schwarzschild inmerso en un campo gravitacional ambiental "casi uniforme"),
• doble vacío de Kerr (dos objetos de Kerr que comparten el mismo eje de rotación, pero se mantienen separados por "cables" de masa gravitacional activa cero no físicos que salen hacia puntos de suspensión infinitamente alejados),
• Vacío de Khan-Penrose (KA Khan y Roger Penrose 1971) (un modelo simple de ondas planas en colisión),
• Vacío de Oszváth-Schücking (la onda gravitacional sinusoidal polarizada circularmente, otro famoso contraejemplo).
• Métrica de Kasner (una solución anisotrópica, utilizada para estudiar el caos gravitacional en tres o más dimensiones).

Todos ellos pertenecen a una o más familias generales de soluciones:

• el vacío de Weyl ( Hermann Weyl ) (la familia de todas las soluciones de vacío estático),
• el vacío de Beck ( Guido Beck 1925 ^[2] ) (la familia de todas las soluciones de vacío no rotatorias y cilíndricamente simétricas),
• el vacío de Ernst (Frederick J. Ernst 1968) (la familia de todas las soluciones de vacío axisimétricas estacionarias),
• el vacío de Ehlers ( Jürgen Ehlers ) (la familia de todas las soluciones de vacío cilíndricamente simétricas),
• el vacío de Szekeres ( George Szekeres ) (la familia de todos los modelos de ondas planas gravitacionales en colisión),
• el vacío de Gowdy (Robert H. Gowdy) (modelos cosmológicos construidos utilizando ondas gravitacionales),

Varias de las familias mencionadas aquí, cuyos miembros se obtienen resolviendo una ecuación diferencial parcial real o compleja, lineal o no lineal apropiada, resultan estar estrechamente relacionadas, de maneras quizás sorprendentes.

Además de estos, también tenemos los espaciotiempos de ondas pp de vacío , que incluyen las ondas planas gravitacionales .

Véase también

• Introducción a las matemáticas de la relatividad general
• Defecto topológico

Referencias

1. Markus Pössel (2007), "La gravedad de la gravedad", Einstein Online , Instituto Max Planck de Física Gravitacional
2. Beck, Guido (1 de diciembre de 1925). "Zur Theorie binärer Gravitationsfelder". Zeitschrift für Physik (en alemán). 33 (1): 713–728. doi :10.1007/BF01328358. ISSN  0044-3328.

Fuentes

• Stephani, Hans, ed. (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (PDF) . Cambridge monographs on mathematics physics (2.ª ed.). Cambridge, Reino Unido; Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46136-8.