La topología del espacio-tiempo es la estructura topológica del espacio-tiempo , un tema estudiado principalmente en la relatividad general . Esta teoría física modela la gravitación como la curvatura de una variedad lorentziana de cuatro dimensiones (un espacio-tiempo) y, por lo tanto, los conceptos de topología se vuelven importantes en el análisis de los aspectos locales y globales del espacio-tiempo. El estudio de la topología del espacio-tiempo es especialmente importante en cosmología física .
Hay dos tipos principales de topología para un espacio- tiempo M.
Como ocurre con cualquier variedad, un espacio-tiempo posee una topología múltiple natural . Aquí los conjuntos abiertos son la imagen de los conjuntos abiertos en .
Definición : [1] La topología en la que un subconjunto está abierto si para cada curva temporal hay un conjunto en la topología múltiple tal que .
Es la topología más fina la que induce la misma topología que en las curvas temporales. [2]
Estrictamente más fino que la topología múltiple. Por tanto, es Hausdorff , separable pero no localmente compacto .
Una base para la topología son conjuntos de la forma para algún punto y alguna vecindad normal convexa .
( denota el pasado y el futuro cronológicos ).
La topología de Alexandrov en el espacio-tiempo es la topología más burda tal que tanto y están abiertos para todos los subconjuntos .
Aquí la base de conjuntos abiertos para la topología son conjuntos de la forma para algunos puntos .
Esta topología coincide con la topología múltiple si y sólo si la variedad es fuertemente causal pero es más burda en general. [3]
Tenga en cuenta que en matemáticas, una topología de Alexandrov en un orden parcial generalmente se considera la topología más burda en la que solo se requiere que los conjuntos superiores estén abiertos. Esta topología se remonta a Pavel Alexandrov .
Hoy en día, el término matemático correcto para la topología de Alexandrov en el espacio-tiempo (que se remonta a Alexandr D. Alexandrov ) sería topología de intervalo , pero cuando Kronheimer y Penrose introdujeron el término esta diferencia en nomenclatura no era tan clara [ cita necesaria ] , y en física, el término topología de Alexandrov sigue en uso.
Los eventos conectados por la luz tienen separación cero. La plenitud del espacio-tiempo en el plano se divide en cuatro cuadrantes, cada uno de los cuales tiene la topología de R 2 . Las líneas divisorias son la trayectoria de los fotones entrantes y salientes en (0,0). La segmentación topológica de la cosmología plana es el futuro F, el pasado P, el espacio izquierdo L y el espacio derecho D. El homeomorfismo de F con R 2 equivale a la descomposición polar de números complejos divididos :
F está en correspondencia biyectiva con cada uno de P, L y D bajo las asignaciones z → – z , z → j z y z → – j z , por lo que cada uno adquiere la misma topología. La unión U = F ∪ P ∪ L ∪ D entonces tiene una topología que casi cubre el plano, dejando fuera solo el cono nulo en (0,0). La rotación hiperbólica del plano no mezcla los cuadrantes, de hecho, cada uno es un conjunto invariante bajo el grupo de hipérbola unitaria .
