Condiciones de causalidad

En el estudio de los espaciotiempos de las variedades lorentzianas existe una jerarquía de condiciones de causalidad que son importantes para demostrar teoremas matemáticos sobre la estructura global de dichas variedades. Estas condiciones fueron recopiladas a fines de la década de 1970. ^[1]

Cuanto más débil sea la condición de causalidad en un espacio-tiempo, más no físico será el espacio-tiempo. Los espacio-tiempos con curvas temporales cerradas , por ejemplo, presentan graves dificultades de interpretación. Véase la paradoja del abuelo .

Es razonable creer que cualquier espacio-tiempo físico satisfará la condición de causalidad más fuerte: la hiperbolicidad global . Para tales espacio-tiempos, las ecuaciones de la relatividad general pueden plantearse como un problema de valor inicial en una superficie de Cauchy .

La jerarquía

Existe una jerarquía de condiciones de causalidad, cada una de las cuales es estrictamente más fuerte que la anterior. A esto se le denomina a veces la escalera causal . Las condiciones, de la más débil a la más fuerte, son:

• No totalmente vicioso
• Cronológico
• Causal
• Distintivo
• Fuertemente causal
• Causal estable
• Causalmente continua
• Causalmente simple
• Globalmente hiperbólico

Se dan las definiciones de estas condiciones de causalidad para una variedad lorentziana . Cuando se dan dos o más, son equivalentes. ${\displaystyle (M,g)}$

Notación :

• ${\displaystyle p\ll q}$denota la relación cronológica .
• ${\displaystyle p\prec q}$denota la relación causal .

(Véase la estructura causal para las definiciones de , y , .) ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ ${\displaystyle \,I^{-}(x)}$ ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$ ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$

No totalmente vicioso

• Para algunos puntos tenemos . ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle p\not \ll p}$

Cronológico

• No existen curvas cronológicas (temporales) cerradas.
• La relación cronológica es irreflexiva : para todos . ${\displaystyle p\not \ll p}$ ${\displaystyle p\in M}$

Causal

• No existen curvas causales cerradas (no espaciales).
• Si ambos y entonces ${\displaystyle p\prec q}$ ${\displaystyle q\prec p}$ ${\displaystyle p=q}$

Distintivo

Distinguir el pasado

• Dos puntos que comparten el mismo pasado cronológico son el mismo punto: ${\displaystyle p,q\in M}$

${\displaystyle I^{-}(p)=I^{-}(q)\implies p=q}$

• De manera equivalente, para cualquier vecindario de existe un vecindario tal que ninguna curva no espacial dirigida al pasado de se interseca más de una vez. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle V\subset U,p\in V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$

Distinguir el futuro

• Dos puntos que comparten el mismo futuro cronológico son el mismo punto: ${\displaystyle p,q\in M}$

${\displaystyle I^{+}(p)=I^{+}(q)\implies p=q}$

• De manera equivalente, para cualquier vecindario de existe un vecindario tal que ninguna curva no espacial dirigida al futuro de se interseca más de una vez. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle V\subset U,p\in V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$

Fuertemente causal

• Por cada barrio de existe un barrio por el que ninguna curva temporal pasa más de una vez. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle V\subset U,p\in V}$
• Para cada vecindario de existe un vecindario que es causalmente convexo en (y por lo tanto en ). ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle V\subset U,p\in V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$
• La topología de Alexandrov concuerda con la topología de variedades.

Causal estable

Para cada una de las condiciones de causalidad más débiles definidas anteriormente, existen algunas variedades que satisfacen la condición y que pueden ser obligadas a violarla mediante perturbaciones arbitrariamente pequeñas de la métrica. Un espacio-tiempo es causalmente estable si no puede ser obligado a contener curvas causales cerradas mediante ninguna perturbación menor que una magnitud finita arbitraria. Stephen Hawking demostró ^[2] que esto es equivalente a:

• Existe una función de tiempo global en . Se trata de un campo escalar cuyo gradiente es temporal en todas partes y está orientado al futuro. Esta función de tiempo global nos proporciona una forma estable de distinguir entre el futuro y el pasado para cada punto del espacio-tiempo (y, por lo tanto, no tenemos violaciones causales). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \nabla ^{a}t}$

Globalmente hiperbólico

• ${\displaystyle \,M}$es fuertemente causal y cada conjunto (para puntos ) es compacto . ${\displaystyle J^{+}(x)\cap J^{-}(y)}$ ${\displaystyle x,y\in M}$

Robert Geroch demostró ^[3] que un espacio-tiempo es globalmente hiperbólico si y sólo si existe una superficie de Cauchy para . Esto significa que: ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M}$es topológicamente equivalente a para alguna superficie de Cauchy (aquí denota la línea real ). ${\displaystyle \mathbb {R} \times \!\,S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Véase también

• Espacio-tiempo
• Variedad de Lorentz
• Estructura causal
• Variedad hiperbólica global
• Curva temporal cerrada

Referencias

1. E. Minguzzi y M. Sanchez, La jerarquía causal de los espacio-tiempos en H. Baum y D. Alekseevsky (eds.), vol. Desarrollos recientes en geometría pseudo-riemanniana, ESI Lect. Math. Phys., (Eur. Math. Soc. Publ. House, Zúrich, 2008), pp. 299–358, ISBN  978-3-03719-051-7 , arXiv:gr-qc/0609119
2. SW Hawking, La existencia de funciones temporales cósmicas Proc. R. Soc. Lond. (1969), A308 , 433
3. R. Geroch, Dominio de la dependencia Archivado el 24 de febrero de 2013 en archive.today J. Math. Phys. (1970) 11 , 437–449

• SW Hawking , GFR Ellis (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-20016-4.
• SW Hawking , W. Israel (1979). Relatividad general: un estudio del centenario de Einstein. Cambridge University Press. ISBN 0-521-22285-0.