Tensor de matanza

En matemáticas, un tensor de Killing o campo tensorial de Killing es una generalización de un vector de Killing , para campos tensoriales simétricos en lugar de solo campos vectoriales . Es un concepto de la geometría de Riemann y pseudo-Riemann , y se utiliza principalmente en la teoría de la relatividad general . Los tensores de Killing satisfacen una ecuación similar a la ecuación de Killing para los vectores de Killing. Al igual que los vectores de Killing, cada tensor de Killing corresponde a una cantidad que se conserva a lo largo de las geodésicas . Sin embargo, a diferencia de los vectores de Killing, que están asociados con simetrías ( isometrías ) de una variedad , los tensores de Killing generalmente carecen de una interpretación geométrica tan directa. Los tensores de Killing reciben su nombre de Wilhelm Killing .

Definición y propiedades

En la siguiente definición, los paréntesis que rodean los índices tensoriales son una notación para la simetrización. Por ejemplo:

${\displaystyle T_{(\alpha \beta \gamma )}={\frac {1}{6}}(T_{\alpha \beta \gamma }+T_{\alpha \gamma \beta }+T_{\beta \alpha \gamma }+T_{\beta \gamma \alpha }+T_{\gamma \alpha \beta }+T_{\gamma \beta \alpha })}$

Definición

Un tensor de Killing es un campo tensorial (de algún orden m ) en una variedad (pseudo)-riemanniana que es simétrico (es decir, ) y satisface: ^{[1] [2]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}=K_{(\beta _{1}\cdots \beta _{m})}}$

${\displaystyle \nabla _{(\alpha }K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}=0}$

Esta ecuación es una generalización de la ecuación de Killing para los vectores de Killing :

${\displaystyle \nabla _{(\alpha }K_{\beta )}={\frac {1}{2}}(\nabla _{\alpha }K_{\beta }+\nabla _{\beta }K_{\alpha })=0}$

Propiedades

Los vectores de Killing son un caso especial de tensores de Killing. Otro ejemplo simple de un tensor de Killing es el propio tensor métrico . Una combinación lineal de tensores de Killing es un tensor de Killing. Un producto simétrico de tensores de Killing también es un tensor de Killing; es decir, si y son tensores de Killing, entonces es también un tensor de Killing. ^[1] ${\displaystyle S_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{l}}}$ ${\displaystyle T_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}}$ ${\displaystyle S_{(\alpha _{1}\cdots \alpha _{l}}T_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}}$

Todo tensor de Killing corresponde a una constante de movimiento en geodésicas . Más específicamente, para cada geodésica con vector tangente , la cantidad es constante a lo largo de la geodésica. ^{[1] [2]} ${\displaystyle u^{\alpha }}$ ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}u^{\beta _{1}}\cdots u^{\beta _{m}}}$

Ejemplos

Dado que los tensores de Killing son una generalización de los vectores de Killing, los ejemplos que aparecen en Campo de vectores de Killing § Ejemplos también son ejemplos de tensores de Killing. Los siguientes ejemplos se centran en los tensores de Killing que no se obtienen simplemente a partir de vectores de Killing.

Métrica FLRW

La métrica de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker , ampliamente utilizada en cosmología , tiene vectores de Killing espaciales correspondientes a sus simetrías espaciales, en particular rotaciones alrededor de ejes arbitrarios y en el caso plano para traslaciones a lo largo de , , y . También tiene un tensor de Killing ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle K_{\mu \nu }=a^{2}(g_{\mu \nu }+U_{\mu }U_{\nu })}$

donde a es el factor de escala , es el vector base de la coordenada t y se utiliza la convención de firma −+++. ^[3] ${\displaystyle U^{\mu }=(1,0,0,0)}$

Métrica Kerr

La métrica de Kerr , que describe un agujero negro en rotación, tiene dos vectores de Killing independientes. Un vector de Killing corresponde a la simetría de traslación temporal de la métrica, y otro corresponde a la simetría axial sobre el eje de rotación. Además, como lo demostraron Walker y Penrose (1970), existe un tensor de Killing no trivial de orden 2. ^{[4] [5] [6]} La constante de movimiento correspondiente a este tensor de Killing se denomina constante de Carter .

Tensor de asesinato-Yano

Un tensor antisimétrico de orden p , , es un tensor de Killing-Yano fr:Tenseur de Killing-Yano si satisface la ecuación ${\displaystyle f_{a_{1}a_{2}...a_{p}}}$

${\displaystyle \nabla _{b}f_{ca_{2}...a_{p}}+\nabla _{c}f_{ba_{2}...a_{p}}=0\,}$.

Si bien también es una generalización del vector de Killing , se diferencia del tensor de Killing habitual en que la derivada covariante solo se contrae con un índice tensor.

Tensor de Killing conforme

Los tensores de Killing conformes son una generalización de los tensores de Killing y los vectores de Killing conformes . Un tensor de Killing conforme es un campo tensorial (de algún orden m ) que es simétrico y satisface ^[4] ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \nabla _{(\alpha }K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}=k_{(\beta _{1}\cdots \beta _{m-1}}g_{\beta _{m}\alpha )}}$

para algún campo tensorial simétrico . Esto generaliza la ecuación para vectores de Killing conformes, que establece que ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \nabla _{\alpha }K_{\beta }+\nabla _{\beta }K_{\alpha }=\lambda g_{\alpha \beta }}$

para algún campo escalar . ${\displaystyle \lambda }$

Todo tensor de Killing conforme corresponde a una constante de movimiento a lo largo de geodésicas nulas . Más específicamente, para cada geodésica nula con vector tangente , la cantidad es constante a lo largo de la geodésica. ^[4] ${\displaystyle v^{\alpha }}$ ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}v^{\beta _{1}}\cdots v^{\beta _{m}}}$

La propiedad de ser un tensor de Killing conforme se conserva bajo transformaciones conformes en el siguiente sentido. Si es un tensor de Killing conforme con respecto a una métrica , entonces es un tensor de Killing conforme con respecto a la métrica conformemente equivalente , para todos los valores positivos . ^[7] ${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}=u^{m}K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}_{\alpha \beta }=ug_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle u}$

Véase también

• Forma de matar
• Campo vectorial de la muerte
• El asesinato de Wilhelm

Referencias

1. Carroll 2003, págs. 136-137
2. Wald 1984, pág. 444
3. Carroll 2003, pág. 344
4. Walker, Martin; Penrose, Roger (1970), "Sobre las primeras integrales cuadráticas de las ecuaciones geodésicas para los espaciotiempos de tipo {22}" (PDF) , Communications in Mathematical Physics , 18 (4): 265–274, doi :10.1007/BF01649445, S2CID  123355453
5. Carroll 2003, págs. 262-263
6. Wald 1984, pág. 321
7. Dairbekov, NS; Sharafutdinov, VA (2011), "Sobre campos tensoriales simétricos de Killing conformes en variedades de Riemann", Siberian Advances in Mathematics , 21 : 1–41, arXiv : 1103.3637 , doi :10.3103/S1055134411010019

• Carroll, Sean (2003), Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general , ISBN 0-8053-8732-3
• Wald, Robert M. (1984), Relatividad general , Chicago: University of Chicago Press, ISBN 0-226-87033-2