Tensor simétrico

Tensor invariante ante permutaciones de los vectores sobre los que actúa

En matemáticas , un tensor simétrico es un tensor que es invariante bajo una permutación de sus argumentos vectoriales:

${\displaystyle T(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\ldots ,v_{\sigma r})}$

para cada permutación σ de los símbolos {1, 2, ..., r }. Alternativamente, un tensor simétrico de orden r representado en coordenadas como una cantidad con índices r satisface

${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma r}}.}$

El espacio de tensores simétricos de orden r en un espacio vectorial de dimensión finita V es naturalmente isomorfo al dual del espacio de polinomios homogéneos de grado r en V . Sobre cuerpos de característica cero , el espacio vectorial graduado de todos los tensores simétricos puede identificarse naturalmente con el álgebra simétrica en V . Un concepto relacionado es el de tensor antisimétrico o forma alternada . Los tensores simétricos se encuentran ampliamente en ingeniería , física y matemáticas .

Definición

Sea V un espacio vectorial y

${\displaystyle T\in V^{\otimes k}}$

un tensor de orden k . Entonces T es un tensor simétrico si

${\displaystyle \tau _{\sigma }T=T\,}$

para los mapas de trenzado asociados a cada permutación σ en los símbolos {1,2,..., k } (o equivalentemente para cada transposición en estos símbolos).

Dada una base { e ⁱ } de V , cualquier tensor simétrico T de rango k puede escribirse como

${\displaystyle T=\sum _{i_{1},\ldots ,i_{k}=1}^{N}T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}}$

para una lista única de coeficientes (los componentes del tensor en la base) que sean simétricos en los índices. Es decir ${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$

${\displaystyle T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$

para cada permutación σ .

El espacio de todos los tensores simétricos de orden k definidos en V se suele denotar por S ^k ( V ) o Sym ^k ( V ). Es en sí mismo un espacio vectorial, y si V tiene dimensión N entonces la dimensión de Sym ^k ( V ) es el coeficiente binomial

${\displaystyle \dim \operatorname {Sym} ^{k}(V)={N+k-1 \choose k}.}$

Luego construimos Sym( V ) como la suma directa de Sym ^k ( V ) para k = 0,1,2,...

${\displaystyle \operatorname {Sym} (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{k}(V).}$

Ejemplos

Existen muchos ejemplos de tensores simétricos. Algunos de ellos son el tensor métrico , el tensor de Einstein y el tensor de Ricci . ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$

Muchas propiedades y campos materiales utilizados en física e ingeniería pueden representarse como campos tensoriales simétricos; por ejemplo: tensión , deformación y conductividad anisotrópica . Además, en la resonancia magnética de difusión se utilizan a menudo tensores simétricos para describir la difusión en el cerebro u otras partes del cuerpo.

Los elipsoides son ejemplos de variedades algebraicas ; y por eso, para el rango general, los tensores simétricos, bajo la apariencia de polinomios homogéneos , se utilizan para definir variedades proyectivas , y a menudo se estudian como tales.

Dada una variedad de Riemann dotada de su conexión de Levi-Civita , el tensor de curvatura covariante es un tensor simétrico de orden 2 sobre el espacio vectorial de 2-formas diferenciales. Esto corresponde al hecho de que, viendo , tenemos la simetría entre el primer y el segundo par de argumentos además de la antisimetría dentro de cada par: . ^[1] ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\textstyle V=\Omega ^{2}(M)=\bigwedge ^{2}T^{*}M}$ ${\displaystyle R_{ijk\ell }\in (T^{*}M)^{\otimes 4}}$ ${\displaystyle R_{ij\,k\ell }=R_{k\ell \,ij}}$ ${\displaystyle R_{jik\ell }=-R_{ijk\ell }=R_{ij\ell k}}$

Parte simétrica de un tensor

Supongamos que es un espacio vectorial sobre un cuerpo de característica 0. Si T ∈ V ^{⊗ k} es un tensor de orden , entonces la parte simétrica de es el tensor simétrico definido por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}\tau _{\sigma }T,}$

la suma que se extiende sobre el grupo simétrico de k símbolos. En términos de una base, y empleando la convención de suma de Einstein , si

${\displaystyle T=T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}},}$

entonces

${\displaystyle \operatorname {Sym} \,T={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}e^{i_{1}}\otimes e^{i_{2}}\otimes \cdots \otimes e^{i_{k}}.}$

Los componentes del tensor que aparecen a la derecha a menudo se denotan por

${\displaystyle T_{(i_{1}i_{2}\cdots i_{k})}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{k}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\cdots i_{\sigma k}}}$

con paréntesis () alrededor de los índices que se van a simetrizar. Los corchetes [] se utilizan para indicar antisimetrización.

Producto simétrico

Si T es un tensor simple, dado como un producto tensorial puro

${\displaystyle T=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r}}$

entonces la parte simétrica de T es el producto simétrico de los factores:

${\displaystyle v_{1}\odot v_{2}\odot \cdots \odot v_{r}:={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}.}$

En general, podemos convertir Sym( V ) en un álgebra definiendo el producto conmutativo y asociativo ⊙. ^[2] Dados dos tensores T ₁ ∈ Sym ^{k ₁} ( V ) y T ₂ ∈ Sym ^{k ₂} ( V ) , utilizamos el operador de simetrización para definir:

${\displaystyle T_{1}\odot T_{2}=\operatorname {Sym} (T_{1}\otimes T_{2})\quad \left(\in \operatorname {Sym} ^{k_{1}+k_{2}}(V)\right).}$

Se puede verificar (como lo hacen Kostrikin y Manin ^[2] ) que el producto resultante es de hecho conmutativo y asociativo. En algunos casos se omite el operador: T ₁ T ₂ = T ₁ ⊙ T ₂ .

En algunos casos se utiliza una notación exponencial:

${\displaystyle v^{\odot k}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\otimes v\otimes \cdots \otimes v} _{k{\text{ times}}}=v^{\otimes k}.}$

Donde v es un vector. Nuevamente, en algunos casos se omite el ⊙:

${\displaystyle v^{k}=\underbrace {v\,v\,\cdots \,v} _{k{\text{ times}}}=\underbrace {v\odot v\odot \cdots \odot v} _{k{\text{ times}}}.}$

Descomposición

En analogía con la teoría de matrices simétricas , un tensor simétrico (real) de orden 2 puede ser "diagonalizado". Más precisamente, para cualquier tensor T  ∈ Sym ² ( V ), existe un entero r , vectores unitarios distintos de cero v ₁ ,..., v _r  ∈  V y pesos λ ₁ ,..., λ _r tales que

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\,v_{i}\otimes v_{i}.}$

El número mínimo r para el cual es posible dicha descomposición es el rango (simétrico) de T. Los vectores que aparecen en esta expresión mínima son los ejes principales del tensor y, por lo general, tienen un significado físico importante. Por ejemplo, los ejes principales del tensor de inercia definen el elipsoide de Poinsot que representa el momento de inercia. Véase también la ley de inercia de Sylvester .

Para tensores simétricos de orden arbitrario k , descomposiciones

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{i}\,v_{i}^{\otimes k}}$

También son posibles. El número mínimo r para el cual es posible tal descomposición es el rango simétrico de T. ^[3] Esta descomposición mínima se denomina descomposición de Waring; es una forma simétrica de la descomposición por rangos de tensores . Para tensores de segundo orden, esto corresponde al rango de la matriz que representa al tensor en cualquier base, y es bien sabido que el rango máximo es igual a la dimensión del espacio vectorial subyacente. Sin embargo, para órdenes superiores esto no tiene por qué ser así: el rango puede ser mayor que el número de dimensiones en el espacio vectorial subyacente. Además, el rango y el rango simétrico de un tensor simétrico pueden diferir. ^[4]

Véase también

• Tensor antisimétrico
• Cálculo de Ricci
• Polinomio de Schur
• Polinomio simétrico
• Transponer
• Joven simetrizador

Notas

1. Carmo, Manfredo Perdigão do (1992). Geometría riemanniana. Francisco J. Flaherty. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3490-8.OCLC 24667701  .
2. Kostrikin, Alexei I. ; Manin, Iurii Ivanovich (1997). Álgebra lineal y geometría . Álgebra, lógica y aplicaciones. Vol. 1. Gordon y Breach. págs. 276–279. ISBN 9056990497.
3. Comon, P.; Golub, G.; Lim, LH; Mourrain, B. (2008). "Tensores simétricos y rango de tensor simétrico". Revista SIAM sobre análisis de matrices y aplicaciones . 30 (3): 1254. arXiv : 0802.1681 . doi :10.1137/060661569. S2CID  5676548.
4. Shitov, Yaroslav (2018). "Un contraejemplo de la conjetura de Comon". Revista SIAM de Álgebra Aplicada y Geometría . 2 (3): 428–443. arXiv : 1705.08740 . doi :10.1137/17m1131970. ISSN  2470-6566. S2CID  119717133.

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de matemáticas, Álgebra I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
• Bourbaki, Nicolas (1990), Elementos de las matemáticas, Álgebra II , Springer-Verlag, ISBN 3-540-19375-8.
• Greub, Werner Hildbert (1967), Álgebra multilineal , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 136, Springer-Verlag New York, Inc., Nueva York, MR  0224623.
• Sternberg, Shlomo (1983), Conferencias sobre geometría diferencial , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0316-0.

Enlaces externos

• Cesar O. Aguilar, La dimensión de los k-tensores simétricos