Coordenadas de Eddington-Finkelstein

En relatividad general , las coordenadas de Eddington-Finkelstein son un par de sistemas de coordenadas para una geometría de Schwarzschild (p. ej., un agujero negro esféricamente simétrico ) que están adaptados a geodésicas radiales nulas . Las geodésicas nulas son las líneas mundiales de fotones ; los radiales son aquellos que se mueven directamente hacia o alejándose de la masa central. Llevan el nombre de Arthur Stanley Eddington ^[1] y David Finkelstein . ^[2] Aunque parecen haber inspirado la idea, ninguno de los dos escribió nunca estas coordenadas ni la métrica en estas coordenadas. Roger Penrose ^[3] parece haber sido el primero en escribir la forma nula, pero se lo atribuye al artículo anterior de Finkelstein y, en su ensayo del Premio Adams de ese mismo año, a Eddington y Finkelstein. De manera más influyente, Misner, Thorne y Wheeler, en su libro Gravitación , se refieren a las coordenadas nulas con ese nombre.

En estos sistemas de coordenadas, los rayos de luz radiales que viajan hacia afuera (hacia adentro) (cada uno de los cuales sigue una geodésica nula) definen las superficies de "tiempo" constante, mientras que la coordenada radial es la coordenada de área habitual, de modo que las superficies de simetría de rotación tienen un área de 4 π r ² . Una ventaja de este sistema de coordenadas es que muestra que la singularidad aparente en el radio de Schwarzschild es sólo una singularidad de coordenadas y no es una verdadera singularidad física. Si bien Finkelstein reconoció este hecho, no lo reconoció (o al menos no lo comentó) Eddington, cuyo objetivo principal era comparar y contrastar las soluciones esféricamente simétricas de la teoría de la gravitación de Whitehead y la versión de Einstein de la teoría de la relatividad.

Métrica de Schwarzschild

Solución de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild, con dos dimensiones espaciales suprimidas, dejando solo el tiempo t y la distancia al centro r . En rojo las geodésicas nulas entrantes. En azul geodésicas nulas salientes. En verde los conos de luz nulos en los que se mueve la luz, mientras que los objetos masivos se mueven dentro de los conos.

Las coordenadas de Schwarzschild son , y en estas coordenadas es bien conocida la métrica de Schwarzschild: ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\,dt^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}$

dónde

${\displaystyle d\Omega ^{2}\equiv d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.}$

es la métrica de Riemann estándar de la unidad de 2 esferas.

Tenga en cuenta que las convenciones que se utilizan aquí son la firma métrica de (− + + +) y las unidades naturales donde c = 1 es la velocidad adimensional de la luz, G la constante gravitacional y M es la masa característica de la geometría de Schwarzschild.

Coordenada de tortuga

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein se basan en la coordenada de la tortuga, un nombre que proviene de una de las paradojas de Zenón de Elea sobre una carrera imaginaria entre el "de pies veloces" Aquiles y una tortuga .

La coordenada de la tortuga está definida: ${\displaystyle r^{*}}$

${\displaystyle r^{*}=r+2GM\ln \left|{\frac {r}{2GM}}-1\right|.}$

para satisfacer:

${\displaystyle {\frac {dr^{*}}{dr}}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}.}$

La coordenada de la tortuga se acerca a medida que se acerca al radio de Schwarzschild . ${\displaystyle r^{*}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 2GM}$

Cuando alguna sonda (como un rayo de luz o un observador) se acerca al horizonte de sucesos de un agujero negro, su coordenada temporal de Schwarzschild se vuelve infinita. Los rayos nulos salientes en este sistema de coordenadas tienen un cambio infinito en t al alejarse del horizonte. Se pretende que la coordenada de la tortuga crezca infinitamente al ritmo adecuado para anular este comportamiento singular en los sistemas de coordenadas construidos a partir de ella.

El aumento de la coordenada temporal hasta el infinito a medida que uno se acerca al horizonte de sucesos es la razón por la que nunca se podría recibir información de ninguna sonda enviada a través de dicho horizonte de sucesos. Esto a pesar de que la propia sonda aún puede viajar más allá del horizonte. También es la razón por la que la métrica espacio-temporal del agujero negro, cuando se expresa en coordenadas de Schwarzschild, se vuelve singular en el horizonte y, por lo tanto, no logra trazar completamente la trayectoria de una sonda que cae.

Métrico

Las coordenadas entrantes de Eddington-Finkelstein se obtienen reemplazando la coordenada t con la nueva coordenada . En estas coordenadas, la métrica de Schwarzschild se puede escribir como ${\displaystyle v=t+r^{*}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dv^{2}+2\,dv\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}.}$

donde nuevamente está la métrica de Riemann estándar en la 2 esferas de radio unitario. ${\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}}$

Asimismo, las coordenadas salientes de Eddington-Finkelstein se obtienen reemplazando t con la coordenada nula . La métrica entonces viene dada por ${\displaystyle u=t-r^{*}}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)du^{2}-2\,du\,dr+r^{2}d\Omega ^{2}.}$

En ambos sistemas de coordenadas, la métrica es explícitamente no singular en el radio de Schwarzschild (aunque un componente desaparece en este radio, el determinante de la métrica sigue sin desaparecer y la métrica inversa no tiene términos que diverjan allí).

Tenga en cuenta que para rayos nulos radiales, v=const o =const o equivalentemente =const o u=const tenemos dv/dr y du/dr se aproximan a 0 y ±2 en r grande , no a ±1 como se podría esperar si se considera u o v como "tiempo". Al trazar diagramas de Eddington-Finkelstein, las superficies de u o v constantes generalmente se dibujan como conos, con líneas constantes de u o v dibujadas con una pendiente de 45 grados en lugar de planos (ver, por ejemplo, el Cuadro 31.2 de MTW ). En cambio, algunas fuentes toman , correspondiente a superficies planas en dichos diagramas. En términos de esto, la métrica se convierte en ${\displaystyle v-2r^{*}}$ ${\displaystyle u+2r^{*}}$ ${\displaystyle t'=t\pm (r^{*}-r)\,}$ ${\displaystyle t'}$

${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)dt'^{2}\pm {\frac {4GM}{r}}\,dt'\,dr+\left(1+{\frac {2GM}{r}}\right)\,dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}=(-dt'^{2}+dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2})+{\frac {2GM}{r}}(dt'\pm dr)^{2}}$

que es minkowskiano en general r . (Éste fue el tiempo coordinado y la métrica que tanto Eddington como Finkelstein presentaron en sus artículos).

Este es un gráfico de los conos de luz de las coordenadas vr donde el eje r es una línea recta oblicua inclinada hacia la izquierda. La línea azul es un ejemplo de una de las líneas constantes v . Se representan los conos de luz en varios valores de r . Las líneas verdes son varias líneas constantes . Tenga en cuenta que se aproximan asintóticamente a r=2GM . En estas coordenadas, el horizonte es el horizonte del agujero negro (no puede salir nada). El diagrama de sus coordenadas es el mismo diagrama al revés y con u y v intercambiados en el diagrama. En ese caso el horizonte es el horizonte del agujero blanco , del cual pueden salir materia y luz, pero nada puede entrar.

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein aún están incompletas y pueden ampliarse. Por ejemplo, las geodésicas en forma de tiempo que viajan hacia afuera definidas por (con τ el tiempo adecuado)

${\displaystyle r(\tau )={\sqrt {2GM\tau }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v(\tau )&=\int {\frac {r(\tau )}{r(\tau )-2GM}}\,d\tau \\&=C+\tau +2{\sqrt {2GM\tau }}+4GM\ln \left({\sqrt {\frac {\tau }{2GM}}}-1\right)\end{aligned}}}$

tiene v ( τ ) → −∞ como τ  → 2 GM . Es decir, esta geodésica temporal tiene una longitud propia finita en el pasado donde sale del horizonte ( r  = 2 GM ) cuando v se vuelve menos infinito. Las regiones para v y r finitos  < 2 GM son una región diferente de u y r  < 2 GM finitos . El horizonte r  = 2 GM y v finito (el horizonte del agujero negro) es diferente del que tiene r  = 2 GM y u finito (el horizonte del agujero blanco ).

La métrica en coordenadas Kruskal-Szekeres cubre todo el espacio-tiempo extendido de Schwarzschild en un único sistema de coordenadas. Su principal desventaja es que en esas coordenadas la métrica depende tanto de las coordenadas temporales como espaciales. En Eddington-Finkelstein, como en las coordenadas de Schwarzschild, la métrica es independiente del "tiempo" (ya sea t en Schwarzschild o u o v en las distintas coordenadas de Eddington-Finkelstein), pero ninguna de ellas cubre el espacio-tiempo completo.

Las coordenadas de Eddington-Finkelstein tienen cierta similitud con las coordenadas de Gullstrand-Painlevé en que ambas son independientes del tiempo y penetran (son regulares) en los horizontes futuro (agujero negro) o pasado (agujero blanco). Ambas no son diagonales (las hipersuperficies de "tiempo" constante no son ortogonales a las hipersuperficies de r constante ). Las últimas tienen una métrica espacial plana, mientras que las hipersuperficies espaciales de la primera (constante de "tiempo") son nulas y tienen la misma métrica que el de un cono nulo en el espacio de Minkowski ( en el espaciotiempo plano). ${\displaystyle t=\pm r}$

Ver también

• Coordenadas de Schwarzschild
• Coordenadas de Kruskal-Székeres
• Coordenadas de Lemaître
• Coordenadas de Gullstrand-Painlevé
• Métrica de Vaidya

Referencias

1. Eddington, AS (febrero de 1924). "Una comparación de las fórmulas de Whitehead y Einstein" (PDF) . Naturaleza . 113 (2832): 192. Bibcode :1924Natur.113..192E. doi :10.1038/113192a0. S2CID  36114166.
2. Finkelstein, David (1958). "Asimetría pasado-futuro del campo gravitacional de una partícula puntual". Física. Rdo . 110 (4): 965–967. Código bibliográfico : 1958PhRv..110..965F. doi : 10.1103/PhysRev.110.965.
3. Penrose, Roger (1965). "Colapso gravitacional y singularidades del espacio-tiempo". Cartas de revisión física . 14 (3): 57–59. Código bibliográfico : 1965PhRvL..14...57P. doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57 .