Matriz exponencial

Operación matricial que generaliza la exponenciación de números escalares

En matemáticas , la matriz exponencial es una función matricial sobre matrices cuadradas análoga a la función exponencial ordinaria . Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. En la teoría de grupos de Lie, la matriz exponencial da el mapa exponencial entre una matriz de álgebra de Lie y el grupo de Lie correspondiente .

Sea X una matriz real o compleja de n × n . El exponencial de X , denotado por e ^X o exp( X ) , es la matriz n × n dada por la serie de potencias

$${\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}}$$

donde se define como la matriz identidad con las mismas dimensiones que . ^[1] La serie siempre converge, por lo que la exponencial de X está bien definida. ${\displaystyle X^{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$

De manera equivalente,

$${\displaystyle e^{X}=\lim _{k\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {X}{k}}\right)^{k}}$$

Imatriz identidad n × n

Cuando X es una matriz diagonal de n × n , entonces exp( X ) será una matriz diagonal de n × n con cada elemento diagonal igual al exponencial ordinario aplicado al elemento diagonal correspondiente de X.

Propiedades

Propiedades elementales

Sean X e Y matrices complejas de n × n y sean a y b números complejos arbitrarios. Denotamos la matriz identidad n × n con I y la matriz cero con 0. La matriz exponencial satisface las siguientes propiedades. ^[2]

Comenzamos con las propiedades que son consecuencias inmediatas de la definición como serie de potencias:

• mi ⁰ = yo
• exp( X ^T ) = (exp ^X ) T ^, donde XT denota la transpuesta de X .
• exp( X ^∗ ) = (exp X ) ^∗ , donde X ^∗ denota la transpuesta conjugada de X .
• Si Y es invertible entonces e ^{YXY −1} = Ye ^X Y ⁻¹ .

El siguiente resultado clave es este:

• Si entonces . ${\displaystyle XY=YX}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}$

La prueba de esta identidad es la misma que el argumento estándar de series de potencias para la identidad correspondiente del exponencial de los números reales. Es decir, siempre que y conmuten ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ , no importa para el argumento si y son números o matrices. Es importante señalar que esta identidad normalmente no se cumple si y no se conmutan (consulte la desigualdad de Golden-Thompson a continuación). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Las consecuencias de la identidad anterior son las siguientes:

• mi ^aX mi ^bX = mi ^{( a + b ) X}
• mi ^X mi ^{− X} = yo

Utilizando los resultados anteriores, podemos verificar fácilmente las siguientes afirmaciones. Si X es simétrico , entonces e ^X también es simétrico, y si X es simétrico sesgado, entonces e ^X es ortogonal . Si X es hermitiano , entonces e ^X también es hermitiano, y si X es sesgado-hermitiano, entonces e ^X es unitario .

Finalmente, una transformada de Laplace de matrices exponenciales equivale al resolutivo ,

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ts}e^{tX}\,dt=(sI-X)^{-1}}$$

s

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Una de las razones de la importancia de la matriz exponencial es que puede usarse para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales . la solución de

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0},}$$

A

$${\displaystyle y(t)=e^{At}y_{0}.}$$

La matriz exponencial también se puede utilizar para resolver la ecuación no homogénea.

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}.}$$

No existe una solución cerrada para ecuaciones diferenciales de la forma

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0},}$$

Aserie de Magnus

El determinante de la matriz exponencial.

Según la fórmula de Jacobi , para cualquier matriz cuadrada compleja se cumple la siguiente identidad de traza : ^[3]

${\displaystyle \det \left(e^{A}\right)=e^{\operatorname {tr} (A)}~.}$

Además de proporcionar una herramienta computacional, esta fórmula demuestra que una matriz exponencial es siempre una matriz invertible . Esto se desprende del hecho de que el lado derecho de la ecuación anterior siempre es distinto de cero, por lo que det( e ^A ) ≠ 0 , lo que implica que e ^A debe ser invertible.

En el caso del valor real, la fórmula también muestra el mapa

$${\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$$

sobrejetivo

Matrices simétricas reales

La matriz exponencial de una matriz simétrica real es definida positiva. Sea una matriz simétrica real n × n y un vector columna. Usando las propiedades elementales de la matriz exponencial y de las matrices simétricas, tenemos: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle x^{T}e^{S}x=x^{T}e^{S/2}e^{S/2}x=x^{T}(e^{S/2})^{T}e^{S/2}x=(e^{S/2}x)^{T}e^{S/2}x=\lVert e^{S/2}x\rVert ^{2}\geq 0.}$$

Como es invertible, la igualdad solo es válida para , y tenemos para todos los valores distintos de cero . Por tanto, es positivo definido. ${\displaystyle e^{S/2}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x^{T}e^{S}x>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{S}}$

El exponencial de las sumas.

^{Para cualquier número real} (escalares) xey sabemos que la función exponencial satisface e ^x + ^y = e ^x e ^y . Lo mismo ocurre con las matrices de conmutación. Si las matrices X e Y conmutan (lo que significa que XY = YX ), entonces,

$${\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}.}$$

Sin embargo, para matrices que no conmutan la igualdad anterior no necesariamente se cumple.

La fórmula del producto Mentira

Incluso si X e Y no se conmutan, el exponencial e ^{X + Y} se puede calcular mediante la fórmula del producto de Lie ^[4]

$${\displaystyle e^{X+Y}=\lim _{k\to \infty }\left(e^{{\frac {1}{k}}X}e^{{\frac {1}{k}}Y}\right)^{k}.}$$

Usar una k finita grande para aproximar lo anterior es la base de la expansión de Suzuki-Trotter, que se usa a menudo en la evolución del tiempo numérico .

La fórmula Baker-Campbell-Hausdorff

En la otra dirección, si X e Y son matrices suficientemente pequeñas (pero no necesariamente conmutantes), tenemos

$${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z},}$$

ZconmutadoresXYfórmula de Baker-Campbell-Hausdorff^[5]

$${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,}$$

XY.XYZ = X + Y.

Desigualdades para exponenciales de matrices hermitianas

Para las matrices hermitianas existe un teorema notable relacionado con la traza de las matrices exponenciales.

Si A y B son matrices hermitianas, entonces ^[6]

$${\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B)\leq \operatorname {tr} \left[\exp(A)\exp(B)\right].}$$

No hay requisito de conmutatividad. Hay contraejemplos que muestran que la desigualdad de Golden-Thompson no se puede extender a tres matrices y, en cualquier caso, no se garantiza que tr(exp( A )exp( B )exp( C )) sea real para Hermitian A , B , C . Sin embargo, Lieb demostró ^{[7] [8]} que se puede generalizar a tres matrices si modificamos la expresión de la siguiente manera

$${\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+B+C)\leq \int _{0}^{\infty }\mathrm {d} t\,\operatorname {tr} \left[e^{A}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}e^{C}\left(e^{-B}+t\right)^{-1}\right].}$$

El mapa exponencial

La exponencial de una matriz es siempre una matriz invertible . La matriz inversa de e ^X viene dada por e ^{− X} . Esto es análogo al hecho de que la exponencial de un número complejo siempre es distinta de cero. La matriz exponencial nos da entonces un mapa

$${\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$$

nngrupo lineal generalngruponnsobreyectiva^[9]CR

Para dos matrices cualesquiera X e Y ,

$${\displaystyle \left\|e^{X+Y}-e^{X}\right\|\leq \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|},}$$

donde ‖·‖ denota una norma matricial arbitraria . De ello se deduce que el mapa exponencial es continuo y Lipschitz continuo en subconjuntos compactos de M _n ( C ) .

El mapa

$${\displaystyle t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R} }$$

suavet = 0

De hecho, esto da un subgrupo de un parámetro del grupo lineal general ya que

$${\displaystyle e^{tX}e^{sX}=e^{(t+s)X}.}$$

La derivada de esta curva (o vector tangente ) en un punto t viene dada por

La derivada en t = 0 es simplemente la matriz X , es decir, X genera este subgrupo de un parámetro.

De manera más general, ^[10] para un exponente genérico dependiente de t , X ( t ) ,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{X(t)}=\int _{0}^{1}e^{\alpha X(t)}{\frac {dX(t)}{dt}}e^{(1-\alpha )X(t)}\,d\alpha ~.}$

Tomando la expresión anterior e ^{X ( t )} fuera del signo integral y expandiendo el integrando con la ayuda del lema de Hadamard , se puede obtener la siguiente expresión útil para la derivada del exponente matricial, ^[11]

$${\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}e^{X(t)}\right)e^{-X(t)}={\frac {d}{dt}}X(t)+{\frac {1}{2!}}\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]+{\frac {1}{3!}}\left[X(t),\left[X(t),{\frac {d}{dt}}X(t)\right]\right]+\cdots }$$

Los coeficientes de la expresión anterior son diferentes de los que aparecen en la exponencial. Para una forma cerrada, consulte derivada de la aplicación exponencial .

Derivadas direccionales cuando se restringen a matrices hermitianas

Sea una matriz hermitiana con valores propios distintos. Sea su descomposición propia donde es una matriz unitaria cuyas columnas son los vectores propios de , es su transpuesta conjugada y el vector de valores propios correspondientes. Entonces, para cualquier matriz hermitiana , la derivada direccional de at en la dirección es ^{[12] [13]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle X=E{\textrm {diag}}(\Lambda )E^{*}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \Lambda =\left(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\right)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \exp :X\to e^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle D\exp(X)[V]\triangleq \lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon V}-e^{X}\right)=E(G\odot {\bar {V}})E^{*}}$$

${\displaystyle {\bar {V}}=E^{*}VE}$ ${\displaystyle \odot }$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle G_{i,j}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {e^{\lambda _{i}}-e^{\lambda _{j}}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&e^{\lambda _{i}}&{\text{ otherwise}}.\\\end{aligned}}\right.}$$

^[13] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle D^{2}\exp(X)[U,V]\triangleq \lim _{\epsilon _{u}\to 0}\lim _{\epsilon _{v}\to 0}{\frac {1}{4\epsilon _{u}\epsilon _{v}}}\left(\displaystyle e^{X+\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X-\epsilon _{u}U+\epsilon _{v}V}-e^{X+\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}+e^{X-\epsilon _{u}U-\epsilon _{v}V}\right)=EF(U,V)E^{*}}$$

${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$

$${\displaystyle F(U,V)_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}\phi _{i,j,k}({\bar {U}}_{ik}{\bar {V}}_{jk}^{*}+{\bar {V}}_{ik}{\bar {U}}_{jk}^{*})}$$

$${\displaystyle \phi _{i,j,k}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {G_{ik}-G_{jk}}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}&{\text{ if }}i\neq j,\\&{\frac {G_{ii}-G_{ik}}{\lambda _{i}-\lambda _{k}}}&{\text{ if }}i=j{\text{ and }}k\neq i,\\&{\frac {G_{ii}}{2}}&{\text{ if }}i=j=k.\\\end{aligned}}\right.}$$

Calcular la matriz exponencial

Es difícil encontrar métodos confiables y precisos para calcular la matriz exponencial, y este sigue siendo un tema de considerable investigación actual en matemáticas y análisis numérico. Matlab , GNU Octave , R y SciPy utilizan la aproximante Padé . ^{[14] [15] [16] [17]} En esta sección, analizamos métodos que son aplicables en principio a cualquier matriz y que pueden llevarse a cabo explícitamente para matrices pequeñas. ^[18] Las secciones siguientes describen métodos adecuados para la evaluación numérica en matrices grandes.

Caso diagonalizable

Si una matriz es diagonal :

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\cdots &0\\0&e^{a_{2}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.}$$

Este resultado también permite exponenciar matrices diagonalizables . Si

A = UDU ⁻¹

y D es diagonal, entonces

mi ^UN = Ue ^D U ⁻¹ .

La aplicación de la fórmula de Sylvester produce el mismo resultado. (Para ver esto, tenga en cuenta que la suma y multiplicación, por lo tanto también la exponenciación, de matrices diagonales es equivalente a la suma y multiplicación por elementos, y por lo tanto, la exponenciación; en particular, la exponenciación "unidimensional" se siente por elementos para la diagonal caso.)

Ejemplo: Diagonalizable

Por ejemplo, la matriz

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&4\\1&1\\\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}.}$$

De este modo,

$${\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}e^{\begin{bmatrix}-1&0\\0&3\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{e}}&0\\0&e^{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2&2\\1&1\\\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {e^{4}+1}{2e}}&{\frac {e^{4}-1}{e}}\\{\frac {e^{4}-1}{4e}}&{\frac {e^{4}+1}{2e}}\\\end{bmatrix}}.}$$

Caso nilpotente

Una matriz N es nilpotente si N ^q = 0 para algún número entero q . En este caso, la matriz exponencial e ^N se puede calcular directamente a partir de la expansión de la serie, ya que la serie termina después de un número finito de términos:

$${\displaystyle e^{N}=I+N+{\frac {1}{2}}N^{2}+{\frac {1}{6}}N^{3}+\cdots +{\frac {1}{(q-1)!}}N^{q-1}~.}$$

Dado que la serie tiene un número finito de pasos, es un polinomio matricial, que se puede calcular de manera eficiente .

Caso general

Usando la descomposición Jordan-Chevalley

Mediante la descomposición de Jordan-Chevalley , cualquier matriz X con entradas complejas se puede expresar como ${\displaystyle n\times n}$

$${\displaystyle X=A+N}$$

• A es diagonalizable
• N es nilpotente
• A conmuta con N

Esto significa que podemos calcular el exponencial de X reduciendo a los dos casos anteriores:

$${\displaystyle e^{X}=e^{A+N}=e^{A}e^{N}.}$$

Tenga en cuenta que necesitamos la conmutatividad de A y N para que funcione el último paso.

Usando la forma canónica de Jordan

Un método estrechamente relacionado es, si el campo es algebraicamente cerrado , trabajar con la forma Jordan de X. Supongamos que X = PJP ⁻¹ donde J es la forma Jordan de X. Entonces

$${\displaystyle e^{X}=Pe^{J}P^{-1}.}$$

Además, desde

$${\displaystyle {\begin{aligned}J&=J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}),\\e^{J}&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1})\oplus J_{a_{2}}(\lambda _{2})\oplus \cdots \oplus J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}\\&=\exp {\big (}J_{a_{1}}(\lambda _{1}){\big )}\oplus \exp {\big (}J_{a_{2}}(\lambda _{2}){\big )}\oplus \cdots \oplus \exp {\big (}J_{a_{n}}(\lambda _{n}){\big )}.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, sólo necesitamos saber cómo calcular la matriz exponencial de un bloque de Jordan . Pero cada bloque de Jordan tiene la forma

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&J_{a}(\lambda )&=\lambda I+N\\&\Rightarrow &e^{J_{a}(\lambda )}&=e^{\lambda I+N}=e^{\lambda }e^{N}.\end{aligned}}}$$

donde N es una matriz nilpotente especial. La matriz exponencial de J viene dada por

$${\displaystyle e^{J}=e^{\lambda _{1}}e^{N_{a_{1}}}\oplus e^{\lambda _{2}}e^{N_{a_{2}}}\oplus \cdots \oplus e^{\lambda _{n}}e^{N_{a_{n}}}}$$

Caso de proyección

Si P es una matriz de proyección (es decir, es idempotente : P ² = P ), su matriz exponencial es:

mi ^PAG = yo + ( mi - 1) PAG .

Derivando esto por expansión de la función exponencial, cada potencia de P se reduce a P , que se convierte en un factor común de la suma:

$${\displaystyle e^{P}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {P^{k}}{k!}}=I+\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\right)P=I+(e-1)P~.}$$

Caso de rotación

Para una rotación simple en la que los vectores unitarios perpendiculares a y b especifican un plano, ^[19] la matriz de rotación R se puede expresar en términos de una función exponencial similar que involucra un generador G y un ángulo θ . ^{[20] [21]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}G&=\mathbf {ba} ^{\mathsf {T}}-\mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}&P&=-G^{2}=\mathbf {aa} ^{\mathsf {T}}+\mathbf {bb} ^{\mathsf {T}}\\P^{2}&=P&PG&=G=GP~,\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R\left(\theta \right)=e^{G\theta }&=I+G\sin(\theta )+G^{2}(1-\cos(\theta ))\\&=I-P+P\cos(\theta )+G\sin(\theta )~.\\\end{aligned}}}$$

La fórmula para el exponencial resulta de reducir las potencias de G en la expansión de la serie e identificar los respectivos coeficientes de la serie de G ² y G con −cos( θ ) y sin( θ ) respectivamente. La segunda expresión aquí para e ^Gθ es la misma que la expresión para R ( θ ) en el artículo que contiene la derivación del generador , R ( θ ) = e ^Gθ .

En dos dimensiones, si y , entonces , , y ${\displaystyle a=\left[{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle b=\left[{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle G=\left[{\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle G^{2}=\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]}$

$${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}=I\cos(\theta )+G\sin(\theta )}$$

La matriz P = − G ² proyecta un vector en el plano ab y la rotación solo afecta a esta parte del vector. Un ejemplo que ilustra esto es una rotación de 30° = π/6 en el plano abarcado por a y b ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\\end{bmatrix}}&\mathbf {b} &={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{bmatrix}0\\1\\2\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}G={\frac {1}{\sqrt {5}}}&{\begin{bmatrix}0&-1&-2\\1&0&0\\2&0&0\\\end{bmatrix}}&P=-G^{2}&={\frac {1}{5}}{\begin{bmatrix}5&0&0\\0&1&2\\0&2&4\\\end{bmatrix}}\\P{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{5}}&{\begin{bmatrix}5\\8\\16\\\end{bmatrix}}=\mathbf {a} +{\frac {8}{\sqrt {5}}}\mathbf {b} &R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&={\frac {1}{10}}{\begin{bmatrix}5{\sqrt {3}}&-{\sqrt {5}}&-2{\sqrt {5}}\\{\sqrt {5}}&8+{\sqrt {3}}&-4+2{\sqrt {3}}\\2{\sqrt {5}}&-4+2{\sqrt {3}}&2+4{\sqrt {3}}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}$$

Sea N = I - P , entonces N ² = N y sus productos con P y G son cero. Esto nos permitirá evaluar potencias de R.

$${\displaystyle {\begin{aligned}R\left({\frac {\pi }{6}}\right)&=N+P{\frac {\sqrt {3}}{2}}+G{\frac {1}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{2}&=N+P{\frac {1}{2}}+G{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{3}&=N+G\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{6}&=N-P\\R\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{12}&=N+P=I\\\end{aligned}}}$$

Evaluación de la serie Laurent

En virtud del teorema de Cayley-Hamilton, la matriz exponencial se puede expresar como un polinomio de orden n −1.

Si P y Q _t son polinomios distintos de cero en una variable, tales que P ( A ) = 0 , y si la función meromorfa

$${\displaystyle f(z)={\frac {e^{tz}-Q_{t}(z)}{P(z)}}}$$

completo

$${\displaystyle e^{tA}=Q_{t}(A).}$$

( z ) yzA.

Un polinomio de este tipo Q _t ( z ) se puede encontrar de la siguiente manera: consulte la fórmula de Sylvester . Dejando que a sea una raíz de P , Q _a,t ( z ) se resuelve a partir del producto de P por la parte principal de la serie de Laurent de f en a : Es proporcional a la covariante de Frobenius relevante . Entonces la suma St de Q _a,t , donde a recorre todas las raíces de P , puede tomarse como un _Q t _particular . Todos los demás Q _t se obtendrán sumando un múltiplo de P a S _t ( z ) . _En particular, S _t ( z ) , el polinomio de Lagrange-Sylvester , es el único Qt cuyo grado es menor que el de P.

Ejemplo : considere el caso de una matriz arbitraria de 2 × 2,

$${\displaystyle A:={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.}$$

La matriz exponencial e ^tA , en virtud del teorema de Cayley-Hamilton , debe tener la forma

$${\displaystyle e^{tA}=s_{0}(t)\,I+s_{1}(t)\,A.}$$

(Para cualquier número complejo z y cualquier C -álgebra B , denotamos nuevamente por z el producto de z por la unidad de B ).

Sean α y β las raíces del polinomio característico de A ,

$${\displaystyle P(z)=z^{2}-(a+d)\ z+ad-bc=(z-\alpha )(z-\beta )~.}$$

Entonces nosotros tenemos

$${\displaystyle S_{t}(z)=e^{\alpha t}{\frac {z-\beta }{\alpha -\beta }}+e^{\beta t}{\frac {z-\alpha }{\beta -\alpha }}~,}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&={\frac {\alpha \,e^{\beta t}-\beta \,e^{\alpha t}}{\alpha -\beta }},&s_{1}(t)&={\frac {e^{\alpha t}-e^{\beta t}}{\alpha -\beta }}\end{aligned}}}$$

si α ≠ β ; mientras que si α = β ,

$${\displaystyle S_{t}(z)=e^{\alpha t}(1+t(z-\alpha ))~,}$$

de modo que

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&=(1-\alpha \,t)\,e^{\alpha t},&s_{1}(t)&=t\,e^{\alpha t}~.\end{aligned}}}$$

Definiendo

$${\displaystyle {\begin{aligned}s&\equiv {\frac {\alpha +\beta }{2}}={\frac {\operatorname {tr} A}{2}}~,&q&\equiv {\frac {\alpha -\beta }{2}}=\pm {\sqrt {-\det \left(A-sI\right)}},\end{aligned}}}$$

tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}(t)&=e^{st}\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right),&s_{1}(t)&=e^{st}{\frac {\sinh(qt)}{q}},\end{aligned}}}$$

donde sin( qt )/ q es 0 si t = 0 y t si q = 0 .

De este modo,

${\displaystyle e^{tA}=e^{st}\left(\left(\cosh(qt)-s{\frac {\sinh(qt)}{q}}\right)~I~+{\frac {\sinh(qt)}{q}}A\right)~.}$

Así, como se indicó anteriormente, habiéndose descompuesto la matriz A en la suma de dos piezas que se conmutan entre sí, la pieza con traza y la pieza sin traza,

$${\displaystyle A=sI+(A-sI)~,}$$

la matriz exponencial se reduce a un simple producto de los exponenciales de las dos piezas respectivas. Esta es una fórmula que se usa a menudo en física, ya que equivale a la fórmula análoga de Euler para las matrices de espín de Pauli , es decir, rotaciones de la representación doblete del grupo SU(2) .

Al polinomio St _también se le puede dar la siguiente caracterización de " interpolación ". Defina e _t ( z ) ≡ e ^tz y n ≡ grados P . Entonces S _t ( z ) es el único polinomio de grado < n que satisface S _t ^{( k )} ( a ) = e _t ^{( k )} ( a ) siempre que k sea menor que la multiplicidad de a como raíz de P . Suponemos, como obviamente podemos, que P es el polinomio mínimo de A. Suponemos además que A es una matriz diagonalizable . En particular, las raíces de P son simples, y la caracterización de " interpolación " indica que St está _dada por la fórmula de interpolación de Lagrange , por lo que es el polinomio de Lagrange-Sylvester .

En el otro extremo, si P = ( z - a ) ⁿ , entonces

$${\displaystyle S_{t}=e^{at}\ \sum _{k=0}^{n-1}\ {\frac {t^{k}}{k!}}\ (z-a)^{k}~.}$$

El caso más simple no cubierto por las observaciones anteriores es cuando con a ≠ b , lo que produce ${\displaystyle P=(z-a)^{2}\,(z-b)}$

$${\displaystyle S_{t}=e^{at}\ {\frac {z-b}{a-b}}\ \left(1+\left(t+{\frac {1}{b-a}}\right)(z-a)\right)+e^{bt}\ {\frac {(z-a)^{2}}{(b-a)^{2}}}.}$$

Evaluación mediante implementación de la fórmula de Sylvester.

Un cálculo práctico y acelerado de lo anterior se reduce a los siguientes pasos rápidos. Recuerde lo visto anteriormente que una matriz n×n exp( tA ) equivale a una combinación lineal de las primeras n −1 potencias de A según el teorema de Cayley-Hamilton . Para matrices diagonalizables , como se ilustra arriba, por ejemplo, en el caso 2×2, la fórmula de Sylvester produce exp( tA ) = B _α exp( tα ) + B _β exp( tβ ) , donde las B s son las covariantes de Frobenius de A.

Sin embargo, es más fácil resolver estos B directamente, evaluando esta expresión y su primera derivada en t = 0 , en términos de A e I , para encontrar la misma respuesta que antes.

Pero este sencillo procedimiento también funciona para matrices defectuosas , en una generalización debida a Buchheim. ^[22] Esto se ilustra aquí para un ejemplo de 4 × 4 de una matriz que no es diagonalizable , y las B no son matrices de proyección.

Considerar

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}~,}$$

λ ₁ = 3/4λ ₂ = 1

Considere el exponencial de cada valor propio multiplicado por t , exp( λ _i t ) . Multiplique cada valor propio exponenciado por la correspondiente matriz de coeficientes indeterminados B _i . Si los valores propios tienen una multiplicidad algebraica mayor que 1, entonces se repite el proceso, pero ahora multiplicando por un factor extra de t para cada repetición, para asegurar la independencia lineal.

(Si un valor propio tuviera una multiplicidad de tres, entonces estarían los tres términos: . Por el contrario, cuando todos los valores propios son distintos, los B son solo las covariantes de Frobenius , y resolverlos como se muestra a continuación equivale a la inversión de las Matriz de Vandermonde de estos 4 valores propios). ${\displaystyle B_{i_{1}}e^{\lambda _{i}t},~B_{i_{2}}te^{\lambda _{i}t},~B_{i_{3}}t^{2}e^{\lambda _{i}t}}$

Sume todos esos términos, aquí cuatro de ellos,

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{At}&=B_{1_{1}}e^{\lambda _{1}t}+B_{1_{2}}te^{\lambda _{1}t}+B_{2_{1}}e^{\lambda _{2}t}+B_{2_{2}}te^{\lambda _{2}t},\\e^{At}&=B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{1_{2}}te^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+B_{2_{2}}te^{1t}~.\end{aligned}}}$$

Para resolver todas las matrices desconocidas B en términos de las tres primeras potencias de A y la identidad, se necesitan cuatro ecuaciones, la anterior proporciona una en t = 0. Además, diferenciarla con respecto a t ,

$${\displaystyle Ae^{At}={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left({\frac {3}{4}}t+1\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+1B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1t+1\right)B_{2_{2}}e^{1t}~,}$$

y otra vez,

$${\displaystyle {\begin{aligned}A^{2}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+\left({\frac {3}{4}}+1\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{2}t+(1+1\cdot 1)\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}t+{\frac {3}{2}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{t}+\left(t+2\right)B_{2_{2}}e^{t}~,\end{aligned}}}$$

y una vez más,

$${\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}e^{At}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+\left({\frac {3}{2}}\right)\cdot {\frac {3}{4}}\right)\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}+B_{2_{1}}e^{1t}+\left(1^{3}t+(1+2)\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{1t}\\&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}t\!+{\frac {27}{16}}\right)B_{1_{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\!+B_{2_{1}}e^{t}\!+\left(t+3\cdot 1\right)B_{2_{2}}e^{t}~.\end{aligned}}}$$

(En el caso general, es necesario tomar n −1 derivadas).

Estableciendo t = 0 en estas cuatro ecuaciones, ahora se pueden resolver las cuatro matrices de coeficientes B s,

$${\displaystyle {\begin{aligned}I&=B_{1_{1}}+B_{2_{1}}\\A&={\frac {3}{4}}B_{1_{1}}+B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+B_{2_{2}}\\A^{2}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}B_{1_{1}}+{\frac {3}{2}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+2B_{2_{2}}\\A^{3}&=\left({\frac {3}{4}}\right)^{3}B_{1_{1}}+{\frac {27}{16}}B_{1_{2}}+B_{2_{1}}+3B_{2_{2}}~,\end{aligned}}}$$

ceder

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{1_{1}}&=128A^{3}-366A^{2}+288A-80I\\B_{1_{2}}&=16A^{3}-44A^{2}+40A-12I\\B_{2_{1}}&=-128A^{3}+366A^{2}-288A+80I\\B_{2_{2}}&=16A^{3}-40A^{2}+33A-9I~.\end{aligned}}}$$

Sustituyendo con el valor de A se obtienen las matrices de coeficientes.

$${\displaystyle {\begin{aligned}B_{1_{1}}&={\begin{bmatrix}0&0&48&-16\\0&0&-8&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\\B_{1_{2}}&={\begin{bmatrix}0&0&4&-2\\0&0&-1&{\frac {1}{2}}\\0&0&{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{8}}\\0&0&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}\\B_{2_{1}}&={\begin{bmatrix}1&0&-48&16\\0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\\B_{2_{2}}&={\begin{bmatrix}0&1&8&-2\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

entonces la respuesta final es

$${\displaystyle e^{tA}={\begin{bmatrix}e^{t}&te^{t}&\left(8t-48\right)e^{t}\!+\left(4t+48\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&\left(16-2\,t\right)e^{t}\!+\left(-2t-16\right)e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&e^{t}&8e^{t}\!+\left(-t-8\right)e^{{\frac {3}{4}}t}&-2e^{t}+{\frac {t+4}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t+4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t}{8}}e^{{\frac {3}{4}}t}\\0&0&{\frac {t}{2}}e^{{\frac {3}{4}}t}&-{\frac {t-4}{4}}e^{{\frac {3}{4}}t}~.\end{bmatrix}}}$$

El procedimiento es mucho más corto que el algoritmo de Putzer que a veces se utiliza en tales casos.

Ilustraciones

Supongamos que queremos calcular la exponencial de

$${\displaystyle B={\begin{bmatrix}21&17&6\\-5&-1&-6\\4&4&16\end{bmatrix}}.}$$

Su forma jordana es

$${\displaystyle J=P^{-1}BP={\begin{bmatrix}4&0&0\\0&16&1\\0&0&16\end{bmatrix}},}$$

P

$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{4}}&2&{\frac {5}{4}}\\{\frac {1}{4}}&-2&-{\frac {1}{4}}\\0&4&0\end{bmatrix}}.}$$

Primero calculemos exp( J ). Tenemos

$${\displaystyle J=J_{1}(4)\oplus J_{2}(16)}$$

La exponencial de una matriz de 1×1 es solo la exponencial de una entrada de la matriz, por lo que exp( J ₁ (4)) = [ e ⁴ ] . El exponencial de J ₂ (16) se puede calcular mediante la fórmula e ^{(λ I + N )} = e ^λ e ^N mencionada anteriormente; esto produce ^[23]

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\exp \left({\begin{bmatrix}16&1\\0&16\end{bmatrix}}\right)=e^{16}\exp \left({\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}\right)=\\[6pt]{}={}&e^{16}\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}+{1 \over 2!}{\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}+\cdots {}\right)={\begin{bmatrix}e^{16}&e^{16}\\0&e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Por tanto, la exponencial de la matriz B original es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(B)&=P\exp(J)P^{-1}=P{\begin{bmatrix}e^{4}&0&0\\0&e^{16}&e^{16}\\0&0&e^{16}\end{bmatrix}}P^{-1}\\[6pt]&={1 \over 4}{\begin{bmatrix}13e^{16}-e^{4}&13e^{16}-5e^{4}&2e^{16}-2e^{4}\\-9e^{16}+e^{4}&-9e^{16}+5e^{4}&-2e^{16}+2e^{4}\\16e^{16}&16e^{16}&4e^{16}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

Aplicaciones

Ecuaciones diferenciales lineales

La matriz exponencial tiene aplicaciones a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales . (Ver también ecuación diferencial matricial .) Recuerde que antes en este artículo una ecuación diferencial homogénea de la forma

$${\displaystyle \mathbf {y} '=A\mathbf {y} }$$

e ^En y (0)

Si consideramos el vector

$${\displaystyle \mathbf {y} (t)={\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\\vdots \\y_{n}(t)\end{bmatrix}}~,}$$

no homogéneas como

$${\displaystyle \mathbf {y} '(t)=A\mathbf {y} (t)+\mathbf {b} (t).}$$

ansatze ^{− At}

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&e^{-At}\mathbf {y} '-e^{-At}A\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &e^{-At}\mathbf {y} '-Ae^{-At}\mathbf {y} &=e^{-At}\mathbf {b} \\&\Rightarrow &{\frac {d}{dt}}\left(e^{-At}\mathbf {y} \right)&=e^{-At}\mathbf {b} ~.\end{aligned}}}$$

El segundo paso es posible debido a que, si AB = BA , entonces e ^At B = Be ^At . Entonces, calcular e ^At conduce a la solución del sistema, simplemente integrando el tercer paso con respecto a t .

Se puede obtener una solución a esto integrando y multiplicando por para eliminar el exponente en el LHS. Observa que while es una matriz, dado que es una matriz exponencial, podemos decir que . En otras palabras, . ${\displaystyle e^{{\textbf {A}}t}}$ ${\displaystyle e^{{\textbf {A}}t}}$ ${\displaystyle e^{{\textbf {A}}t}e^{-{\textbf {A}}t}=I}$ ${\displaystyle \exp {{\textbf {A}}t}=\exp {{(-{\textbf {A}}t)}^{-1}}}$

Ejemplo (homogéneo)

Considere el sistema

$${\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z\end{matrix}}~.}$$

La matriz defectuosa asociada es

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.}$$

La matriz exponencial es

$${\displaystyle e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)&-2te^{2t}&e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)&2te^{2t}&e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,}$$

de modo que la solución general del sistema homogéneo es

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}-2t\right)\\e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\-e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)\end{bmatrix}}~,}$$

por un importe de

$${\displaystyle {\begin{aligned}2x&=x(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}-2t\right)+y(0)\left(-2te^{2t}\right)+z(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2y&=x(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}-2t\right)+y(0)2(t+1)e^{2t}+z(0)\left(-e^{2t}\right)\left(-1+e^{2t}\right)\\[2pt]2z&=x(0)e^{2t}\left(-1+e^{2t}+2t\right)+y(0)2te^{2t}+z(0)e^{2t}\left(1+e^{2t}\right)~.\end{aligned}}}$$

Ejemplo (homogéneo)

Consideremos ahora el sistema no homogéneo.

$${\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}~.}$$

nuevamente tenemos

$${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,}$$

y

$${\displaystyle \mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}.}$$

De antes ya tenemos la solución general de la ecuación homogénea. Dado que la suma de las soluciones homogénea y particular da la solución general al problema no homogéneo, ahora sólo necesitamos encontrar la solución particular.

Tenemos, por arriba,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}\left(2e^{u}-2ue^{2u}\right)\\e^{2u}\left(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u}\right)\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\[6pt]&=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t+4)-16\right)\\{1 \over 24}e^{3t}\left(3e^{t}(4t-1)-16\right)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,\end{aligned}}}$$

cy _p

Generalización de casos no homogéneos: variación de parámetros.

Para el caso no homogéneo, podemos utilizar factores integradores (un método similar a la variación de parámetros ). Buscamos una solución particular de la forma y _p ( t ) = exp( tA ) z ( t ) ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=\left(e^{tA}\right)'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}}$$

Para que y _p sea una solución,

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=\left(e^{tA}\right)^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}}$$

De este modo,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} ~,\end{aligned}}}$$

c

Más precisamente, considere la ecuación

$${\displaystyle Y'-A\ Y=F(t)}$$

con la condición inicial Y ( t ₀ ) = Y ₀ , donde

• A es una matriz compleja de n por n ,
• F es una función continua desde algún intervalo abierto I a C ⁿ ,
• ${\displaystyle t_{0}}$es un punto de I , y
• ${\displaystyle Y_{0}}$es un vector de C ⁿ .

Multiplicando hacia la izquierda la igualdad mostrada arriba por e ^−tA se obtiene

$${\displaystyle Y(t)=e^{(t-t_{0})A}\ Y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{(t-x)A}\ F(x)\ dx~.}$$

Afirmamos que la solución de la ecuación

$${\displaystyle P(d/dt)\ y=f(t)}$$

con las condiciones iniciales para 0 ≤ k < n es ${\displaystyle y^{(k)}(t_{0})=y_{k}}$

$${\displaystyle y(t)=\sum _{k=0}^{n-1}\ y_{k}\ s_{k}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{n-1}(t-x)\ f(x)\ dx~,}$$

donde la notación es la siguiente:

• ${\displaystyle P\in \mathbb {C} [X]}$es un polinomio mónico de grado n > 0 ,
• f es una función continua de valor complejo definida en algún intervalo abierto I ,
• ${\displaystyle t_{0}}$es un punto de yo ,
• ${\displaystyle y_{k}}$es un número complejo y

s _k ( t ) es el coeficiente deen el polinomio denotado poren la subsección Evaluación de la serie Laurent anterior. ${\displaystyle X^{k}}$ ${\displaystyle S_{t}\in \mathbb {C} [X]}$

Para justificar esta afirmación, transformamos nuestra ecuación escalar de orden n en una ecuación vectorial de orden uno mediante la reducción habitual a un sistema de primer orden . Nuestra ecuación vectorial toma la forma

$${\displaystyle {\frac {dY}{dt}}-A\ Y=F(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0},}$$

Amatriz compañera transpuestaP

En el caso n = 2 obtenemos la siguiente afirmación. La solución a

$${\displaystyle y''-(\alpha +\beta )\ y'+\alpha \,\beta \ y=f(t),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=y_{1}}$$

es

$${\displaystyle y(t)=y_{0}\ s_{0}(t-t_{0})+y_{1}\ s_{1}(t-t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}s_{1}(t-x)\,f(x)\ dx,}$$

donde las funciones s ₀ y s ₁ son como en la subsección Evaluación de la serie Laurent anterior.

Exponenciales matriz-matriz

La matriz exponencial de otra matriz (matriz-matriz exponencial), ^[24] se define como

$${\displaystyle X^{Y}=e^{\log(X)\cdot Y}}$$

$${\displaystyle ^{Y}\!X=e^{Y\cdot \log(X)}}$$

X normalno singular de n × nY compleja de n × n

Para los exponenciales matriz-matriz, existe una distinción entre el exponencial izquierdo ^Y X y el exponencial derecho X ^Y , porque el operador de multiplicación de matriz a matriz no es conmutativo . Además,

• Si X es normal y no singular, entonces X ^Y e ^Y X tienen el mismo conjunto de valores propios.
• Si X es normal y no singular, Y es normal y XY = YX , entonces X ^Y = ^Y X.
• Si X es normal y no singular, y X , Y , Z conmutan entre sí, entonces X ^{Y + Z} = X ^Y · X ^Z e ^{Y + Z} X = ^Y X · ^Z X .

Ver también

• Función matricial
• Logaritmo matricial
• C ₀ -semigrupo
• Funcion exponencial
• Mapa exponencial (teoría de la mentira)
• expansión magnus
• Derivada del mapa exponencial
• flujo vectorial
• Desigualdad de Golden-Thompson
• Distribución tipo fase
• Fórmula del producto mentira
• Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff
• covariante de Frobenius
• La fórmula de Sylvester
• Funciones trigonométricas de matrices.

Referencias

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2. Propuesta 2.3 del Salón 2015
3. Teorema 2.12 de Hall 2015
4. Teorema 2.11 de Hall 2015
5. Salón 2015 Capítulo 5
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7. Lieb, Elliott H. (1973). "Funciones de traza convexas y la conjetura de Wigner-Yanase-Dyson". Avances en Matemáticas . 11 (3): 267–288. doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X .
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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Matriz exponencial". MundoMatemático .