Fórmula del producto Lie

Fórmula de exponenciales matriciales

En matemáticas , la fórmula del producto de Lie , llamada así por Sophus Lie (1875), pero también llamada ampliamente fórmula del producto de Trotter , ^[1] llamada así por Hale Trotter , establece que para matrices arbitrarias reales o complejas A y B de m × m , ^[2] donde e ^A denota la exponencial matricial de A . La fórmula del producto de Lie-Trotter ^[3] y el teorema de Trotter-Kato ^[4] extienden esto a ciertos operadores lineales ilimitados A y B . ^[5] $${\displaystyle e^{A+B}=\lim _{n\rightarrow \infty }(e^{A/n}e^{B/n})^{n},}$$

Esta fórmula es análoga a la ley exponencial clásica. $${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$$

que se cumple para todos los números reales o complejos x e y . Si x e y se reemplazan con las matrices A y B , y la exponencial se reemplaza con una matriz exponencial , generalmente es necesario que A y B conmuten para que la ley siga siendo válida. Sin embargo, la fórmula del producto de Lie se cumple para todas las matrices A y B , incluso las que no conmutan.

La fórmula del producto de Lie está conceptualmente relacionada con la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff , en el sentido de que ambas son reemplazos, en el contexto de operadores no conmutativos, de la ley exponencial clásica.

La fórmula tiene aplicaciones, por ejemplo, en la formulación de la integral de trayectorias de la mecánica cuántica. Permite separar el operador de evolución de Schrödinger ( propagador ) en incrementos alternos de operadores cinéticos y potenciales (la descomposición de Suzuki-Trotter, después de Trotter y Masuo Suzuki). La misma idea se utiliza en la construcción de métodos de división para la solución numérica de ecuaciones diferenciales . Además, el teorema del producto de Lie es suficiente para demostrar la fórmula de Feynman-Kac . ^[6]

El teorema de Trotter-Kato se puede utilizar para la aproximación de semigrupos C 0 lineales . ^[7]

Véase también

• Diezmación de bloques que evoluciona con el tiempo

Notas

1. Cohen y otros, 1982
2. Hall 2015 Teorema 2.11
3. Trotero 1959
4. Kato 1978
5. Hall 2013 Teorema 20.1
6. Apelbaum 2019
7. Ito y Kappel 1998

Referencias

• Albeverio, Sergio A.; Høegh-Krohn, Raphael J. (1976), Teoría matemática de las integrales de trayectorias de Feynman: una introducción , Lecture Notes in Mathematics, vol. 423 (1.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0079827, hdl : 10852/44049 , ISBN 978-3-540-07785-5
• Appelbaum, David (2019). "La fórmula de Feynman-Kac a través de la fórmula del producto de Lie-Kato-Trotter". Semigrupos de operadores lineales: con aplicaciones al análisis, la probabilidad y la física . Cambridge University Press. págs. 123–125. ISBN 978-1-108-71637-6.
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5
• "Fórmula del producto de Trotter", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Cohen, Joel E.; Friedland, Shmuel; Kato, Tosio; Kelly, FP (1982). "Desigualdades de valores propios para productos de exponenciales matriciales" (PDF) . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 45 : 55–95. doi : 10.1016/0024-3795(82)90211-7 .
• Ito, Kazufumi; Kappel, Franz (1998). "El teorema de Trotter-Kato y la aproximación de ecuaciones diferenciales parciales". Matemáticas de la computación . 67 (221): 21–44. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00915-6 . JSTOR  2584971.
• Joel E. Cohen; Shmuel Friedland; Tosio Kato; FP Kelly (1982), "Desigualdades de valores propios para productos de exponentes matriciales" (PDF) , Álgebra lineal y sus aplicaciones , 45 : 55–95, doi : 10.1016/0024-3795(82)90211-7
• Kato, Tosio (1978), "Fórmula del producto de Trotter para un par arbitrario de semigrupos de contracción autoadjuntos", Temas de análisis funcional (ensayos dedicados a MG Kreĭn con motivo de su 70.° cumpleaños) , Adv. in Math. Suppl. Stud., vol. 3, Boston, MA: Academic Press , pp. 185–195, MR  0538020
• Miente, Sofo; Engel, Friedrich (1970). Theorie der Transformationsgruppen (en alemán). Nueva York: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 0-8284-0232-9.
• Trotter, HF (1959), "Sobre el producto de semigrupos de operadores", Actas de la American Mathematical Society , 10 (4): 545–551, doi : 10.2307/2033649 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2033649, MR  0108732
• Suzuki, Masuo (1976). "Fórmula de Trotter generalizada y aproximaciones sistemáticas de operadores exponenciales y derivaciones internas con aplicaciones a problemas de muchos cuerpos". Comm. Math. Phys . 51 (2): 183–190. doi :10.1007/bf01609348. S2CID  121900332.
• Varadarajan, VS (1984), Grupos de Lie, álgebras de Lie y sus representaciones , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90969-1, págs. 99.