Matriz defectuosa

Matriz no diagonalizable; aquella que carece de una base de vectores propios

En álgebra lineal , una matriz defectuosa es una matriz cuadrada que no tiene una base completa de vectores propios y, por lo tanto, no es diagonalizable . En particular, una matriz es defectuosa si y solo si no tiene vectores propios linealmente independientes . ^[1] Una base completa se forma aumentando los vectores propios con vectores propios generalizados , que son necesarios para resolver sistemas defectuosos de ecuaciones diferenciales ordinarias y otros problemas. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$

Una matriz defectuosa siempre tiene menos de valores propios distintos , ya que los valores propios distintos siempre tienen vectores propios linealmente independientes. En particular, una matriz defectuosa tiene uno o más valores propios con multiplicidad algebraica (es decir, son raíces múltiples del polinomio característico ), pero menos de vectores propios linealmente independientes asociados con . Si la multiplicidad algebraica de excede su multiplicidad geométrica (es decir, el número de vectores propios linealmente independientes asociados con ), entonces se dice que es un valor propio defectuoso . ^[1] Sin embargo, cada valor propio con multiplicidad algebraica siempre tiene vectores propios generalizados linealmente independientes. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m>1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Una matriz simétrica real y, más generalmente, una matriz hermítica y una matriz unitaria , nunca es defectuosa; más generalmente, una matriz normal (que incluye matrices hermíticas y unitarias como casos especiales) nunca es defectuosa.

Bloque de Jordania

Cualquier bloque de Jordan no trivial de tamaño o mayor (es decir, no completamente diagonal) es defectuoso. (Una matriz diagonal es un caso especial de la forma normal de Jordan con todos los bloques de Jordan triviales de tamaño y no es defectuosa). Por ejemplo, el bloque de Jordan ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 1\times 1}$ ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\lambda &1&\;&\;\\\;&\lambda &\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda \end{bmatrix}},}$

tiene un valor propio , con multiplicidad algebraica (o mayor si hay otros bloques de Jordan con el mismo valor propio), pero solo un vector propio distinto , donde Los otros vectores base canónicos forman una cadena de vectores propios generalizados tales que para . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Jv_{1}=\lambda v_{1}}$ ${\displaystyle v_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}.}$ ${\displaystyle v_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{bmatrix}},~\ldots ,~v_{n}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle Jv_{k}=\lambda v_{k}+v_{k-1}}$ ${\displaystyle k=2,\ldots ,n}$

Cualquier matriz defectuosa tiene una forma normal de Jordan no trivial , que es lo más cercano que se puede llegar a la diagonalización de dicha matriz.

Ejemplo

Un ejemplo simple de una matriz defectuosa es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&1\\0&3\end{bmatrix}},}$

que tiene un valor propio doble de 3 pero solo un vector propio distinto

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

(y múltiplos constantes de los mismos).

Véase también

• Forma normal de Jordan  – Forma de una matriz que indica sus valores propios y sus multiplicidades algebraicas

Notas

1. Golub y Van Loan (1996, pág. 316)

Referencias

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Cálculos matriciales (3.ª ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 978-0-8018-5414-9
• Strang, Gilbert (1988). Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.). San Diego: Harcourt. ISBN 978-970-686-609-7.