la fórmula de euler

Exponencial compleja en términos de seno y coseno

La fórmula de Euler , llamada así en honor a Leonhard Euler , es una fórmula matemática en análisis complejo que establece la relación fundamental entre las funciones trigonométricas y la función exponencial compleja . La fórmula de Euler establece que, para cualquier número real x , se tiene  

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

ebase del logaritmo naturaliunidad imaginariacossinfunciones trigonométricas cosenosenocis xixnúmero complejofórmula de Euler^[1]

La fórmula de Euler es omnipresente en matemáticas, física, química e ingeniería. El físico Richard Feynman llamó a la ecuación "nuestra joya" y "la fórmula más notable de las matemáticas". ^[2]

Cuando x = π , la fórmula de Euler se puede reescribir como e ^iπ + 1 = 0 o e ^iπ = -1 , lo que se conoce como identidad de Euler . La versión con 0 se considera un ejemplo de belleza matemática debido a que vincula cinco constantes matemáticas fundamentales con tres operaciones aritméticas básicas, ^[3] cada una de las cuales ocurre solo una vez.

Historia

En 1714, el matemático inglés Roger Cotes presentó un argumento geométrico que puede interpretarse (tras corregir un factor de ) mal colocado como: ^{[4] [5] [6]} ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

$${\displaystyle ix=\ln(\cos x+i\sin x).}$$

2 πi

Alrededor de 1740, Leonhard Euler centró su atención en la función exponencial y dedujo la ecuación que lleva su nombre comparando las expansiones en serie de las expresiones exponencial y trigonométrica. ^{[7] [5]} La fórmula se publicó por primera vez en 1748 en su obra fundacional Introductio in analysin infinitorum . ^[8]

Johann Bernoulli había descubierto que ^[9]

$${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).}$$

Y desde

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,}$$

los logaritmos complejos

La correspondencia de Bernoulli con Euler (que también conocía la ecuación anterior) muestra que Bernoulli no entendía completamente los logaritmos complejos . Euler también sugirió que los logaritmos complejos pueden tener infinitos valores.

La visión de los números complejos como puntos en el plano complejo fue descrita unos 50 años después por Caspar Wessel .

Definiciones de exponenciación compleja

La función exponencial e ^x para valores reales de x se puede definir de diferentes formas equivalentes (consulte Caracterizaciones de la función exponencial ). Varios de estos métodos pueden extenderse directamente para dar definiciones de e ^z para valores complejos de z simplemente sustituyendo z en lugar de x y usando operaciones algebraicas complejas. En particular, podemos utilizar cualquiera de las tres definiciones siguientes, que son equivalentes. Desde una perspectiva más avanzada, se puede interpretar que cada una de estas definiciones proporciona la única continuación analítica de e ^x al plano complejo.

Definición de ecuación diferencial

La función exponencial es la única función diferenciable de una variable compleja cuya derivada es igual a la función. ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$

$${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=f}$$

$${\displaystyle f(0)=1.}$$

Definición de series de potencias

Para z complejo

$${\displaystyle e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$

Usando la prueba de razón , es posible demostrar que esta serie de potencias tiene un radio de convergencia infinito y por lo tanto define e ^z para todo z complejo .

Definición de límite

Para z complejo

$${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$$

Aquí, n está restringido a números enteros positivos , por lo que no hay dudas sobre qué significa la potencia con exponente n .

Pruebas

Son posibles varias pruebas de la fórmula.

Usando diferenciación

Esta prueba muestra que el cociente de las expresiones trigonométricas y exponenciales es la función constante uno, por lo que deben ser iguales (la función exponencial nunca es cero, ^[10] por lo que esto está permitido). ^[11]

Considere la función f ( θ )

$${\displaystyle f(\theta )={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{e^{i\theta }}}=e^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}$$

θregla del producto

$${\displaystyle f'(\theta )=e^{-i\theta }\left(i\cos \theta -\sin \theta \right)-ie^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=0}$$

f ( θ )f (0) = 1f ( θ ) = 1θ

$${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

Usando series de potencias

Aquí hay una prueba de la fórmula de Euler usando expansiones en series de potencias , así como datos básicos sobre las potencias de i : ^[12]

$${\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}}$$

Usando ahora la definición de serie de potencias anterior, vemos que para valores reales de x

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}}$$

serie de Maclaurincos xsen xEl reordenamiento de términos se justificaabsolutamente convergente

Usando coordenadas polares

Otra prueba ^[13] se basa en el hecho de que todos los números complejos se pueden expresar en coordenadas polares . Por lo tanto, para algunos r y θ dependiendo de x ,

$${\displaystyle e^{ix}=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right).}$$

rθe ^ixie ^ix

$${\displaystyle ie^{ix}=\left(\cos \theta +i\sin \theta \right){\frac {dr}{dx}}+r\left(-\sin \theta +i\cos \theta \right){\frac {d\theta }{dx}}.}$$

r (cos θ + i sin θ )e ^ixdr./dx= 0dθ/dx= 1rθx + CC.r (0) = 1θ (0) = 0e ^{0 i} = 1r = 1θ = x

$${\displaystyle e^{i\theta }=1(\cos \theta +i\sin \theta )=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

Aplicaciones

Aplicaciones en teoría de números complejos

La fórmula de Euler e ^iφ = cos φ + i sin φ se ilustra en el plano complejo.

Interpretación de la fórmula.

Esta fórmula se puede interpretar en el sentido de que la función e ^iφ es un número complejo unitario , es decir, traza el círculo unitario en el plano complejo cuando φ recorre los números reales. Aquí φ es el ángulo que forma una recta que conecta el origen con un punto del círculo unitario con el eje real positivo , medido en sentido antihorario y en radianes .

La prueba original se basa en las expansiones en serie de Taylor de la función exponencial e ^z (donde z es un número complejo) y de sen x y cos x para números reales x (ver arriba). De hecho, la misma prueba muestra que la fórmula de Euler es válida incluso para todos los números  complejos x .

Un punto en el plano complejo se puede representar mediante un número complejo escrito en coordenadas cartesianas . La fórmula de Euler proporciona un medio de conversión entre coordenadas cartesianas y coordenadas polares . La forma polar simplifica las matemáticas cuando se usa en multiplicación o potencias de números complejos. Cualquier número complejo z = x + iy , y su conjugado complejo, z = x − iy , se puede escribir como

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },\\{\bar {z}}&=x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=re^{-i\varphi },\end{aligned}}}$$

• x = Re z es la parte real,
• y = Im z es la parte imaginaria,
• r = | z | = √ x ² + y ² es la magnitud de z y
• φ = arg z = atan2 ( y , x ) .

φ es el argumento de z , es decir, el ángulo entre el eje x y el vector z medido en sentido antihorario en radianes , que se define hasta la suma de 2 π . Muchos textos escriben φ = tan ⁻¹ y/Xen lugar de φ = atan2( y , x ) , pero la primera ecuación necesita ajuste cuando x ≤ 0 . Esto se debe a que para cualquier x e y reales , no ambos cero, los ángulos de los vectores ( x , y ) y (− x , − y ) difieren en π radianes, pero tienen el valor idéntico de tan φ =y/X.

Uso de la fórmula para definir el logaritmo de números complejos

Ahora, tomando esta fórmula derivada, podemos usar la fórmula de Euler para definir el logaritmo de un número complejo. Para ello, también utilizamos la definición de logaritmo (como operador inverso de exponenciación):

$${\displaystyle a=e^{\ln a},}$$

$${\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b},}$$

ab

$${\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|}e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|+i\varphi }}$$

z ≠ 0

$${\displaystyle \ln z=\ln \left|z\right|+i\varphi ,}$$

logaritmo complejofunción multivaluadaφ

Finalmente, la otra ley exponencial

$${\displaystyle \left(e^{a}\right)^{k}=e^{ak},}$$

kidentidades trigonométricasla fórmula de De Moivre

Relación con la trigonometría

Relación entre seno, coseno y función exponencial

La fórmula de Euler, las definiciones de las funciones trigonométricas y las identidades estándar para exponenciales son suficientes para derivar fácilmente la mayoría de las identidades trigonométricas. Proporciona una poderosa conexión entre el análisis y la trigonometría , y proporciona una interpretación de las funciones seno y coseno como sumas ponderadas de la función exponencial:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{aligned}}}$$

Las dos ecuaciones anteriores se pueden derivar sumando o restando las fórmulas de Euler:

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$

Estas fórmulas pueden incluso servir como definición de funciones trigonométricas para argumentos complejos x . Por ejemplo, haciendo x = iy , tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos iy&={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,\\\sin iy&={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=i\sinh y.\end{aligned}}}$$

Los exponenciales complejos pueden simplificar la trigonometría porque son más fáciles de manipular que sus componentes sinusoidales. Una técnica consiste simplemente en convertir las sinusoides en expresiones equivalentes en términos de exponenciales. Después de las manipulaciones, el resultado simplificado sigue teniendo un valor real. Por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}{\bigg )}\\&={\frac {1}{2}}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right).\end{aligned}}}$$

Otra técnica consiste en representar las sinusoides en términos de la parte real de una expresión compleja y realizar las manipulaciones en la expresión compleja. Por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos nx&=\operatorname {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatorname {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x-e^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}}$$

Esta fórmula se utiliza para la generación recursiva de cos nx para valores enteros de n y x arbitrario (en radianes).

Si se considera cos x como parámetro en la ecuación anterior, se obtiene una fórmula recursiva para los polinomios de Chebyshev del primer tipo.

Interpretación topológica

En el lenguaje de la topología , la fórmula de Euler establece que la función exponencial imaginaria es un morfismo ( sobreyectivo ) de grupos topológicos desde la línea real hasta el círculo unitario . De hecho, esto se exhibe como un espacio de cobertura de . De manera similar, la identidad de Euler dice que el núcleo de este mapa es donde . Estas observaciones pueden combinarse y resumirse en el siguiente diagrama conmutativo : ${\displaystyle t\mapsto e^{it}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \tau \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \tau =2\pi }$

La fórmula y la identidad de Euler combinadas en forma esquemática

Otras aplicaciones

En ecuaciones diferenciales , la función e ^ix se usa a menudo para simplificar soluciones, incluso si la respuesta final es una función real que involucra seno y coseno. La razón de esto es que la función exponencial es la función propia de la operación de diferenciación .

En ingeniería eléctrica , procesamiento de señales y campos similares, las señales que varían periódicamente a lo largo del tiempo se describen a menudo como una combinación de funciones sinusoidales (ver análisis de Fourier ), y se expresan más convenientemente como la suma de funciones exponenciales con exponentes imaginarios , usando la ecuación de Euler. fórmula. Además, el análisis fasorial de circuitos puede incluir la fórmula de Euler para representar la impedancia de un condensador o un inductor.

En el espacio tetradimensional de los cuaterniones , existe una esfera de unidades imaginarias . Para cualquier punto r en esta esfera, y x un número real, se aplica la fórmula de Euler:

$${\displaystyle \exp xr=\cos x+r\sin x,}$$

versor3 esferas

Otros casos especiales

Los casos especiales que se evalúan en unidades ilustran la rotación alrededor del círculo unitario complejo:

El caso especial en x = τ (donde τ = 2 π , una vuelta ) produce e ^iτ = 1 + 0 . También se argumenta que esto vincula cinco constantes fundamentales con tres operaciones aritméticas básicas, pero, a diferencia de la identidad de Euler, sin reorganizar los sumandos del caso general:

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\tau }&=\cos \tau +i\sin \tau \\&=1+0\end{aligned}}}$$

e ^iτ = 1función de identidad^[14]

Ver también

• Número complejo
• La identidad de Euler
• Integración mediante la fórmula de Euler.
• Historia de las transformaciones de Lorentz § Brecha de Euler
• Lista de cosas que llevan el nombre de Leonhard Euler

Referencias

1. Moskowitz, Martín A. (2002). Un curso de análisis complejo en una variable. Co. editorial científica mundial. 7.ISBN​ 981-02-4780-X.
2. Feynman, Richard P. (1977). Las conferencias Feynman sobre física, vol. I. Addison-Wesley. pag. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
3. Gallagher, James (13 de febrero de 2014). "Matemáticas: por qué el cerebro ve las matemáticas como belleza". Noticias de la BBC en línea . Consultado el 13 de febrero de 2014 .
4. Cotes escribió: "Nam si quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptus, sinun habeat CX sinumque complementi ad quadrantem XE  ; sumando radio CE pro Modulo, arcus erit rationis inter & ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ CE mensura ducta in ". ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ (Así, si cualquier arco de un cuadrante de círculo, descrito por el radio CE , tiene seno CX y seno del complemento del cuadrante XE  ; tomando el radio CE como módulo, el arco será la medida de la relación entre & CE multiplicado por .) Es decir, considere un círculo que tiene centro E (en el origen del plano (x,y)) y radio CE . Considere un ángulo θ con su vértice en E que tiene el eje x positivo como un lado y un radio CE como el otro lado. La perpendicular desde el punto C del círculo al eje x es el "seno" CX  ; la recta entre el centro del círculo E y el punto X al pie de la perpendicular es XE , que es el "seno del complemento al cuadrante" o "coseno". La relación entre y CE es, por tanto , . En la terminología de Cotes, la "medida" de una cantidad es su logaritmo natural, y el "módulo" es un factor de conversión que transforma una medida de ángulo en longitud de arco circular (aquí, el módulo es el radio ( CE ) del círculo ). Según Cotes, el producto del módulo y la medida (logaritmo) de la relación, multiplicado por , es igual a la longitud del arco circular subtendido por θ , que para cualquier ángulo medido en radianes es CE • θ . De este modo, . Esta ecuación tiene un factor fuera de lugar: el factor de debería estar en el lado derecho de la ecuación, no en el lado izquierdo. Si se realiza el cambio de escala por , entonces, después de dividir ambos lados por CE y exponenciar ambos lados, el resultado es: , que es la fórmula de Euler. Ver: ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \ }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }}$
   
   • Roger Cotes (1714) "Logometria", Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 29 (338): 5-45; consulte especialmente la página 32. Disponible en línea en: Hathi Trust
   • Roger Cotes con Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum ... (Cambridge, Inglaterra: 1722), capítulo: "Logometria", p. 28.
   • https://nrich.maths.org/1384
5. John Stillwell (2002). Matemáticas y su historia. Saltador. ISBN 9781441960528.
6. Sandifer, C. Edward (2007), Grandes éxitos de Euler , Asociación Matemática de América ISBN 978-0-88385-563-8 
7. Leonard Euler (1748) Capítulo 8: Sobre las cantidades trascendentales que surgen del círculo de Introducción al análisis del infinito , página 214, sección 138 (traducción de Ian Bruce, enlace pdf de matemáticas del siglo XVII).
8. Conway y Guy, págs. 254-255
9. Bernoulli, Johann (1702). "Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul" [Solución de un problema de cálculo integral con algunas notas relativas a este cálculo]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de París . 1702 : 289–297.
10. Apóstol, Tom (1974). Análisis matemático . Pearson. pag. 20.ISBN​ 978-0201002881.Teorema 1.42
11. user02138 (https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138), Cómo probar la fórmula de Euler: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$ ?, URL (versión: 2018-06-25): https://math.stackexchange.com/q/8612
12. Ricardo, Henry J. (23 de marzo de 2016). Una introducción moderna a las ecuaciones diferenciales. Ciencia Elsevier. pag. 428.ISBN​ 9780123859136.
13. Strang, Gilbert (1991). Cálculo. Wellesley-Cambridge. pag. 389.ISBN​ 0-9614088-2-0.Segunda prueba en la página.
14. Hartl, Michael (14 de marzo de 2019) [14 de marzo de 2010]. "El Manifiesto Tau". Archivado desde el original el 28 de junio de 2019 . Consultado el 14 de septiembre de 2013 .

Otras lecturas

• Nahin, Paul J. (2006). La fabulosa fórmula del Dr. Euler: cura muchos males matemáticos . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-11822-2.
• Wilson, Robin (2018). La ecuación pionera de Euler: el teorema más bello de las matemáticas . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-879492-9. SEÑOR  3791469.

enlaces externos

• Elementos de álgebra