Teorema de identidad

Teorema sobre la igualdad de funciones analíticas.

En el análisis real y el análisis complejo , ramas de las matemáticas , el teorema de identidad para funciones analíticas establece: funciones dadas f y g analíticas en un dominio D (subconjunto abierto y conectado de o ), si f = g en algunos , donde tiene un punto de acumulación en D , entonces f = g en D . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle S\subseteq D}$ ${\displaystyle S}$

Por lo tanto, una función analítica está completamente determinada por sus valores en una única vecindad abierta en D , o incluso un subconjunto contable de D (siempre que contenga una secuencia convergente junto con su límite). Esto no es cierto en general para funciones reales diferenciables, ni siquiera para funciones infinitamente reales diferenciables . En comparación, las funciones analíticas son una noción mucho más rígida. De manera informal, a veces se resume el teorema diciendo que las funciones analíticas son "duras" (a diferencia de, digamos, las funciones continuas que son "blandas").

El hecho subyacente a partir del cual se establece el teorema es la capacidad de expansión de una función holomorfa en su serie de Taylor .

El supuesto de conectividad en el dominio D es necesario. Por ejemplo, si D consta de dos conjuntos abiertos disjuntos , puede estar en un conjunto abierto y en otro, mientras que está en uno y en otro. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$

Lema

Si dos funciones holomorfas y en un dominio D concuerdan en un conjunto S que tiene un punto de acumulación en , entonces en un disco en centrado en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c}$

Para demostrarlo, basta con demostrarlo a todos . ${\displaystyle f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Si este no es el caso, sea el entero no negativo más pequeño con . Por holomorfia, tenemos la siguiente representación de la serie de Taylor en alguna vecindad abierta U de : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f^{(m)}(c)\neq g^{(m)}(c)}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(f-g)(z)&{}=(z-c)^{m}\cdot \left[{\frac {(f-g)^{(m)}(c)}{m!}}+{\frac {(z-c)\cdot (f-g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}}+\cdots \right]\\[6pt]&{}=(z-c)^{m}\cdot h(z).\end{aligned}}}$

Por continuidad, es distinto de cero en algún pequeño disco abierto alrededor . Pero luego en el set pinchado . Esto contradice la suposición de que es un punto de acumulación de . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f-g\neq 0}$ ${\displaystyle B-\{c\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \{f=g\}}$

Este lema muestra que para un número complejo , la fibra es un conjunto discreto (y por lo tanto contable), a menos que . ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f^{-1}(a)}$ ${\displaystyle f\equiv a}$

Prueba

Defina el conjunto en el que y tenga la misma expansión de Taylor : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

$${\displaystyle S=\left\{z\in D\mid f^{(k)}(z)=g^{(k)}(z){\text{ for all }}k\geq 0\right\}=\bigcap _{k=0}^{\infty }\left\{z\in D\mid \left(f^{(k)}-g^{(k)}\right)(z)=0\right\}.}$$

Mostraremos que no está vacío, está abierto y cerrado . Entonces por conexión de , debe ser todo de , lo que implica en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle S=D}$

Según el lema, en un disco centrado en in , tienen la misma serie de Taylor en , por lo que no está vacío. ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c\in S}$ ${\displaystyle S}$

Como y son holomorfos en , la serie de Taylor de y en tienen un radio de convergencia distinto de cero . Por lo tanto, el disco abierto también sirve para algunos . También está abierto. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \forall w\in S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle B_{r}(w)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S}$

Por holomorfia de y , tienen derivados holomórficos, por lo que todos son continuos. Esto significa que está cerrado para todos . es una intersección de conjuntos cerrados, por lo que es cerrado. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f^{(n)},g^{(n)}}$ ${\displaystyle \{z\in D\mid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$

Caracterización completa

Dado que el teorema de la identidad se refiere a la igualdad de dos funciones holomorfas , podemos simplemente considerar la diferencia (que sigue siendo holomorfa) y podemos simplemente caracterizar cuándo una función holomorfa es idéntica . El siguiente resultado se puede encontrar en ^[2] ${\textstyle 0}$

Afirmar

Denotemos un subconjunto abierto conectado y no vacío del plano complejo. Porque los siguientes son equivalentes. ${\textstyle G\subseteq \mathbb {C} }$ ${\textstyle h:G\to \mathbb {C} }$

1. ${\textstyle h\equiv 0}$en ; ${\textstyle G}$
2. el conjunto contiene un punto de acumulación , ; ${\textstyle G_{0}=\{z\in G\mid h(z)=0\}}$ ${\textstyle z_{0}}$
3. el conjunto no está vacío, donde . ${\textstyle G_{\ast }=\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{0}}G_{n}}$ ${\textstyle G_{n}:=\{z\in G\mid h^{(n)}(z)=0\}}$

Prueba

Las direcciones (1 2) ${\textstyle \Rightarrow }$ y (1 3) ${\textstyle \Rightarrow }$ se cumplen trivialmente.

Para (3 1) ${\textstyle \Rightarrow }$ , por conectividad de es suficiente demostrar que el subconjunto no vacío, es cerrado (ya que un espacio topológico es conexo si y sólo si no tiene subconjuntos abiertos adecuados). Dado que las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, es decir , está claro que es cerrada. Para mostrar apertura, considere algunos . Considere una bola abierta que contiene , en la que tiene una expansión convergente en serie de Taylor centrada en . En virtud de , todos los coeficientes de esta serie son , de ahí en adelante . De ello se deduce que todas las derivadas -ésimas de están en , de donde . Entonces cada uno se encuentra en el interior de . ${\textstyle G}$ ${\textstyle G_{\ast }\subseteq G}$ ${\textstyle h\in C^{\infty }(G)}$ ${\textstyle G_{\ast }}$ ${\textstyle u\in G_{\ast }}$ ${\textstyle U\subseteq G}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle u\in G_{\ast }}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle h\equiv 0}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle U\subseteq G_{\ast }}$ ${\textstyle u\in G_{\ast }}$ ${\textstyle G_{\ast }}$

Hacia (2 3) ${\textstyle \Rightarrow }$ , fije un punto de acumulación . Ahora demostramos directamente por inducción que para cada . Para este fin, sea estrictamente menor que el radio de convergencia de la expansión en serie de potencias de alrededor de , dado por . Arregla ahora algunos y asume eso para todos . Luego, para la manipulación de los rendimientos de expansión de la serie de potencias ${\textstyle z_{0}\in G_{0}}$ ${\textstyle z_{0}\in G_{n}}$ ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\textstyle r\in (0,\infty )}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} _{0}}{\frac {h^{(k)}(z_{0})}{k!}}(z-z_{0})^{k}}$ ${\textstyle n\geq 0}$ ${\textstyle z_{0}\in G_{k}}$ ${\textstyle k<n}$ ${\textstyle z\in {\bar {B}}_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$

Tenga en cuenta que, dado que es menor que el radio de la serie de potencias, se puede deducir fácilmente que la serie de potencias es continua y, por tanto, acotada . ${\textstyle r}$ ${\textstyle R(\cdot )}$ ${\textstyle {\bar {B}}_{r}(z_{0})}$

Ahora bien, como es un punto de acumulación en , existe una secuencia de puntos convergentes a . Desde on y desde cada uno , la expresión en ( 1 ) produce ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle G_{0}}$ ${\textstyle (z^{(i)})_{i}\subseteq G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$ ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle h\equiv 0}$ ${\textstyle G_{0}}$ ${\textstyle z^{(i)}\in G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$

Por la limitación de on , se sigue que , de dónde . Por inducción, la afirmación se mantiene. QED ${\textstyle R(\cdot )}$ ${\textstyle {\bar {B}}_{r}(z_{0})}$ ${\textstyle h^{(n)}(z_{0})=0}$ ${\textstyle z_{0}\in G_{n}}$

Ver también

• Continuación analítica
• Teorema de identidad para superficies de Riemann

Referencias

1. Para funciones reales, consulte Krantz, Steven G.; Parques, Harold R. (2002). Introducción a las funciones analíticas reales (Segunda ed.). Boston: Birkhäuser. Corolario 1.2.7. ISBN 0-8176-4264-1.
2. Guido Walz, ed. (2017). Lexikon der Mathematik (en alemán). vol. 2. Mannheim: Springer Spektrum Verlag. pag. 476.ISBN​ 978-3-662-53503-5.

• Ablowitz, Mark J.; Fokás AS (1997). Variables complejas: Introducción y aplicaciones . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pag. 122.ISBN​ 0-521-48058-2.