Teorema de identidad

Teorema sobre la igualdad de funciones analíticas

En el análisis real y el análisis complejo , ramas de las matemáticas , el teorema de identidad para funciones analíticas establece: dadas las funciones f y g analíticas en un dominio D (subconjunto abierto y conexo de o ), si f = g en algún , donde tiene un punto de acumulación en D , entonces f = g en D . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle S\subseteq D}$ ${\displaystyle S}$

Por lo tanto, una función analítica está completamente determinada por sus valores en un único entorno abierto en D , o incluso un subconjunto numerable de D (siempre que este contenga una secuencia convergente junto con su límite). Esto no es cierto en general para funciones reales diferenciables, ni siquiera para funciones infinitamente reales diferenciables . En comparación, las funciones analíticas son una noción mucho más rígida. De manera informal, a veces se resume el teorema diciendo que las funciones analíticas son "duras" (a diferencia de, por ejemplo, las funciones continuas que son "blandas").

El hecho fundamental a partir del cual se establece el teorema es la capacidad de expansión de una función holomorfa en su serie de Taylor .

El supuesto de conectividad en el dominio D es necesario. Por ejemplo, si D consta de dos conjuntos abiertos disjuntos , puede estar en un conjunto abierto y en otro, mientras que está en uno y en otro. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2}$

Lema

Si dos funciones holomorfas y en un dominio D coinciden en un conjunto S que tiene un punto de acumulación en , entonces en un disco en centrado en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c}$

Para demostrar esto, basta demostrar que para todo , ya que ambas funciones son analíticas. ${\displaystyle f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Si no es el caso, sea el entero no negativo más pequeño con . Por holomorfía, tenemos la siguiente representación en serie de Taylor en algún entorno abierto U de : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f^{(m)}(c)\neq g^{(m)}(c)}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(f-g)(z)&{}=(z-c)^{m}\cdot \left[{\frac {(f-g)^{(m)}(c)}{m!}}+{\frac {(z-c)\cdot (f-g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}}+\cdots \right]\\[6pt]&{}=(z-c)^{m}\cdot h(z).\end{aligned}}}$

Por continuidad, es distinto de cero en algún pequeño disco abierto alrededor de . Pero luego en el conjunto perforado . Esto contradice la suposición de que es un punto de acumulación de . ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f-g\neq 0}$ ${\displaystyle B-\{c\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \{f=g\}}$

Este lema muestra que, para un número complejo , la fibra es un conjunto discreto (y, por lo tanto, contable), a menos que . ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f^{-1}(a)}$ ${\displaystyle f\equiv a}$

Prueba

Define el conjunto en el que y tienen la misma expansión de Taylor : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle S=\left\{z\in D\mid f^{(k)}(z)=g^{(k)}(z){\text{ for all }}k\geq 0\right\}=\bigcap _{k=0}^{\infty }\left\{z\in D\mid \left(f^{(k)}-g^{(k)}\right)(z)=0\right\}.}$$

Demostraremos que no está vacío, es abierto y está cerrado . Entonces, por la conexidad de , debe ser todo de , lo que implica que está en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle S=D}$

Por el lema, en un disco centrado en en , tienen la misma serie de Taylor en , por lo que , no está vacío. ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c\in S}$ ${\displaystyle S}$

Como y son holomorfos en , , las series de Taylor de y en tienen un radio de convergencia distinto de cero . Por lo tanto, el disco abierto también se encuentra en para algún . Por lo tanto, es abierto. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \forall w\in S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle B_{r}(w)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S}$

Por holomorfía de y , tienen derivadas holomorfas, por lo que todas son continuas. Esto significa que es cerrado para todo . es una intersección de conjuntos cerrados, por lo que es cerrado. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f^{(n)},g^{(n)}}$ ${\displaystyle \{z\in D\mid (f^{(k)}-g^{(k)})(z)=0\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S}$

Caracterización completa

Dado que el teorema de identidad se ocupa de la igualdad de dos funciones holomorfas , podemos simplemente considerar la diferencia (que sigue siendo holomorfa) y podemos caracterizar simplemente cuándo una función holomorfa es idéntica . El siguiente resultado se puede encontrar en. ^[2] ${\textstyle 0}$

Afirmar

Sea un subconjunto abierto, no vacío y conexo del plano complejo. Los siguientes son equivalentes. ${\textstyle G\subseteq \mathbb {C} }$ ${\textstyle h:G\to \mathbb {C} }$

1. ${\textstyle h\equiv 0}$en ; ${\textstyle G}$
2. el conjunto contiene un punto de acumulación ,; ${\textstyle G_{0}=\{z\in G\mid h(z)=0\}}$ ${\textstyle z_{0}}$
3. el conjunto no está vacío, donde . ${\textstyle G_{\ast }=\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{0}}G_{n}}$ ${\textstyle G_{n}:=\{z\in G\mid h^{(n)}(z)=0\}}$

Prueba

Las instrucciones (1 2) ${\textstyle \Rightarrow }$ y (1 3) ${\textstyle \Rightarrow }$ se cumplen trivialmente.

Para (3 1) ${\textstyle \Rightarrow }$ , por la conexidad de es suficiente probar que el subconjunto no vacío, , es clopen (ya que un espacio topológico es conexo si y solo si no tiene subconjuntos clopen propios). Como las funciones holomorfas son infinitamente diferenciables, es decir , es claro que es cerrado. Para mostrar la apertura, considere algunos . Considere una bola abierta que contiene , en la que tiene una expansión en serie de Taylor convergente centrada en . En virtud de , todos los coeficientes de esta serie son , de donde en . Se sigue que todas las derivadas -ésimas de están en , de donde . Por lo tanto, cada una se encuentra en el interior de . ${\textstyle G}$ ${\textstyle G_{\ast }\subseteq G}$ ${\textstyle h\in C^{\infty }(G)}$ ${\textstyle G_{\ast }}$ ${\textstyle u\in G_{\ast }}$ ${\textstyle U\subseteq G}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle u\in G_{\ast }}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle h\equiv 0}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle 0}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle U\subseteq G_{\ast }}$ ${\textstyle u\in G_{\ast }}$ ${\textstyle G_{\ast }}$

Hacia (2 3) ${\textstyle \Rightarrow }$ , fijamos un punto de acumulación . Ahora demostramos directamente por inducción que para cada . Para este fin, sea estrictamente menor que el radio de convergencia de la expansión en serie de potencias de alrededor de , dado por . Fijemos ahora algunos y supongamos que para todo . Entonces, para la manipulación de la expansión en serie de potencias, obtenemos ${\textstyle z_{0}\in G_{0}}$ ${\textstyle z_{0}\in G_{n}}$ ${\textstyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\textstyle r\in (0,\infty )}$ ${\textstyle h}$ ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} _{0}}{\frac {h^{(k)}(z_{0})}{k!}}(z-z_{0})^{k}}$ ${\textstyle n\geq 0}$ ${\textstyle z_{0}\in G_{k}}$ ${\textstyle k<n}$ ${\textstyle z\in {\bar {B}}_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$

Nótese que, dado que es menor que el radio de la serie de potencias, se puede derivar fácilmente que la serie de potencias es continua y, por lo tanto, está acotada en . ${\textstyle r}$ ${\textstyle R(\cdot )}$ ${\textstyle {\bar {B}}_{r}(z_{0})}$

Ahora bien, como es un punto de acumulación en , existe una secuencia de puntos convergentes a . Como en y como cada , la expresión en ( 1 ) da ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle G_{0}}$ ${\textstyle (z^{(i)})_{i}\subseteq G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$ ${\textstyle z_{0}}$ ${\textstyle h\equiv 0}$ ${\textstyle G_{0}}$ ${\textstyle z^{(i)}\in G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\}}$

Por la acotación de en , se sigue que , de donde . Por inducción se cumple la afirmación. QED ${\textstyle R(\cdot )}$ ${\textstyle {\bar {B}}_{r}(z_{0})}$ ${\textstyle h^{(n)}(z_{0})=0}$ ${\textstyle z_{0}\in G_{n}}$

Véase también

• Continuación analítica
• Teorema de identidad para superficies de Riemann

Referencias

1. Para funciones reales, véase Krantz, Steven G.; Parks, Harold R. (2002). A Primer of Real Analytic Functions (Segunda edición). Boston: Birkhäuser. Corolario 1.2.7. ISBN 0-8176-4264-1.
2. Guido Walz, ed. (2017). Lexikon der Mathematik (en alemán). vol. 2. Mannheim: Springer Spektrum Verlag. pag. 476.ISBN​ 978-3-662-53503-5.

• Ablowitz, Mark J.; Fokas AS (1997). Variables complejas: Introducción y aplicaciones . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. p. 122. ISBN 0-521-48058-2.