Covariante de Frobenius

En teoría de matrices , las covariantes de Frobenius de una matriz cuadrada A son polinomios especiales de la misma, es decir, matrices de proyección A _i asociadas con los valores propios y vectores propios de A . ^{[1] : págs. 403, 437–8.} Reciben su nombre en honor al matemático Ferdinand Frobenius .

Cada covariante es una proyección sobre el espacio propio asociado con el valor propio λ _i . Las covariantes de Frobenius son los coeficientes de la fórmula de Sylvester , que expresa una función de una matriz f ( A ) como un polinomio matricial, es decir, una combinación lineal de los valores de esa función sobre los valores propios de A .

Definición formal

Sea A una matriz diagonalizable con valores propios λ ₁ , ..., λ _k .

La covariante de Frobenius A _i , para i = 1,..., k , es la matriz

${\displaystyle A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}(A-\lambda _{j}I)~.}$

Es esencialmente el polinomio de Lagrange con argumento matricial. Si el valor propio λ _i es simple, entonces, como matriz de proyección idempotente a un subespacio unidimensional, A _i tiene una traza unitaria .

Calculando las covariantes

Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917), matemático alemán. Sus principales intereses eran las funciones elípticas , las ecuaciones diferenciales y, más tarde, la teoría de grupos .

Las covariantes de Frobenius de una matriz A se pueden obtener a partir de cualquier descomposición propia A = SDS ⁻¹ , donde S no es singular y D es diagonal con D _{i , i} = λ _i . Si A no tiene múltiples valores propios, entonces sea c _i el i ésimo vector propio derecho de A , es decir, la i ésima columna de S ; y sea r _i el i ésimo vector propio izquierdo de A , es decir, la i ésima fila de S ⁻¹ . Entonces A _i = c _i r _i .

Si A tiene un valor propio λ _i que aparece varias veces, entonces A _i = Σ _j c _j r _j , donde la suma es sobre todas las filas y columnas asociadas con el valor propio λ _i . ^{[1] : p.521}

Ejemplo

Considere la matriz de dos por dos:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.}$

Esta matriz tiene dos valores propios, 5 y −2; por lo tanto, ( A − 5)( A + 2) = 0 .

La descomposición propia correspondiente es

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\\4&-3\end{bmatrix}}.}$

Por lo tanto, las covariantes de Frobenius, manifiestamente proyecciones, son

${\displaystyle {\begin{array}{rl}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3/7&3/7\\4/7&4/7\end{bmatrix}}=A_{1}^{2}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}1/7\\-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4/7&-3/7\\-4/7&3/7\end{bmatrix}}=A_{2}^{2}~,\end{array}}}$

con

${\displaystyle A_{1}A_{2}=0,\qquad A_{1}+A_{2}=I~.}$

Nota tr  A ₁ = tr  A ₂ = 1 , según sea necesario.

Referencias

1. Roger A. Horn y Charles R. Johnson (1991), Temas de análisis matricial . Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-46713-1