Distribución por tipo de fase

Una distribución de tipo fase es una distribución de probabilidad construida por una convolución o mezcla de distribuciones exponenciales . ^{[1] Resulta de un sistema de uno o más} procesos de Poisson interrelacionados que ocurren en secuencia o fases. La secuencia en la que ocurre cada una de las fases puede ser en sí misma un proceso estocástico . La distribución puede representarse mediante una variable aleatoria que describe el tiempo hasta la absorción de un proceso de Markov con un estado absorbente. Cada uno de los estados del proceso de Markov representa una de las fases.

Tiene un equivalente de tiempo discreto : la distribución de tipo fase discreta .

El conjunto de distribuciones de tipo fase es denso en el campo de todas las distribuciones de valor positivo, es decir, puede utilizarse para aproximar cualquier distribución de valor positivo.

Definición

Consideremos un proceso de Markov de tiempo continuo con m  + 1 estados, donde m  ≥ 1, de modo que los estados 1,..., m son estados transitorios y el estado 0 es un estado absorbente. Además, supongamos que el proceso tiene una probabilidad inicial de comenzar en cualquiera de las m  + 1 fases dada por el vector de probabilidad ( α ₀ , α ) donde α ₀ es un escalar y α es un vector 1 ×  m .

La distribución de tipo fase continua es la distribución del tiempo desde el inicio del proceso anterior hasta la absorción en el estado absorbente.

Este proceso se puede escribir en forma de una matriz de tasa de transición ,

${\displaystyle {Q}=\left[{\begin{matrix}0&\mathbf {0} \\\mathbf {S} ^{0}&{S}\\\end{matrix}}\right],}$

donde S es una matriz m  ×  m y S ⁰ = –S 1 . Aquí 1 representa un  vector columna m × 1 con cada elemento siendo 1.

Caracterización

La distribución del tiempo X hasta que el proceso alcanza el estado de absorción se dice que está distribuida según el tipo de fase y se denota PH( α , S ).

La función de distribución de X está dada por,

${\displaystyle F(x)=1-{\boldsymbol {\alpha }}\exp({S}x)\mathbf {1} ,}$

y la función de densidad,

${\displaystyle f(x)={\boldsymbol {\alpha }}\exp({S}x)\mathbf {S^{0}} ,}$

para todo x > 0, donde exp( · ) es la matriz exponencial . Generalmente se supone que la probabilidad de que el proceso comience en el estado absorbente es cero (es decir, α ₀ = 0). Los momentos de la función de distribución están dados por

${\displaystyle E[X^{n}]=(-1)^{n}n!{\boldsymbol {\alpha }}{S}^{-n}\mathbf {1} .}$

La transformada de Laplace de la distribución de tipo fase está dada por

${\displaystyle M(s)=\alpha _{0}+{\boldsymbol {\alpha }}(sI-S)^{-1}\mathbf {S^{0}} ,}$

donde I es la matriz identidad.

Casos especiales

Las siguientes distribuciones de probabilidad se consideran casos especiales de una distribución de tipo fase continua:

• Distribución degenerada , masa puntual en cero o distribución tipo fase vacía  – 0 fases.
• Distribución exponencial  – 1 fase.
• Distribución de Erlang  : 2 o más fases idénticas en secuencia.
• Distribución determinista (o constante): caso límite de una distribución de Erlang, ya que el número de fases se vuelve infinito, mientras que el tiempo en cada estado se vuelve cero.
• Distribución Coxiana: 2 o más fases (no necesariamente idénticas) en secuencia, con una probabilidad de transición al estado de terminación/absorción después de cada fase.
• Distribución hiperexponencial (también llamada mezcla de distribución exponencial): 2 o más fases no idénticas, cada una de las cuales tiene una probabilidad de ocurrir de manera mutuamente excluyente o paralela. (Nota: La distribución exponencial es la situación degenerada en la que todas las fases paralelas son idénticas).
• Distribución hipoexponencial  : 2 o más fases en secuencia, pueden ser no idénticas o una mezcla de fases idénticas y no idénticas, generaliza el Erlang.

Como la distribución de tipo fase es densa en el campo de todas las distribuciones de valor positivo, podemos representar cualquier distribución de valor positivo. Sin embargo, el tipo fase es una distribución de cola ligera o platicúrtica. Por lo tanto, la representación de la distribución de cola pesada o leptocúrtica por tipo fase es una aproximación, incluso si la precisión de la aproximación puede ser tan buena como queramos.

Ejemplos

En todos los ejemplos siguientes se supone que no hay masa de probabilidad en cero, es decir α ₀ = 0.

Distribución exponencial

El ejemplo más simple y no trivial de una distribución de tipo fase es la distribución exponencial de parámetro λ. Los parámetros de la distribución de tipo fase son: S = -λ y α = 1.

Distribución hiperexponencial o mezcla de distribución exponencial

La mezcla de distribución exponencial o hiperexponencial con λ ₁ ,λ ₂ ,...,λ _n >0 se puede representar como una distribución de tipo fase con

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4},...,\alpha _{n})}$

con y ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=1}$

${\displaystyle {S}=\left[{\begin{matrix}-\lambda _{1}&0&0&0&0\\0&-\lambda _{2}&0&0&0\\0&0&-\lambda _{3}&0&0\\0&0&0&-\lambda _{4}&0\\0&0&0&0&-\lambda _{5}\\\end{matrix}}\right].}$

Esta mezcla de densidades de variables aleatorias distribuidas exponencialmente se puede caracterizar mediante

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{X_{i}}(x),}$

o su función de distribución acumulativa

${\displaystyle F(x)=1-\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e^{-\lambda _{i}x}=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}F_{X_{i}}(x).}$

con ${\displaystyle X_{i}\sim Exp(\lambda _{i})}$

Distribución de Erlang

La distribución de Erlang tiene dos parámetros, la forma, un entero k > 0, y la tasa, λ > 0. Esto a veces se denota como E ( k ,λ). La distribución de Erlang se puede escribir en forma de una distribución de tipo fase haciendo que S sea una matriz k × k con elementos diagonales -λ y elementos superdiagonales λ, con una probabilidad de comenzar en el estado 1 igual a 1. Por ejemplo, E (5,λ),

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(1,0,0,0,0),}$

y

${\displaystyle {S}=\left[{\begin{matrix}-\lambda &\lambda &0&0&0\\0&-\lambda &\lambda &0&0\\0&0&-\lambda &\lambda &0\\0&0&0&-\lambda &\lambda \\0&0&0&0&-\lambda \\\end{matrix}}\right].}$

Para un número dado de fases, la distribución Erlang es la distribución de tipo fase con el menor coeficiente de variación. ^[2]

La distribución hipoexponencial es una generalización de la distribución de Erlang al tener diferentes tasas para cada transición (el caso no homogéneo).

Mezcla de distribución de Erlang

La mezcla de dos distribuciones de Erlang con parámetro E (3,β ₁ ), E (3,β ₂ ) y (α ₁ ,α ₂ ) (tales que α ₁ + α ₂ = 1 y para cada i , α _i ≥ 0) se puede representar como una distribución de tipo fase con

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(\alpha _{1},0,0,\alpha _{2},0,0),}$

y

${\displaystyle {S}=\left[{\begin{matrix}-\beta _{1}&\beta _{1}&0&0&0&0\\0&-\beta _{1}&\beta _{1}&0&0&0\\0&0&-\beta _{1}&0&0&0\\0&0&0&-\beta _{2}&\beta _{2}&0\\0&0&0&0&-\beta _{2}&\beta _{2}\\0&0&0&0&0&-\beta _{2}\\\end{matrix}}\right].}$

Distribución coxiana

La distribución de Cox es una generalización de la distribución de Erlang . En lugar de poder entrar al estado absorbente solo desde el estado k, se puede llegar a él desde cualquier fase. La representación del tipo de fase viene dada por,

${\displaystyle S=\left[{\begin{matrix}-\lambda _{1}&p_{1}\lambda _{1}&0&\dots &0&0\\0&-\lambda _{2}&p_{2}\lambda _{2}&\ddots &0&0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ddots &-\lambda _{k-2}&p_{k-2}\lambda _{k-2}&0\\0&0&\dots &0&-\lambda _{k-1}&p_{k-1}\lambda _{k-1}\\0&0&\dots &0&0&-\lambda _{k}\end{matrix}}\right]}$

y

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=(1,0,\dots ,0),}$

donde 0 < p ₁ ,..., p _{k -1} ≤ 1. En el caso en que todos los p _i = 1 tenemos la distribución de Erlang. La distribución de Cox es extremadamente importante ya que cualquier distribución de tipo fase acíclica tiene una representación de Cox equivalente.

La distribución Coxiana generalizada relaja la condición que requiere comenzar en la primera fase.

Propiedades

Mínimos de variables aleatorias independientes de PH

De manera similar a la distribución exponencial , la clase de distribuciones PH está cerrada bajo mínimos de variables aleatorias independientes. Aquí se ofrece una descripción de esto.

Generación de muestras a partir de variables aleatorias distribuidas de tipo fase

BuTools incluye métodos para generar muestras a partir de variables aleatorias distribuidas de tipo fase. ^[3]

Aproximación de otras distribuciones

Cualquier distribución puede ser arbitrariamente bien aproximada por una distribución de tipo fase. ^{[4] [5]} Sin embargo, en la práctica, las aproximaciones pueden ser deficientes cuando el tamaño del proceso de aproximación es fijo. Al aproximar una distribución determinista de tiempo 1 con 10 fases, cada una de duración promedio 0,1 tendrá una varianza de 0,1 (porque la distribución Erlang tiene la varianza más pequeña ^[2] ).

• BuTools es un script de MATLAB y Mathematica para ajustar distribuciones de tipo fase a tres momentos específicos
• momento de coincidencia de un script de MATLAB para ajustar una distribución de tipo fase mínima a 3 momentos específicos ^[6]
• KPC-toolbox es una biblioteca de scripts de MATLAB para ajustar conjuntos de datos empíricos a procesos de llegada markovianos y distribuciones de tipo fase. ^[7]

Ajuste de una distribución de tipo fase a los datos

Los métodos para ajustar una distribución de tipo fase a los datos se pueden clasificar como métodos de máxima verosimilitud o métodos de coincidencia de momentos. ^[8] Se ha demostrado que ajustar una distribución de tipo fase a distribuciones de cola pesada es práctico en algunas situaciones. ^[9]

• PhFit es un script en C para ajustar distribuciones de tipo fase discretas y continuas a los datos ^[10]
• EMpht es un script en C para ajustar distribuciones de tipo fase a datos o distribuciones paramétricas utilizando un algoritmo de expectativa-maximización . ^[11]
• HyperStar se desarrolló en torno a la idea central de hacer que el ajuste de tipo de fase sea simple y fácil de usar, con el fin de promover el uso de distribuciones de tipo de fase en una amplia gama de áreas. Proporciona una interfaz gráfica de usuario y produce buenos resultados de ajuste con poca interacción del usuario. ^[12]
• jPhase es una biblioteca Java que también puede calcular métricas para colas utilizando la distribución de tipo de fase ajustada ^[13]

Véase también

• Distribución de tipo fase discreta
• Proceso de Markov en tiempo continuo
• Distribución exponencial
• Distribución hiperexponencial
• Teoría de colas

Referencias

1. Harchol-Balter, M. (2012). "Cargas de trabajo del mundo real: alta variabilidad y colas pesadas". Modelado y diseño de rendimiento de sistemas informáticos . pp. 347–348. doi :10.1017/CBO9781139226424.026. ISBN 9781139226424.
2. Aldous, David ; Shepp, Larry (1987). "La distribución de tipo de fase menos variable es erlang" (PDF) . Modelos estocásticos . 3 (3): 467. doi :10.1080/15326348708807067.
3. Horváth, GB; Reinecke, P.; Telek, MS; Wolter, K. (2012). "Generación eficiente de variables aleatorias distribuidas por PH" (PDF) . Técnicas y aplicaciones de modelado analítico y estocástico . Apuntes de clase en informática. Vol. 7314. pág. 271. doi :10.1007/978-3-642-30782-9_19. ISBN 978-3-642-30781-2.
4. Bolch, Gunter; Greiner, Stefan; de Meer, Hermann; Trivedi, Kishor S. (1998). "Soluciones de estado estable de cadenas de Markov". Redes de colas y cadenas de Markov . págs. 103–151. doi :10.1002/0471200581.ch3. ISBN 0471193666.
5. Cox, DR (2008). "Uso de probabilidades complejas en la teoría de procesos estocásticos". Actas matemáticas de la Cambridge Philosophical Society . 51 (2): 313–319. doi :10.1017/S0305004100030231. S2CID  122768319.
6. Osogami, T.; Harchol-Balter, M. (2006). "Soluciones de forma cerrada para mapear distribuciones generales a distribuciones PH cuasi-mínimas". Evaluación del desempeño . 63 (6): 524. doi :10.1016/j.peva.2005.06.002.
7. Casale, G.; Zhang, EZ; Smirni, E. (2008). "KPC-Toolbox: Ajuste de trazas simple pero efectivo utilizando procesos de llegada markovianos". Quinta Conferencia Internacional de 2008 sobre Evaluación Cuantitativa de Sistemas (PDF) . pág. 83. doi :10.1109/QEST.2008.33. ISBN. 978-0-7695-3360-5.S2CID252444  .​
8. Lang, Andreas; Arthur, Jeffrey L. (1996). "Aproximación de parámetros para distribuciones de tipo fase". En Chakravarthy, S.; Alfa, Attahiru S. (eds.). Métodos de análisis de matrices en modelos estocásticos . CRC Press. ISBN 0824797663.
9. Ramaswami, V.; Poole, D.; Ahn, S.; Byers, S.; Kaplan, A. (2005). "Cómo garantizar el acceso a los servicios de emergencia en presencia de llamadas telefónicas prolongadas a Internet". Interfaces . 35 (5): 411. doi :10.1287/inte.1050.0155.
10. Horváth, András S.; Telek, Miklós S. (2002). "PhFit: una herramienta general de ajuste de tipo de fase". Evaluación del rendimiento informático: técnicas y herramientas de modelado. Apuntes de clase en informática. Vol. 2324. pág. 82. doi :10.1007/3-540-46029-2_5. ISBN 978-3-540-43539-6.
11. Asmussen, Søren; Nerman, Olle; Olsson, Marita (1996). "Ajuste de distribuciones de tipo fase mediante el algoritmo EM". Revista escandinava de estadística . 23 (4): 419–441. JSTOR  4616418.
12. Reinecke, P.; Krauß, T.; Wolter, K. (2012). "Ajuste basado en clústeres de distribuciones de tipo fase a datos empíricos". Computers & Mathematics with Applications . 64 (12): 3840. doi : 10.1016/j.camwa.2012.03.016 .
13. Pérez, JF; Riaño, GN (2006). "jPhase: una herramienta orientada a objetos para modelar distribuciones de tipo fase". Procedente del taller de 2006 sobre Herramientas para resolver cadenas de Markov estructuradas (SMCtools '06) (PDF) . doi :10.1145/1190366.1190370. ISBN 1595935061.S2CID 7863948  .

• MF Neuts (1975), Distribuciones de probabilidad del tipo de fase, En Liber Amicorum Prof. Emeritus H. Florin, Páginas 173-206, Universidad de Lovaina.
• MF Neuts. Soluciones matriciales geométricas en modelos estocásticos: un enfoque algorítmico, Capítulo 2: Distribuciones de probabilidad de tipo fase; Dover Publications Inc., 1981.
• G. Latouche, V. Ramaswami. Introducción a los métodos analíticos matriciales en el modelado estocástico, 1.ª edición. Capítulo 2: Distribuciones de PH; ASA SIAM, 1999.
• CA O'Cinneide (1990). Caracterización de distribuciones de tipo fase . Comunicaciones en Estadística: Modelos Estocásticos, 6 (1), 1-57.
• CA O'Cinneide (1999). Distribución tipo fase: problemas abiertos y algunas propiedades , Comunicación en Estadística: Modelos Estocásticos, 15 (4), 731-757.