Distribución hiperexponencial

Diagrama que muestra el sistema de colas equivalente a una distribución hiperexponencial

En teoría de probabilidad , una distribución hiperexponencial es una distribución de probabilidad continua cuya función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X está dada por

${\displaystyle f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}f_{Y_{i}}(x)\;p_{i},}$

donde cada Y _i es una variable aleatoria distribuida exponencialmente con parámetro de tasa λ _i , y p _i es la probabilidad de que X adopte la forma de la distribución exponencial con tasa λ _i . ^[1] Se denomina distribución hiperexponencial ya que su coeficiente de variación es mayor que el de la distribución exponencial, cuyo coeficiente de variación es 1, y la distribución hipoexponencial , que tiene un coeficiente de variación menor que uno. Mientras que la distribución exponencial es el análogo continuo de la distribución geométrica , la distribución hiperexponencial no es análoga a la distribución hipergeométrica . La distribución hiperexponencial es un ejemplo de una densidad de mezcla .

Un ejemplo de una variable aleatoria hiperexponencial se puede ver en el contexto de la telefonía , donde, si alguien tiene un módem y un teléfono, el uso de su línea telefónica podría modelarse como una distribución hiperexponencial donde existe una probabilidad p de que hable por teléfono con una tasa λ ₁ y una probabilidad q de que use su conexión a Internet con una tasa  λ ₂ .

Propiedades

Dado que el valor esperado de una suma es la suma de los valores esperados, el valor esperado de una variable aleatoria hiperexponencial se puede mostrar como

${\displaystyle E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}}$

y

${\displaystyle E\!\left[X^{2}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }x^{2}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i},}$

de donde podemos derivar la varianza: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=E\!\left[X^{2}\right]-E\!\left[X\right]^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {2}{\lambda _{i}^{2}}}p_{i}-\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}=\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}\right]^{2}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i}p_{j}\left({\frac {1}{\lambda _{i}}}-{\frac {1}{\lambda _{j}}}\right)^{2}.}$

La desviación estándar excede la media en general (excepto en el caso degenerado de que todos los λ sean iguales), por lo que el coeficiente de variación es mayor que 1.

La función generadora de momentos está dada por

${\displaystyle E\!\left[e^{tx}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\int _{0}^{\infty }e^{tx}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}x}\,dx=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{\lambda _{i}-t}}p_{i}.}$

Adecuado

Una distribución de probabilidad dada , incluida una distribución de cola pesada , se puede aproximar mediante una distribución hiperexponencial ajustándola recursivamente a diferentes escalas de tiempo utilizando el método de Prony . ^[3]

Véase también

• Distribución por tipo de fase
• Distribución hiper-Erlang
• Distribución Lomax (mezcla continua de exponenciales)

Referencias

1. Singh, LN; Dattatreya, GR (2007). "Estimación de la densidad hiperexponencial con aplicaciones en redes de sensores". Revista internacional de redes de sensores distribuidos . 3 (3): 311. CiteSeerX  10.1.1.78.4137 . doi :10.1080/15501320701259925.
2. HT Papadopolous; C. Heavey; J. Browne (1993). Teoría de colas en el análisis y diseño de sistemas de fabricación. Springer. pág. 35. ISBN 9780412387203.
3. Feldmann, A. ; Whitt, W. (1998). "Ajuste de mezclas de exponenciales a distribuciones de cola larga para analizar modelos de rendimiento de red" (PDF) . Evaluación del rendimiento . 31 (3–4): 245. doi :10.1016/S0166-5316(97)00003-5.