Distribución de probabilidad de cola pesada
La distribución Lomax , también llamada distribución de Pareto Tipo II , es una distribución de probabilidad de cola pesada utilizada en negocios, economía, ciencia actuarial, teoría de colas y modelado de tráfico de Internet. [1] [2] [3] Lleva el nombre de K. S. Lomax. Es esencialmente una distribución de Pareto que se ha desplazado de modo que su soporte comienza en cero. [4]
Caracterización
Función de densidad de probabilidad
La función de densidad de probabilidad (pdf) para la distribución Lomax viene dada por
![{\displaystyle p(x)={\alpha \over \lambda }\left[{1+{x \over \lambda }}\right]^{-(\alpha +1)},\qquad x\geq 0 ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con parámetro de forma y parámetro de escala . La densidad se puede reescribir de tal manera que muestre más claramente la relación con la distribución de Pareto Tipo I. Eso es:![{\displaystyle \alpha >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
Momentos no centrales
El momento no central existe sólo si el parámetro de forma excede estrictamente , cuando el momento tiene el valor![{\displaystyle\nu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E\left[X^{\nu }\right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \alpha }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle\nu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle E\left(X^{\nu }\right)={\frac {\lambda ^{\nu }\Gamma (\alpha -\nu )\Gamma (1+\nu )}{\Gamma ( \alfa )}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Distribuciones relacionadas
Relación con la distribución de Pareto
La distribución Lomax es una distribución de Pareto Tipo I desplazada de modo que su soporte comienza en cero. Específicamente:
![{\displaystyle {\text{Si }}Y\sim {\mbox{Pareto}}(x_{m}=\lambda ,\alpha ),{\text{ entonces }}Y-x_{m}\sim {\ mbox{Lomax}}(\alpha,\lambda).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La distribución Lomax es una distribución de Pareto Tipo II con x m = λ y μ = 0: [5]
![{\displaystyle {\text{Si }}X\sim {\mbox{Lomax}}(\alpha ,\lambda ){\text{ entonces }}X\sim {\text{P(II)}}\left( x_{m}=\lambda,\alpha,\mu =0\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relación con la distribución de Pareto generalizada
La distribución de Lomax es un caso especial de la distribución de Pareto generalizada . Específicamente:
![{\displaystyle \mu =0,~\xi ={1 \over \alpha },~\sigma ={\lambda \over \alpha }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relación con la distribución beta prime
La distribución Lomax con parámetro de escala λ = 1 es un caso especial de la distribución beta prima . Si X tiene una distribución Lomax, entonces .![{\displaystyle {\frac {X}{\lambda }}\sim \beta ^{\prime }(1,\alpha )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relación con la distribución F
La distribución Lomax con parámetro de forma α = 1 y parámetro de escala λ = 1 tiene densidad , la misma distribución que una distribución F (2,2) . Esta es la distribución de la proporción de dos variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con distribuciones exponenciales . ![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relación con la distribución exponencial q
La distribución Lomax es un caso especial de la distribución q-exponencial . El exponencial q extiende esta distribución al soporte en un intervalo acotado. Los parámetros de Lomax vienen dados por:
![{\displaystyle \alpha ={{2-q} \over {q-1}},~\lambda ={1 \over \lambda _{q}(q-1)}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relación con la distribución logística (log-)
El logaritmo de una variable distribuida Lomax(forma = 1,0, escala = λ) sigue una distribución logística con ubicación log(λ) y escala 1,0. Esto implica que una distribución Lomax(forma = 1,0, escala = λ) es igual a una distribución log-logística con forma β = 1,0 y escala α = log(λ).
Conexión de mezcla gamma-exponencial (escala)
La distribución Lomax surge como una mezcla de distribuciones exponenciales donde la distribución mixta de la tasa es una distribución gamma . Si λ|k,θ ~ Gamma(forma = k, escala = θ) y X |λ ~ Exponencial(tasa = λ), entonces la distribución marginal de X |k,θ es Lomax(forma = k, escala = 1/θ ). Dado que el parámetro de tasa se puede reparar de manera equivalente a un parámetro de escala , la distribución Lomax constituye una mezcla de escala de exponenciales (con el parámetro de escala exponencial siguiendo una distribución gamma inversa ).
Ver también
Referencias
- ^ Lomax, KS (1954) "Fracasos empresariales; otro ejemplo del análisis de datos de fallos". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística , 49, 847–852. JSTOR 2281544
- ^ Johnson, Países Bajos; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). "20 distribuciones de Pareto ". Distribuciones univariadas continuas . vol. 1 (2ª ed.). Nueva York: Wiley. pag. 573.
- ^ J. Chen, J., Addie, RG, Zukerman. M., Neame, TD (2015) "Evaluación del rendimiento de una cola alimentada por un proceso de ráfaga de Poisson Lomax", IEEE Communications Letters , 19, 3, 367-370.
- ^ Van Hauwermeiren M y Vose D (2009). Un compendio de distribuciones [libro electrónico]. Vose Software, Gante, Bélgica. Disponible en www.vosesoftware.com.
- ^ Kleiber, cristiano; Kotz, Samuel (2003), Distribuciones de tamaño estadístico en economía y ciencias actuariales, Serie Wiley en probabilidad y estadística, vol. 470, John Wiley e hijos, pág. 60, ISBN 9780471457169.