En matemáticas , un campo F es algebraicamente cerrado si cada polinomio no constante en F [ x ] (el anillo polinómico univariante con coeficientes en F ) tiene una raíz en F.
Por ejemplo, el cuerpo de los números reales no es algebraicamente cerrado, porque la ecuación polinómica no tiene solución en números reales, aunque todos sus coeficientes (1 y 0) sean reales. El mismo argumento prueba que ningún subcampo del campo real es algebraicamente cerrado; en particular, el campo de los números racionales no está algebraicamente cerrado. Por el contrario, el teorema fundamental del álgebra establece que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado. Otro ejemplo de campo algebraicamente cerrado es el campo de números algebraicos (complejos) .
Ningún cuerpo finito F es algebraicamente cerrado, porque si a 1 , a 2 , ..., an n son los elementos de F , entonces el polinomio ( x − a 1 )( x − a 2 ) ⋯ ( x − a n ) + 1 no tiene cero en F . Sin embargo, la unión de todos los cuerpos finitos de una característica fija p es un campo algebraicamente cerrado, que es, de hecho, el cierre algebraico del campo con p elementos.
Dado un campo F , la afirmación " F es algebraicamente cerrada" es equivalente a otras afirmaciones:
El cuerpo F es algebraicamente cerrado si y sólo si los únicos polinomios irreducibles en el anillo polinomial F [ x ] son los de grado uno.
La afirmación "los polinomios de grado uno son irreducibles" es trivialmente cierta para cualquier campo. Si F es algebraicamente cerrado y p ( x ) es un polinomio irreducible de F [ x ], entonces tiene alguna raíz a y por lo tanto p ( x ) es un múltiplo de x − a . Dado que p ( x ) es irreducible, esto significa que p ( x ) = k ( x − a ) , para algunos k ∈ F \ {0} . Por otro lado, si F no es algebraicamente cerrado, entonces hay algún polinomio no constante p ( x ) en F [ x ] sin raíces en F . Sea q ( x ) algún factor irreducible de p ( x ). Dado que p ( x ) no tiene raíces en F , q ( x ) tampoco tiene raíces en F. Por lo tanto, q ( x ) tiene grado mayor que uno, ya que cada polinomio de primer grado tiene una raíz en F .
El cuerpo F es algebraicamente cerrado si y sólo si todo polinomio p ( x ) de grado n ≥ 1, con coeficientes en F , se divide en factores lineales . En otras palabras, existen elementos k , x 1 , x 2 , ..., x n del campo F tales que p ( x ) = k ( x − x 1 )( x − x 2 ) ⋯ ( x − x norte ).
Si F tiene esta propiedad, entonces claramente todo polinomio no constante en F [ x ] tiene alguna raíz en F ; en otras palabras, F es algebraicamente cerrado. Por otro lado, que la propiedad aquí establecida se cumple para F si F es algebraicamente cerrado se deduce de la propiedad anterior junto con el hecho de que, para cualquier cuerpo K , cualquier polinomio en K [ x ] puede escribirse como un producto de polinomios irreducibles .
Si todo polinomio sobre F de grado primo tiene una raíz en F , entonces todo polinomio no constante tiene una raíz en F. [1] Se deduce que un cuerpo es algebraicamente cerrado si y sólo si todo polinomio sobre F de grado primo tiene una raíz en F.
El campo F es algebraicamente cerrado si y sólo si no tiene una extensión algebraica adecuada .
Si F no tiene una extensión algebraica adecuada, sea p ( x ) algún polinomio irreducible en F [ x ]. Entonces el cociente de F [ x ] módulo el ideal generado por p ( x ) es una extensión algebraica de F cuyo grado es igual al grado de p ( x ). Como no es una extensión propia, su grado es 1 y por tanto el grado de p ( x ) es 1.
Por otro lado, si F tiene alguna extensión algebraica propia K , entonces el polinomio mínimo de un elemento en K \ F es irreducible y su grado es mayor que 1.
El campo F es algebraicamente cerrado si y sólo si no tiene una extensión finita adecuada porque si, en la prueba anterior, el término "extensión algebraica" se reemplaza por el término "extensión finita", entonces la prueba sigue siendo válida. (Las extensiones finitas son necesariamente algebraicas).
El campo F es algebraicamente cerrado si y sólo si, para cada número natural n , cada aplicación lineal de F n a sí mismo tiene algún vector propio .
Un endomorfismo de F n tiene un vector propio si y sólo si su polinomio característico tiene alguna raíz. Por lo tanto, cuando F es algebraicamente cerrado, todo endomorfismo de F n tiene algún vector propio. Por otro lado, si todo endomorfismo de F n tiene un vector propio, sea p ( x ) un elemento de F [ x ]. Dividiendo por su coeficiente principal, obtenemos otro polinomio q ( x ) que tiene raíces si y sólo si p ( x ) tiene raíces. Pero si q ( x ) = x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 , entonces q ( x ) es el polinomio característico de la matriz compañera n×n
El campo F es algebraicamente cerrado si y sólo si toda función racional en una variable x , con coeficientes en F , puede escribirse como la suma de una función polinómica con funciones racionales de la forma a /( x − b ) n , donde n es un número natural y a y b son elementos de F .
Si F es algebraicamente cerrado, entonces, dado que los polinomios irreducibles en F [ x ] son todos de grado 1, la propiedad establecida anteriormente se cumple según el teorema de descomposición en fracciones parciales .
Por otro lado, supongamos que la propiedad indicada anteriormente se cumple para el campo F . Sea p ( x ) un elemento irreducible en F [ x ]. Entonces la función racional 1/ p se puede escribir como la suma de una función polinómica q con funciones racionales de la forma a /( x – b ) n . Por tanto, la expresión racional
se puede escribir como un cociente de dos polinomios en los que el denominador es un producto de polinomios de primer grado. Como p ( x ) es irreducible, debe dividir este producto y, por tanto, también debe ser un polinomio de primer grado.
Para cualquier campo F , si dos polinomios p ( x ), q ( x ) ∈ F [ x ] son primos relativos entonces no tienen una raíz común, porque si a ∈ F fuera una raíz común, entonces p ( x ) y Ambos q ( x ) serían múltiplos de x − a y, por lo tanto, no serían primos relativos. Los campos para los cuales se cumple la implicación inversa (es decir, los campos tales que siempre que dos polinomios no tienen raíz común son primos relativos) son precisamente los campos algebraicamente cerrados.
Si el cuerpo F es algebraicamente cerrado, sean p ( x ) y q ( x ) dos polinomios que no son primos relativos y sea r ( x ) su máximo común divisor . Entonces, dado que r ( x ) no es constante, tendrá alguna raíz a , que será entonces una raíz común de p ( x ) y q ( x ).
Si F no es algebraicamente cerrado, sea p ( x ) un polinomio cuyo grado es al menos 1 sin raíces. Entonces p ( x ) y p ( x ) no son primos relativos, pero no tienen raíces comunes (ya que ninguno de ellos tiene raíces).
Si F es un cuerpo algebraicamente cerrado y n es un número natural, entonces F contiene todas las n- ésimas raíces de la unidad, porque éstas son (por definición) los n ceros (no necesariamente distintos) del polinomio x n − 1. Una extensión de campo que está contenido en una extensión generada por las raíces de la unidad es una extensión ciclotómica , y la extensión de un campo generado por todas las raíces de la unidad a veces se llama cierre ciclotómico . Por tanto, los campos algebraicamente cerrados son ciclotómicamente cerrados. Lo contrario no es cierto. Incluso suponer que todo polinomio de la forma x n − a se divide en factores lineales no es suficiente para asegurar que el cuerpo sea algebraicamente cerrado.
Si una proposición que puede expresarse en el lenguaje de la lógica de primer orden es verdadera para un cuerpo algebraicamente cerrado, entonces es verdadera para todo cuerpo algebraicamente cerrado con la misma característica . Además, si tal proposición es válida para un cuerpo algebraicamente cerrado con característica 0, entonces no sólo es válida para todos los demás cuerpos algebraicamente cerrados con característica 0, sino que existe algún número natural N tal que la proposición es válida para todo cuerpo algebraicamente cerrado. campo con característica p cuando p > N . [2]
Todo campo F tiene alguna extensión que es algebraicamente cerrada. Tal extensión se llama extensión algebraicamente cerrada . Entre todas esas extensiones hay una y sólo una ( hasta el isomorfismo , pero no el isomorfismo único ) que es una extensión algebraica de F ; [3] se llama cierre algebraico de F .
La teoría de campos algebraicamente cerrados tiene eliminación de cuantificadores .
