Mapa exponencial (teoría de Lie)

Mapa de un álgebra de Lie a su grupo de Lie

En la teoría de los grupos de Lie , la función exponencial es una función del álgebra de Lie de un grupo de Lie en el grupo, lo que permite recuperar la estructura del grupo local a partir del álgebra de Lie. La existencia de la función exponencial es una de las principales razones por las que las álgebras de Lie son una herramienta útil para estudiar los grupos de Lie. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

La función exponencial ordinaria del análisis matemático es un caso especial de la función exponencial cuando es el grupo multiplicativo de los números reales positivos (cuya álgebra de Lie es el grupo aditivo de todos los números reales). La función exponencial de un grupo de Lie satisface muchas propiedades análogas a las de la función exponencial ordinaria, sin embargo, también difiere en muchos aspectos importantes. ${\displaystyle G}$

Definiciones

Sea un grupo de Lie y sea su álgebra de Lie (considerada como el espacio tangente al elemento identidad de ). La función exponencial es una función ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$

que puede definirse de varias maneras diferentes. La definición moderna típica es la siguiente:

Definición : La exponencial de está dada por donde ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \exp(X)=\gamma (1)}$

${\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to G}$

es el único subgrupo de un parámetro cuyo vector tangente en la identidad es igual a . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

De la regla de la cadena se deduce fácilmente que . El mapa puede construirse como la curva integral del campo vectorial invariante por la derecha o por la izquierda asociado con . Que la curva integral existe para todos los parámetros reales se deduce al trasladar la solución hacia la derecha o hacia la izquierda cerca de cero. ${\displaystyle \exp(tX)=\gamma (t)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X}$

Tenemos una definición más concreta en el caso de un grupo de Lie matricial . La función exponencial coincide con la exponencial matricial y viene dada por el desarrollo en serie ordinaria:

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}=I+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}+\cdots }$,

donde es la matriz identidad . Por lo tanto, en el contexto de los grupos de Lie de matrices, la función exponencial es la restricción de la matriz exponencial al álgebra de Lie de . ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Comparación con el mapa exponencial de Riemann

Si G es compacto, tiene una métrica de Riemann invariante bajo traslaciones izquierda y derecha, entonces el mapa exponencial de la teoría de Lie para G coincide con el mapa exponencial de esta métrica de Riemann .

Para un G general , no existirá una métrica de Riemann invariante tanto bajo traslaciones izquierdas como derechas. Aunque siempre existe una métrica de Riemann invariante bajo, digamos, traslaciones izquierdas, la función exponencial en el sentido de la geometría de Riemann para una métrica invariante a la izquierda no concordará en general con la función exponencial en el sentido del grupo de Lie. Es decir, si G es un grupo de Lie equipado con una métrica invariante a la izquierda pero no a la derecha, las geodésicas a través de la identidad no serán subgrupos de un parámetro de G ^{[ cita requerida ]} .

Otras definiciones

Otras definiciones equivalentes de la exponencial del grupo de Lie son las siguientes:

• Es la función exponencial de una conexión afín invariante por la izquierda canónica en G , tal que el transporte paralelo se da por la traslación por la izquierda. Es decir, donde es la geodésica única con el punto inicial en el elemento identidad y la velocidad inicial X (considerada como un vector tangente). ${\displaystyle \exp(X)=\gamma (1)}$ ${\displaystyle \gamma }$
• Es el mapa exponencial de una conexión afín invariante por la derecha canónica en G. Esto suele ser diferente de la conexión invariante por la izquierda canónica, pero ambas conexiones tienen las mismas geodésicas (órbitas de subgrupos de 1 parámetro que actúan por multiplicación por la izquierda o por la derecha), por lo que dan el mismo mapa exponencial.
• La correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie también da la definición: para X en , es el único homomorfismo del grupo de Lie correspondiente al homomorfismo del álgebra de Lie (nota: .) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t\mapsto \exp(tX)}$ ${\displaystyle t\mapsto tX.}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (\mathbb {R} )=\mathbb {R} }$

Ejemplos

• El círculo unitario centrado en 0 en el plano complejo es un grupo de Lie (llamado grupo del círculo ) cuyo espacio tangente en 1 se puede identificar con la línea imaginaria en el plano complejo. El mapa exponencial para este grupo de Lie está dado por ${\displaystyle \{it:t\in \mathbb {R} \}.}$

${\displaystyle it\mapsto \exp(it)=e^{it}=\cos(t)+i\sin(t),\,}$

es decir, la misma fórmula que la exponencial compleja ordinaria .

• De manera más general, para el toro complejo ^{[1] pág. 8} para alguna red integral de rango (tan isomorfa a ), el toro viene equipado con un mapa de cobertura universal ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{n}/\Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n}\to X}$

del cociente por la red. Como es localmente isomorfo a las variedades complejas , podemos identificarlo con el espacio tangente y la función ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{0}X}$

${\displaystyle \pi :T_{0}X\to X}$

corresponde al mapa exponencial del grupo de Lie complejo . ${\displaystyle X}$

• En los cuaterniones , el conjunto de cuaterniones de longitud unitaria forman un grupo de Lie (isomorfo al grupo unitario especial SU (2) ) cuyo espacio tangente en 1 puede identificarse con el espacio de cuaterniones puramente imaginarios. La función exponencial para este grupo de Lie está dada por ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \{it+ju+kv:t,u,v\in \mathbb {R} \}.}$

${\displaystyle \mathbf {w} :=(it+ju+kv)\mapsto \exp(it+ju+kv)=\cos(|\mathbf {w} |)1+\sin(|\mathbf {w} |){\frac {\mathbf {w} }{|\mathbf {w} |}}.\,}$

Este mapa lleva la 2-esfera de radio R dentro de los cuaterniones puramente imaginarios a , una 2-esfera de radio (cf. exponencial de un vector de Pauli ). Compárese con el primer ejemplo anterior. ${\displaystyle \{s\in S^{3}\subset \mathbf {H} :\operatorname {Re} (s)=\cos(R)\}}$ ${\displaystyle \sin(R)}$

• Sea V un espacio vectorial real de dimensión finita y considérelo como un grupo de Lie bajo la operación de adición vectorial. Luego, a través de la identificación de V con su espacio tangente en 0 y la función exponencial ${\displaystyle \operatorname {Lie} (V)=V}$

${\displaystyle \operatorname {exp} :\operatorname {Lie} (V)=V\to V}$

es el mapa de identidad, es decir, . ${\displaystyle \exp(v)=v}$

• En el plano de números complejos divididos , la línea imaginaria forma el álgebra de Lie del grupo de hipérbolas unitarias , ya que la función exponencial está dada por ${\displaystyle z=x+y\jmath ,\quad \jmath ^{2}=+1,}$ ${\displaystyle \lbrace \jmath t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$ ${\displaystyle \lbrace \cosh t+\jmath \ \sinh t:t\in \mathbb {R} \rbrace }$

${\displaystyle \jmath t\mapsto \exp(\jmath t)=\cosh t+\jmath \ \sinh t.}$

Propiedades

Propiedades elementales de la exponencial

Para todo , la función es el único subgrupo de un parámetro de cuyo vector tangente en la identidad es . De ello se deduce que: ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \gamma (t)=\exp(tX)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle \exp((t+s)X)=\exp(tX)\exp(sX)\,}$
• ${\displaystyle \exp(-X)=\exp(X)^{-1}.\,}$

De manera más general:

• ${\displaystyle \exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y),\quad {\text{if }}[X,Y]=0}$. ^[2]

La identidad anterior no se cumple en general; el supuesto de que y conmutan es importante. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

La imagen del mapa exponencial siempre se encuentra en el componente identidad de . ${\displaystyle G}$

La exponencial cerca de la identidad

La función exponencial es una función suave . Su diferencial en cero, , es la función identidad (con las identificaciones habituales). ${\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G}$ ${\displaystyle \exp _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

Del teorema de la función inversa se deduce que la función exponencial, por tanto, se restringe a un difeomorfismo desde algún entorno de 0 en a un entorno de 1 en . ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

No es entonces difícil demostrar que si G está conexo, cada elemento g de G es un producto de exponenciales de elementos de : ^[4] . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle g=\exp(X_{1})\exp(X_{2})\cdots \exp(X_{n}),\quad X_{j}\in {\mathfrak {g}}}$

En términos generales, la función exponencial no es necesariamente sobreyectiva. Además, la función exponencial puede no ser un difeomorfismo local en todos los puntos. Por ejemplo, la función exponencial de (3) a SO(3) no es un difeomorfismo local; véase también el lugar geométrico de corte sobre este error. Véase la derivada de la función exponencial para obtener más información. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$

Sobreyectividad de la exponencial

En estos casos especiales importantes, se sabe que el mapa exponencial siempre es sobreyectivo:

• G es conexo y compacto, ^[5]
• G está conectado y es nilpotente (por ejemplo, G conectado y abeliano), o
• ${\displaystyle G=GL_{n}(\mathbb {C} )}$. ^[6]

Para los grupos que no satisfacen ninguna de las condiciones anteriores, el mapa exponencial puede ser sobreyectivo o no.

La imagen de la función exponencial del grupo conexo pero no compacto SL ₂ ( R ) no es el grupo completo. Su imagen consiste en matrices C -diagonalizables con valores propios positivos o con módulo 1, y en matrices no diagonalizables con un valor propio repetido 1, y la matriz . (Por lo tanto, la imagen excluye las matrices con valores propios reales negativos, distintos de .) ^[7] ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle -I}$

Mapa exponencial y homomorfismos

Sea un homomorfismo de grupo de Lie y sea su derivada en la identidad. Entonces el siguiente diagrama conmuta : ^[8] ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$

En particular, cuando se aplica a la acción adjunta de un grupo de Lie , ya que , tenemos la identidad útil: ^[9] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{*}=\operatorname {ad} }$

${\displaystyle \mathrm {Ad} _{\exp X}(Y)=\exp(\mathrm {ad} _{X})(Y)=Y+[X,Y]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots }$.

Coordenadas logarítmicas

Dado un grupo de Lie con álgebra de Lie , cada elección de una base de determina un sistema de coordenadas cerca del elemento identidad e para G , como sigue. Por el teorema de la función inversa , la función exponencial es un difeomorfismo desde algún entorno del origen hasta un entorno de . Su inversa: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {exp} :N{\overset {\sim }{\to }}U}$ ${\displaystyle N\subset {\mathfrak {g}}\simeq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e\in G}$

${\displaystyle \log :U{\overset {\sim }{\to }}N\subset \mathbb {R} ^{n}}$

es entonces un sistema de coordenadas en U . Se le denomina con diversos nombres, como coordenadas logarítmicas, coordenadas exponenciales o coordenadas normales. Consulte el teorema del subgrupo cerrado para ver un ejemplo de cómo se utilizan en las aplicaciones.

Observación : La cubierta abierta da una estructura de una variedad analítica real a G tal que la operación de grupo es analítica real. ^[10] ${\displaystyle \{Ug|g\in G\}}$ ${\displaystyle (g,h)\mapsto gh^{-1}}$

Véase también

• Lista de temas exponenciales
• Derivada del mapa exponencial
• Matriz exponencial

Citas

1. Birkenhake, Christina (2004). Variedades abelianas complejas. Herbert Lange (segunda edición aumentada). Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1.OCLC 851380558  .
2. Esto se desprende de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff .
3. Hall 2015 Corolario 3.44
4. Hall 2015 Corolario 3.47
5. Hall 2015 Corolario 11.10
6. Hall 2015 Ejercicios 2.9 y 2.10
7. Ejercicio 3.22 del Salón 2015
8. Hall 2015 Teorema 3.28
9. Propuesta 3.35 del Salón 2015
10. Kobayashi y Nomizu 1996, pág. 43.

Obras citadas

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Helgason, Sigurdur (2001), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Graduate Studies in Mathematics , vol. 34, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2848-9, Sr.  1834454.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.
• "Mapeo exponencial", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]