Expansión de Magnus

Representación exponencial de ecuaciones diferenciales

En matemáticas y física , la expansión de Magnus , llamada así por Wilhelm Magnus (1907–1990), proporciona una representación exponencial de la solución integral del producto de una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden para un operador lineal . En particular, proporciona la matriz fundamental de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n con coeficientes variables. El exponente se agrega como una serie infinita, cuyos términos involucran integrales múltiples y conmutadores anidados.

El caso determinista

El enfoque de Magnus y su interpretación

Dada la matriz de coeficientes n  ×  n A ( t ) , se desea resolver el problema de valor inicial asociado con la ecuación diferencial ordinaria lineal

${\displaystyle Y'(t)=A(t)Y(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0}}$

para la función vectorial n -dimensional desconocida Y ( t ) .

Cuando n  = 1, la solución se da como un producto integral.

${\displaystyle Y(t)=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}A(s)\,ds\right)Y_{0}.}$

Esto sigue siendo válido para n  > 1 si la matriz A ( t ) satisface A ( t ₁ ) A ( t ₂ ) = A ( t ₂ ) A ( t ₁ ) para cualquier par de valores de t , t ₁ y t ₂ . En particular, este es el caso si la matriz A es independiente de t . En el caso general, sin embargo, la expresión anterior ya no es la solución del problema.

El enfoque introducido por Magnus para resolver el problema del valor inicial de la matriz es expresar la solución por medio de la exponencial de una determinada función matricial n  ×  n Ω( t , t ₀ ) :

${\displaystyle Y(t)=\exp {\big (}\Omega (t,t_{0}){\big )}\,Y_{0},}$

que posteriormente se construye como una expansión en serie :

${\displaystyle \Omega (t)=\sum _{k=1}^{\infty }\Omega _{k}(t),}$

donde, para simplificar, se acostumbra escribir Ω( t ) para Ω( t , t ₀ ) y tomar t ₀  = 0.

Magnus apreció eso, ya qued/es⁠ ( e ^Ω ) e ^−Ω = A ( t ) , utilizando una identidad matricial de Poincaré−Hausdorff , pudo relacionar la derivada temporal de Ω con la función generadora de números de Bernoulli y el endomorfismo adjunto de Ω ,

${\displaystyle \Omega '={\frac {\operatorname {ad} _{\Omega }}{\exp(\operatorname {ad} _{\Omega })-1}}A,}$

para resolver Ω recursivamente en términos de A "en un análogo continuo de la expansión BCH ", como se describe en una sección posterior.

La ecuación anterior constituye la expansión de Magnus , o serie de Magnus , para la solución del problema de valor inicial lineal de matrices. Los primeros cuatro términos de esta serie se leen

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega _{1}(t)&=\int _{0}^{t}A(t_{1})\,dt_{1},\\\Omega _{2}(t)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\,[A(t_{1}),A(t_{2})],\\\Omega _{3}(t)&={\frac {1}{6}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\int _{0}^{t_{2}}dt_{3}\,{\Bigl (}{\big [}A(t_{1}),[A(t_{2}),A(t_{3})]{\big ]}+{\big [}A(t_{3}),[A(t_{2}),A(t_{1})]{\big ]}{\Bigr )},\\\Omega _{4}(t)&={\frac {1}{12}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\int _{0}^{t_{2}}dt_{3}\int _{0}^{t_{3}}dt_{4}\,\left({\Big [}{\big [}[A_{1},A_{2}],A_{3}{\big ]},A_{4}{\Big ]}\right.\\&\qquad +{\Big [}A_{1},{\big [}[A_{2},A_{3}],A_{4}{\big ]}{\Big ]}+{\Big [}A_{1},{\big [}A_{2},[A_{3},A_{4}]{\big ]}{\Big ]}+\left.{\Big [}A_{2},{\big [}A_{3},[A_{4},A_{1}]{\big ]}{\Big ]}\right),\end{aligned}}}$

donde [ A , B ] ≡ A B − B A es la matriz conmutadora de A y B .

Estas ecuaciones pueden interpretarse de la siguiente manera: Ω ₁ ( t ) coincide exactamente con el exponente en el  caso escalar ( n = 1), pero esta ecuación no puede dar la solución completa. Si uno insiste en tener una representación exponencial ( grupo de Lie ), el exponente necesita ser corregido. El resto de la serie de Magnus proporciona esa corrección sistemáticamente: Ω o partes de él están en el álgebra de Lie del grupo de Lie en la solución.

En las aplicaciones, rara vez se puede sumar exactamente la serie de Magnus, y hay que truncarla para obtener soluciones aproximadas. La principal ventaja de la propuesta de Magnus es que la serie truncada muy a menudo comparte propiedades cualitativas importantes con la solución exacta, en contraposición con otras teorías de perturbación convencionales. Por ejemplo, en la mecánica clásica, el carácter simpléctico de la evolución temporal se conserva en cada orden de aproximación. De manera similar, el carácter unitario del operador de evolución temporal en la mecánica cuántica también se conserva (en contraste, por ejemplo, con la serie de Dyson que resuelve el mismo problema).

Convergencia de la expansión

Desde un punto de vista matemático, el problema de convergencia es el siguiente: dada una cierta matriz A ( t ) , ¿cuándo se puede obtener el exponente Ω( t ) como suma de la serie de Magnus?

Una condición suficiente para que esta serie converja para t ∈ [0, T ) es

${\displaystyle \int _{0}^{T}\|A(s)\|_{2}\,ds<\pi ,}$

donde denota una norma matricial . Este resultado es genérico en el sentido de que se pueden construir matrices específicas A ( t ) para las cuales la serie diverge para cualquier t > T . ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$

Generador Magnus

Un procedimiento recursivo para generar todos los términos en la expansión de Magnus utiliza las matrices S _n ^{( k )} definidas recursivamente a través de

${\displaystyle S_{n}^{(j)}=\sum _{m=1}^{n-j}\left[\Omega _{m},S_{n-m}^{(j-1)}\right],\quad 2\leq j\leq n-1,}$

${\displaystyle S_{n}^{(1)}=\left[\Omega _{n-1},A\right],\quad S_{n}^{(n-1)}=\operatorname {ad} _{\Omega _{1}}^{n-1}(A),}$

que luego proporcionan

${\displaystyle \Omega _{1}=\int _{0}^{t}A(\tau )\,d\tau ,}$

${\displaystyle \Omega _{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {B_{j}}{j!}}\int _{0}^{t}S_{n}^{(j)}(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2.}$

Aquí ad ^k _Ω es una abreviatura de un conmutador iterado (ver endomorfismo adjunto ):

${\displaystyle \operatorname {ad} _{\Omega }^{0}A=A,\quad \operatorname {ad} _{\Omega }^{k+1}A=[\Omega ,\operatorname {ad} _{\Omega }^{k}A],}$

mientras que B _j son los números de Bernoulli con B ₁ = −1/2 .

Finalmente, cuando esta recursión se resuelve explícitamente, es posible expresar Ω _n ( t ) como una combinación lineal de integrales n -veces de n  − 1 conmutadores anidados que involucran n matrices A :

${\displaystyle \Omega _{n}(t)=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {B_{j}}{j!}}\sum _{k_{1}+\cdots +k_{j}=n-1 \atop k_{1}\geq 1,\ldots ,k_{j}\geq 1}\int _{0}^{t}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{1}}(\tau )}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{2}}(\tau )}\cdots \operatorname {ad} _{\Omega _{k_{j}}(\tau )}A(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2,}$

que se vuelve cada vez más intrincado con n .

El caso estocástico

Extensión a ecuaciones diferenciales ordinarias estocásticas

Para la extensión al caso estocástico, sea un movimiento browniano en una dimensión , , en el espacio de probabilidad con horizonte temporal finito y filtración natural. Ahora, considere la ecuación diferencial estocástica de Itô con valores de matriz lineal (con la convención de suma de Einstein sobre el índice j ) ${\textstyle \left(W_{t}\right)_{t\in [0,T]}}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{q}}$ ${\textstyle q\in \mathbb {N} _{>0}}$ ${\textstyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}$ ${\textstyle T>0}$

${\displaystyle dX_{t}=B_{t}X_{t}dt+A_{t}^{(j)}X_{t}dW_{t}^{j},\quad X_{0}=I_{d},\qquad d\in \mathbb {N} _{>0},}$

donde son procesos estocásticos acotados de valor medible progresivamente y es la matriz identidad . Siguiendo el mismo enfoque que en el caso determinista con alteraciones debidas a la configuración estocástica ^[1], el logaritmo matricial correspondiente resultará ser un proceso Itô, cuyos dos primeros órdenes de expansión están dados por y , donde con la convención de suma de Einstein sobre i y j ${\textstyle B_{\cdot },A_{\cdot }^{(1)},\dots ,A_{\cdot }^{(j)}}$ ${\textstyle d\times d}$ ${\textstyle I_{d}}$ ${\textstyle Y_{t}^{(1)}=Y_{t}^{(1,0)}+Y_{t}^{(0,1)}}$ ${\textstyle Y_{t}^{(2)}=Y_{t}^{(2,0)}+Y_{t}^{(1,1)}+Y_{t}^{(0,2)}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{t}^{(0,0)}&=0,\\Y_{t}^{(1,0)}&=\int _{0}^{t}A_{s}^{(j)}\,dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(0,1)}&=\int _{0}^{t}B_{s}\,ds,\\Y_{t}^{(2,0)}&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\big (}A_{s}^{(j)}{\big )}^{2}\,ds+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}A_{s}^{(j)},\int _{0}^{s}A_{r}^{(i)}\,dW_{r}^{i}{\Big ]}dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(1,1)}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}B_{s},\int _{0}^{s}A_{r}^{(j)}\,dW_{r}{\Big ]}\,ds+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}A_{s}^{(j)},\int _{0}^{s}B_{r}\,dr{\Big ]}\,dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(0,2)}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}B_{s},\int _{0}^{s}B_{r}\,dr{\Big ]}\,ds.\end{aligned}}}$

Convergencia de la expansión

En el contexto estocástico, la convergencia ahora estará sujeta a un tiempo de detención y un primer resultado de convergencia se da por: ^[2] ${\textstyle \tau }$

Bajo el supuesto anterior sobre los coeficientes existe una solución fuerte , así como un tiempo de parada estrictamente positivo tal que: ${\textstyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}$ ${\textstyle \tau \leq T}$

1. ${\textstyle X_{t}}$tiene un logaritmo real hasta el tiempo , es decir ${\textstyle Y_{t}}$ ${\textstyle \tau }$
   

   ${\displaystyle X_{t}=e^{Y_{t}},\qquad 0\leq t<\tau ;}$

2. La siguiente representación es válida -casi con seguridad-: ${\textstyle \mathbb {P} }$
   

   ${\displaystyle Y_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{t}^{(n)},\qquad 0\leq t<\tau ,}$
   

   donde es el término n -ésimo en la expansión estocástica de Magnus como se define a continuación en la subsección Fórmula de expansión de Magnus; ${\textstyle Y^{(n)}}$

3. existe una constante positiva C , sólo dependiente de , con , tal que ${\textstyle \|A^{(1)}\|_{T},\dots ,\|A^{(q)}\|_{T},\|B\|_{T},T,d}$ ${\textstyle \|A_{\cdot }\|_{T}=\|\|A_{t}\|_{F}\|_{L^{\infty }(\Omega \times [0,T])}}$
   

   ${\displaystyle \mathbb {P} (\tau \leq t)\leq Ct,\qquad t\in [0,T].}$

Fórmula de expansión de Magnus

La fórmula de expansión general para la expansión estocástica de Magnus viene dada por:

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{t}^{(n)}\quad {\text{with}}\quad Y_{t}^{(n)}:=\sum _{r=0}^{n}Y_{t}^{(r,n-r)},}$

donde el término general es un proceso Itô de la forma: ${\textstyle Y^{(r,n-r)}}$

${\displaystyle Y_{t}^{(r,n-r)}=\int _{0}^{t}\mu _{s}^{r,n-r}ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{r,n-r,j}dW_{s}^{j},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\ r=0,\dots ,n,}$

Los términos se definen recursivamente como ${\textstyle \sigma ^{r,n-r,j},\mu ^{r,n-r}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{s}^{r,n-r,j}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r-1,n-r,i}{\big (}A^{(j)}{\big )},\\\mu _{s}^{r,n-r}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r,n-r-1,i}(B)-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{q}\sum _{i=0}^{n-2}{\frac {\beta _{i}}{i!}}\sum _{q_{1}=2}^{r}\sum _{q_{2}=0}^{n-r}S^{r-q_{1},n-r-q_{2},i}{\big (}Q^{q_{1},q_{2},j}{\big )},\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{s}^{q_{1},q_{2},j}:=\sum _{i_{1}=2}^{q_{1}}\sum _{i_{2}=0}^{q_{2}}\sum _{h_{1}=1}^{i_{1}-1}\sum _{h_{2}=0}^{i_{2}}&\sum _{p_{1}=0}^{q_{1}-i_{1}}\sum _{{p_{2}}=0}^{q_{2}-i_{2}}\ \sum _{m_{1}=0}^{p_{1}+p_{2}}\ \sum _{{m_{2}}=0}^{q_{1}-i_{1}-p_{1}+q_{2}-i_{2}-p_{2}}\\&{\Bigg (}{{\frac {S_{s}^{p_{1},p_{2},m_{1}}{\big (}\sigma _{s}^{h_{1},h_{2},j}{\big )}}{({m_{1}}+1)!}}{\frac {S_{s}^{q_{1}-i_{1}-p_{1},q_{2}-i_{2}-p_{2},m_{2}}{\big (}\sigma _{s}^{i_{1}-h_{1},i_{2}-h_{2},j}{\big )}}{({m_{2}}+1)!}}}\\&\qquad \qquad +{\frac {{\big [}S_{s}^{p_{1},p_{2},m_{1}}{\big (}\sigma _{s}^{i_{1}-h_{1},i_{2}-h_{2},j}{\big )},S_{s}^{q_{1}-i_{1}-p_{1},q_{2}-i_{2}-p_{2},m_{2}}{\big (}\sigma _{s}^{h_{1},h_{2},j}{\big )}{\big ]}}{({m_{1}}+{m_{2}}+2)({m_{1}}+1)!{m_{2}}!}}{\Bigg )},\end{aligned}}}$

y con los operadores S definidos como

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{s}^{r-1,n-r,0}(A)&:={\begin{cases}A&{\text{if }}r=n=1,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}\\S_{s}^{r-1,n-r,i}(A)&:=\sum _{\begin{array}{c}(j_{1},k_{1}),\dots ,(j_{i},k_{i})\in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots +k_{i}=n-r\end{array}}{\big [}Y_{s}^{(j_{1},k_{1})},{\big [}\dots ,{\big [}Y_{s}^{(j_{i},k_{i})},A_{s}{\big ]}\dots {\big ]}{\big ]}\\&=\sum _{\begin{array}{c}(j_{1},k_{1}),\dots ,(j_{i},k_{i})\in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots k_{i}=n-r\end{array}}\operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{1},k_{1})}}\circ \cdots \circ \operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{i},k_{i})}}(A_{s}),\qquad i\in \mathbb {N} .\end{aligned}}}$

Aplicaciones

Desde la década de 1960, la expansión de Magnus se ha aplicado con éxito como herramienta perturbativa en numerosas áreas de la física y la química, desde la física atómica y molecular hasta la resonancia magnética nuclear ^[3] y la electrodinámica cuántica ^[4] . También se ha utilizado desde 1998 como herramienta para construir algoritmos prácticos para la integración numérica de ecuaciones diferenciales lineales matriciales. Como heredan de la expansión de Magnus la preservación de los rasgos cualitativos del problema, los esquemas correspondientes son ejemplos prototípicos de integradores numéricos geométricos .

Véase también

• Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff
• Derivada del mapa exponencial

Notas

1. Kamm, Pagliarani y Pascucci 2021
2. Kamm, Pagliarani y Pascucci 2021, teorema 1.1
3. Haeberlen, U.; Waugh, JS (1968). "Efectos de promediado coherente en resonancia magnética". Phys. Rev . 175 (2): 453–467. Código Bibliográfico :1968PhRv..175..453H. doi :10.1103/PhysRev.175.453.
4. Angaroni, Fabrizio; Benenti, Giuliano; Strini, Giuliano (2018). "Aplicaciones de las expansiones de Picard y Magnus al modelo de Rabi". The European Physical Journal D . 72 (10): 188. arXiv : 1802.08897 . Código Bibliográfico :2018EPJD...72..188A. doi :10.1140/epjd/e2018-90190-y.(Ver modelo Rabi .)

Referencias

• Magnus, W. (1954). "Sobre la solución exponencial de ecuaciones diferenciales para un operador lineal". Comm. Pure Appl. Math . VII (4): 649–673. doi :10.1002/cpa.3160070404.
• Blanes, S.; Casas, F.; Oteo, JA; Ros, J. (1998). "Expansiones de Magnus y Fer para ecuaciones diferenciales matriciales: el problema de la convergencia". J. Phys. A: Math. Gen . 31 (1): 259–268. Bibcode :1998JPhA...31..259B. doi :10.1088/0305-4470/31/1/023.
• Iserles, A.; Nørsett, SP (1999). "Sobre la solución de ecuaciones diferenciales lineales en grupos de Lie". Phil. Trans. R. Soc. Lond. A . 357 (1754): 983–1019. Bibcode :1999RSPTA.357..983I. CiteSeerX  10.1.1.15.4614 . doi :10.1098/rsta.1999.0362. S2CID  90949835.
• Blanes, S.; Casas, F.; Oteo, JA; Ros, J. (2009). "La expansión Magnus y algunas de sus aplicaciones". Phys. Rep . 470 (5–6): 151–238. arXiv : 0810.5488 . Bibcode :2009PhR...470..151B. doi :10.1016/j.physrep.2008.11.001. S2CID  115177329.
• Kamm, K.; Pagliarani, S.; Pascucci, A. (2021). "Sobre la expansión estocástica de Magnus y su aplicación a SPDE". Revista de computación científica . 89 (3): 56. arXiv : 2001.01098 . doi :10.1007/s10915-021-01633-6. S2CID  211259118.

Enlaces externos

• "Expansiones de Magnus". YouTube . 25 de diciembre de 2020. "Melvin Leok | Departamento de Matemáticas". Universidad de California en San Diego
• "Expansiones de Fer". YouTube . 25 de diciembre de 2020.
• "Motivación para las expansiones de Magnus y Fer". YouTube . 25 de diciembre de 2020.