Fórmula del producto mentira

Fórmula de exponenciales matriciales.

En matemáticas , la fórmula del producto de Lie , llamada así por Sophus Lie (1875), pero también ampliamente llamada fórmula del producto de Trotter , ^[1] que lleva el nombre de Hale Trotter , establece que para matrices arbitrarias m × m reales o complejas A y B , ^{[2 ]}

$${\displaystyle e^{A+B}=\lim _{n\rightarrow \infty }(e^{A/n}e^{B/n})^{n},}$$

e ^Amatriz exponencialAfórmula del producto de Lie-Trotter ^[3]teorema de Trotter-Kato ^[4]AB. ^[5]

Esta fórmula es análoga a la ley exponencial clásica.

$${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$$

lo cual es válido para todos los números reales o complejos x e y . Si x e y se reemplazan con las matrices A y B , y la exponencial se reemplaza con una matriz exponencial , generalmente es necesario que A y B se conmuten para que la ley aún se cumpla. Sin embargo, la fórmula del producto de Lie es válida para todas las matrices A y B , incluso aquellas que no conmutan.

La fórmula del producto de Lie está conceptualmente relacionada con la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff , en el sentido de que ambas son reemplazos, en el contexto de operadores no conmutantes, de la ley exponencial clásica.

La fórmula tiene aplicaciones, por ejemplo, en la formulación de integrales de trayectoria de la mecánica cuántica. Permite separar el operador de evolución de Schrödinger ( propagador ) en incrementos alternos de operadores cinéticos y potenciales (la descomposición de Suzuki-Trotter, después de Trotter y Masuo Suzuki). La misma idea se utiliza en la construcción de métodos de división para la solución numérica de ecuaciones diferenciales . Además, el teorema del producto de Lie es suficiente para demostrar la fórmula de Feynman-Kac . ^[6]

El teorema de Trotter-Kato se puede utilizar para la aproximación de semigrupos C 0 lineales . ^[7]

Ver también

• Diezmación de bloques en evolución temporal

Citas

1. Cohen y col. mil novecientos ochenta y dos
2. Teorema 2.11 de Hall 2015
3. Trotón 1959
4. Kato 1978
5. Teorema 20.1 de Hall 2013
6. Apelbaum 2019
7. Ito y Kappel 1998

Referencias

• Sophus Lie y Friedrich Engel (1888, 1890, 1893). Theorie der Transformationsgruppen (primera edición, Leipzig; segunda edición, AMS Chelsea Publishing, 1970) ISBN  0828402329
• Albeverio, Sergio A.; Høegh-Krohn, Raphael J. (1976), Teoría matemática de las integrales de trayectoria de Feynman: una introducción , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 423 (1.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0079827, hdl : 10852/44049 , ISBN 978-3-540-07785-5
• Appelbaum, David (2019). "La fórmula Feynman-Kac a través de la fórmula del producto Lie-Kato-Trotter". Semigrupos de Operadores Lineales: Con Aplicaciones al Análisis, Probabilidad y Física . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 123-125. ISBN 978-1-108-71637-6.
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5
• "Fórmula del producto Trotter", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Cohen, Joel E.; Friedland, Shmuel; Kato, Tosio; Kelly, FP (1982). "Desigualdades de valores propios para productos de matrices exponenciales" (PDF) . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 45 : 55–95. doi : 10.1016/0024-3795(82)90211-7 .
• Ito, Kazufumi; Kappel, Franz (1998). "El teorema de Trotter-Kato y la aproximación de las PDE". Matemáticas de la Computación . 67 (221): 21–44. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00915-6 . JSTOR  2584971.
• Kato, Tosio (1978), "Fórmula del producto de Trotter para un par arbitrario de semigrupos de contracción autoadjuntos", Temas de análisis funcional (ensayos dedicados a MG Kreĭn con motivo de su 70 cumpleaños) , Adv. en matemáticas. Supl. Stud., vol. 3, Boston, MA: Academic Press , págs. 185-195, SEÑOR  0538020
• Trotter, HF (1959), "Sobre el producto de semigrupos de operadores", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 10 (4): 545–551, doi : 10.2307/2033649 , ISSN  0002-9939, JSTOR  2033649, SEÑOR  0108732
• Joel E. Cohen; Shmuel Friedland; Tosio Kato; FP Kelly (1982), "Desigualdades de valores propios para productos de matrices exponenciales" (PDF) , Álgebra lineal y sus aplicaciones , 45 : 55–95, doi : 10.1016/0024-3795(82)90211-7
• Varadarajan, VS (1984), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y sus representaciones , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90969-1, págs.99.
• Suzuki, Masuo (1976). "Fórmula de Trotter generalizada y aproximantes sistemáticas de operadores exponenciales y derivaciones internas con aplicaciones a problemas de muchos cuerpos". Com. Matemáticas. Física . 51 (2): 183-190. doi :10.1007/bf01609348. S2CID  121900332.