Matriz antihermítica

Matriz cuya transpuesta conjugada es su negativa (inversa aditiva)

En álgebra lineal , se dice que una matriz cuadrada con elementos complejos es antihermítica o antihermítica si su transpuesta conjugada es el negativo de la matriz original. ^[1] Es decir, la matriz es antihermítica si satisface la relación ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A{\text{ skew-Hermitian}}\quad \iff \quad A^{\mathsf {H}}=-A}$

donde denota la transpuesta conjugada de la matriz . En forma de componente, esto significa que ${\displaystyle A^{\textsf {H}}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A{\text{ skew-Hermitian}}\quad \iff \quad a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$

para todos los índices y , donde es el elemento en la -ésima fila y -ésima columna de , y la línea superior denota conjugación compleja . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A}$

Las matrices antihermíticas pueden entenderse como las versiones complejas de las matrices antisimétricas reales , o como el análogo matricial de los números puramente imaginarios. ^[2] El conjunto de todas las matrices antihermíticas forma el álgebra de Lie , que corresponde al grupo de Lie U( n ) . El concepto puede generalizarse para incluir transformaciones lineales de cualquier espacio vectorial complejo con una norma sesquilineal . ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle u(n)}$

Nótese que el adjunto de un operador depende del producto escalar considerado en el espacio complejo o real dimensional . Si denota el producto escalar en , entonces decir que es antiadjunto significa que para todo se tiene . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle (\cdot \mid \cdot )}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in K^{n}}$ ${\displaystyle (A\mathbf {u} \mid \mathbf {v} )=-(\mathbf {u} \mid A\mathbf {v} )}$

Los números imaginarios pueden considerarse como operadores antiadjuntos (ya que son como matrices), mientras que los números reales corresponden a operadores autoadjuntos . ${\displaystyle 1\times 1}$

Ejemplo

Por ejemplo, la siguiente matriz es antihermítica porque $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-i&+2+i\\-2+i&0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle -A={\begin{bmatrix}i&-2-i\\2-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {-2+i}}\\{\overline {2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {2+i}}\\{\overline {-2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}=A^{\mathsf {H}}}$$

Propiedades

• Los valores propios de una matriz antihermítica son todos puramente imaginarios (y posiblemente cero). Además, las matrices antihermíticas son normales . Por lo tanto, son diagonalizables y sus vectores propios para valores propios distintos deben ser ortogonales. ^[3]
• Todas las entradas en la diagonal principal de una matriz antihermítica deben ser imaginarias puras ; es decir, en el eje imaginario (el número cero también se considera puramente imaginario). ^[4]
• Si y son antihermíticos, entonces ⁠ ⁠ es antihermítico para todos los escalares reales y . ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle aA+bB}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle A}$es antihermítico si y sólo si (o equivalentemente, ) es hermítico . ^[5] ${\displaystyle iA}$ ${\displaystyle -iA}$
• ${\displaystyle A}$es antihermítico si y sólo si la parte real es antisimétrica y la parte imaginaria es simétrica . ${\displaystyle \Re {(A)}}$ ${\displaystyle \Im {(A)}}$
• Si es antihermítico, entonces es hermítico si es un entero par y antihermítico si es un entero impar. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
• ${\displaystyle A}$es antihermítico si y solo si para todos los vectores . ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {y} =-{\overline {\mathbf {y} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$
• Si es antihermítica, entonces la matriz exponencial es unitaria . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle e^{A}}$
• El espacio de matrices antihermíticas forma el álgebra de Lie del grupo de Lie . ${\displaystyle u(n)}$ ${\displaystyle U(n)}$

Descomposición en hermítica y hemihermítica

• La suma de una matriz cuadrada y su transpuesta conjugada es hermítica. ${\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}$
• La diferencia de una matriz cuadrada y su transpuesta conjugada es antihermítica. Esto implica que el conmutador de dos matrices hermíticas es antihermítico. ${\displaystyle \left(A-A^{\mathsf {H}}\right)}$
• Una matriz cuadrada arbitraria se puede escribir como la suma de una matriz hermítica y una matriz antihermítica : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(C-C^{\mathsf {H}}\right)}$$

Véase también

• Bivector (complejo)
• Matriz hermítica
• Matriz normal
• Matriz antisimétrica
• Matriz unitaria

Notas

1. Horn y Johnson (1985), §4.1.1; Meyer (2000), §3.2
2. Horn y Johnson (1985), §4.1.2
3. Horn y Johnson (1985), §2.5.2, §2.5.4
4. Meyer (2000), Ejercicio 3.2.5
5. Horn y Johnson (1985), §4.1.1

Referencias

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Análisis de matrices , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
• Meyer, Carl D. (2000), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada, SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.