Bivector (complejo)

Parte vectorial de un biquaternión, tiene tres dimensiones complejas

En matemáticas , un bivector es la parte vectorial de un bicuaternión . Para el bicuaternión q = w + x i + y j + z k , w se denomina biscalar y x i + y j + z k es su parte bivectorial . Las coordenadas w , x , y , z son números complejos con unidad imaginaria h:

${\displaystyle x=x_{1}+\mathrm {h} x_{2},\ y=y_{1}+\mathrm {h} y_{2},\ z=z_{1}+\mathrm {h} z_{2},\quad \mathrm {h} ^{2}=-1=\mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}.}$

Un bivector puede escribirse como la suma de partes reales e imaginarias:

${\displaystyle (x_{1}\mathrm {i} +y_{1}\mathrm {j} +z_{1}\mathrm {k} )+\mathrm {h} (x_{2}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +z_{2}\mathrm {k} )}$

donde y son vectores . Por lo tanto, el bivector ^[1] ${\displaystyle r_{1}=x_{1}\mathrm {i} +y_{1}\mathrm {j} +z_{1}\mathrm {k} }$ ${\displaystyle r_{2}=x_{2}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +z_{2}\mathrm {k} }$ ${\displaystyle q=x\mathrm {i} +y\mathrm {j} +z\mathrm {k} =r_{1}+\mathrm {h} r_{2}.}$

El álgebra de Lie del grupo de Lorentz se expresa mediante bivectores. En particular, si r ₁ y r ₂ son versores rectos de modo que , entonces la curva bicuaterniona {exp θr ₁  : θ ∈ R } traza una y otra vez el círculo unitario en el plano { x + yr ₁  : x , y ∈ R }. Tal círculo corresponde a los parámetros de rotación espacial del grupo de Lorentz. ${\displaystyle r_{1}^{2}=-1=r_{2}^{2}}$

Ahora (h r ₂ ) ² = (−1)(−1) = +1 , y la curva bicuaternión {exp θ (h r ₂ ) : θ ∈ R } es una hipérbola unitaria en el plano { x + yr ₂  : x , y ∈ R }. Las transformaciones del espacio-tiempo en el grupo de Lorentz que conducen a las contracciones de FitzGerald y a la dilatación del tiempo dependen de un parámetro de ángulo hiperbólico . En palabras de Ronald Shaw, "Los bivectores son logaritmos de las transformaciones de Lorentz". ^[2]

El producto conmutador de esta álgebra de Lie es exactamente el doble del producto vectorial de R ³ , por ejemplo, [i,j] = ij − ji = 2k , que es el doble de i × j . Como escribió Shaw en 1970:

Ahora bien, es bien sabido que el álgebra de Lie del grupo homogéneo de Lorentz puede considerarse como la de los bivectores bajo conmutación. [...] El álgebra de Lie de los bivectores es esencialmente la de los 3-vectores complejos, definiéndose el producto de Lie como el conocido producto vectorial en el espacio tridimensional (complejo). ^[3]

William Rowan Hamilton acuñó los términos vector y bivector . El primer término se denominó con cuaterniones y el segundo aproximadamente una década después, como en Lectures on Quaternions (1853). ^{[1] : 665} El popular texto Vector Analysis (1901) utilizó el término. ^{[4] : 249}

Dado un bivector r = r ₁ + h r ₂ , la elipse para la cual r ₁ y r ₂ son un par de semidiámetros conjugados se llama elipse direccional del bivector r . ^{[4] : 436}

En la representación lineal estándar de biquaterniones como matrices complejas de 2 × 2 que actúan en el plano complejo con base {1, h},

${\displaystyle {\begin{pmatrix}hv&w+hx\\-w+hx&-hv\end{pmatrix}}}$representa el bivector q = v i + w j + x k .

La transpuesta conjugada de esta matriz corresponde a − q , por lo que la representación del bivector q es una matriz antihermítica .

Ludwik Silberstein estudió un campo electromagnético complejo E + h B , donde hay tres componentes, cada uno un número complejo, conocido como el vector de Riemann-Silberstein . ^{[5] [6]}

"Los bivectores [...] ayudan a describir ondas planas homogéneas y no homogéneas polarizadas elípticamente: un vector para la dirección de propagación y otro para la amplitud". ^[7]

Referencias

1. Hamilton, WR (1853). "Sobre la interpretación geométrica de algunos resultados obtenidos mediante cálculo con bicuaterniones" (PDF) . Actas de la Real Academia Irlandesa . 5 : 388–390.Enlace de la colección de David R. Wilkins en Trinity College, Dublín
2. Shaw, Ronald; Bowtell, Graham (1969). "El logaritmo bivectorial de una transformación de Lorentz". Quarterly Journal of Mathematics . 20 (1): 497–503. doi :10.1093/qmath/20.1.497.
3. Shaw, Ronald (1970). "La estructura de subgrupos del grupo homogéneo de Lorentz". Quarterly Journal of Mathematics . 21 (1): 101–124. doi :10.1093/qmath/21.1.101.
4. Edwin Bidwell Wilson (1901) Análisis vectorial
5. Silberstein, Ludwik (1907). "Elektromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung" (PDF) . Annalen der Physik . 327 (3): 579–586. Código bibliográfico : 1907AnP...327..579S. doi : 10.1002/andp.19073270313.
6. Silberstein, Ludwik (1907). "Nachtrag zur Abhandlung über 'Elektromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung'" (PDF) . Annalen der Physik . 329 (14): 783–4. Código bibliográfico : 1907AnP...329..783S. doi : 10.1002/andp.19073291409.
7. "Reseñas telegráficas § Bivectores y ondas en mecánica y óptica ". American Mathematical Monthly . 102 (6): 571. 1995. doi :10.1080/00029890.1995.12004621.

• Boulanger, Ph.; Hayes, MA (1993). Bivectores y ondas en mecánica y óptica. CRC Press. ISBN 978-0-412-46460-7.
• Boulanger, PH; Hayes, M. (1991). "Bivectores y ondas planas no homogéneas en cuerpos elásticos anisotrópicos". En Wu, Julian J.; Ting, Thomas Chi-tsai; Barnett, David M. (eds.). Teoría moderna de la elasticidad anisotrópica y aplicaciones . Society for Industrial and Applied Mathematics . pág. 280 y siguientes . ISBN. 0-89871-289-0.
• Hamilton, William Rowan (1853). Lecciones sobre cuaterniones. Real Academia Irlandesa.Enlace de la colección de matemáticas históricas de la Universidad de Cornell .
• Hamilton, William Edwin, ed. (1866). Elementos de cuaterniones. University of Dublin Press. pág. 219.