Bicuaternión

Cuaterniones con coeficientes de números complejos

En álgebra abstracta , los biquaterniones son los números w + x i + y j + z k , donde w , x , y y z son números complejos o variantes de los mismos, y los elementos de { 1 , i , j , k } se multiplican como en el grupo de cuaterniones y conmutan con sus coeficientes. Hay tres tipos de biquaterniones correspondientes a los números complejos y sus variantes:

• Biquaternions cuando los coeficientes son números complejos .
• Biquaterniones divididos cuando los coeficientes son números complejos divididos .
• Cuaterniones duales cuando los coeficientes son números duales .

Este artículo trata sobre los biquaterniones ordinarios nombrados por William Rowan Hamilton en 1844. ^[1] Algunos de los defensores más destacados de estos biquaterniones incluyen a Alexander Macfarlane , Arthur W. Conway , Ludwik Silberstein y Cornelius Lanczos . Como se desarrolla a continuación, la cuasiesférica unitaria de los biquaterniones proporciona una representación del grupo de Lorentz , que es la base de la relatividad especial .

El álgebra de biquaterniones puede considerarse como un producto tensorial C ⊗ _R H , donde C es el cuerpo de números complejos y H es el álgebra de división de cuaterniones (reales) . En otras palabras, los biquaterniones son simplemente la complejización de los cuaterniones. Vistos como un álgebra compleja, los biquaterniones son isomorfos al álgebra de matrices complejas 2 × 2 M ₂ ( C ) . También son isomorfos a varias álgebras de Clifford, incluyendo C ⊗ _R H = Cl^[0]
₃( C ) = Cl ₂ ( C ) = Cl _1,2 ( R ) , ^[2] el álgebra de Pauli Cl _3,0 ( R ) , ^{[3] [4]} y la parte par Cl^[0]
_1,3( R ) = Cl^[0]
_3,1( R ) del álgebra del espacio-tiempo . ^[5]

Definición

Sea { 1 , i , j , k } la base de los cuaterniones (reales) H , y sean u , v , w , x números complejos, entonces

${\displaystyle q=u\mathbf {1} +v\mathbf {i} +w\mathbf {j} +x\mathbf {k} }$

es un biquaternión . ^[6] Para distinguir raíces cuadradas de menos uno en los biquaterniones, Hamilton ^{[7] [8]} y Arthur W. Conway usaron la convención de representar la raíz cuadrada de menos uno en el campo escalar C por h para evitar confusiones con la i en el grupo de cuaterniones . Se supone la conmutatividad del campo escalar con el grupo de cuaterniones:

${\displaystyle h\mathbf {i} =\mathbf {i} h,\ \ h\mathbf {j} =\mathbf {j} h,\ \ h\mathbf {k} =\mathbf {k} h.}$

Hamilton introdujo los términos bivector , biconjugado , bitensor y biversor para ampliar las nociones utilizadas con los cuaterniones reales H.

La exposición principal de Hamilton sobre los bicuaterniones se realizó en 1853 en sus Lectures on Quaternions (Conferencias sobre cuaterniones ) . Las ediciones de Elements of Quaternions ( Elementos de los cuaterniones) , en 1866 por William Edwin Hamilton (hijo de Rowan), y en 1899 y 1901 por Charles Jasper Joly , redujeron la cobertura de los bicuaterniones en favor de los cuaterniones reales.

Considerada con las operaciones de adición de componentes y multiplicación según el grupo de cuaterniones, esta colección forma un álgebra de 4 dimensiones sobre los números complejos C. El álgebra de bicuaterniones es asociativa , pero no conmutativa . Un bicuaternión es una unidad o un divisor de cero . El álgebra de bicuaterniones forma un álgebra de composición y se puede construir a partir de números bicomplejos . Véase § Como un álgebra de composición a continuación.

Lugar en la teoría de anillos

Representación lineal

Nótese que el producto matricial

${\displaystyle {\begin{pmatrix}h&0\\0&-h\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&h\\h&0\end{pmatrix}}}$.

Como h es la unidad imaginaria , cada una de estas tres matrices tiene un cuadrado igual al negativo de la matriz identidad . Cuando este producto de matrices se interpreta como i j = k , entonces se obtiene un subgrupo de matrices que es isomorfo al grupo de cuaterniones . En consecuencia,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u+hv&w+hx\\-w+hx&u-hv\end{pmatrix}}}$

representa el biquaternión q = u 1 + v i + w j + x k . Dada cualquier matriz compleja de 2 × 2 , existen valores complejos u , v , w y x para ponerla en esta forma de modo que el anillo de matrices M(2, C ) sea isomorfo ^[9] al anillo del biquaternión .

Subálgebras

Considerando el álgebra bicuaterniona sobre el campo escalar de números reales R , el conjunto

${\displaystyle \{\mathbf {1} ,h,\mathbf {i} ,h\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,h\mathbf {j} ,\mathbf {k} ,h\mathbf {k} \}}$

forma una base , por lo que el álgebra tiene ocho dimensiones reales . Los cuadrados de los elementos h i , h j y h k son todos positivos, por ejemplo, ( h i ) ² = h ² i ² = (− 1 )(− 1 ) = + 1 .

La subálgebra dada por

${\displaystyle \{x+y(h\mathbf {i} ):x,y\in \mathbb {R} \}}$

es un anillo isomorfo al plano de números complejos desdoblados , que tiene una estructura algebraica construida sobre la hipérbola unitaria . Los elementos h j y h k también determinan dichas subálgebras.

Además,

${\displaystyle \{x+y\mathbf {j} :x,y\in \mathbb {C} \}}$

es una subálgebra isomorfa a los números bicomplejos .

Una tercera subálgebra llamada cocuaterniones se genera mediante h j y h k . Se ve que ( h j )( h k ) = (− 1 ) i , y que el cuadrado de este elemento es − 1 . Estos elementos generan el grupo diedro del cuadrado. El subespacio lineal con base { 1 , i , h j , h k } es, por tanto, cerrado bajo la multiplicación y forma el álgebra de cocuaterniones.

En el contexto de la mecánica cuántica y el álgebra de espinores , los bicuaterniones h i , h j y h k (o sus negativos), vistos en la representación M ₂ ( C ) , se denominan matrices de Pauli .

Propiedades algebraicas

Los bicuaterniones tienen dos conjugaciones :

• El biconjugado o biscalar menos el bivector es y ${\displaystyle q^{*}=w-x\mathbf {i} -y\mathbf {j} -z\mathbf {k} \!\ ,}$
• La conjugación compleja de coeficientes bicuaterniones ${\displaystyle {\bar {q}}={\bar {w}}+{\bar {x}}\mathbf {i} +{\bar {y}}\mathbf {j} +{\bar {z}}\mathbf {k} }$

donde cuando ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bh}$ ${\displaystyle z=a+bh,\quad a,b\in \mathbb {R} ,\quad h^{2}=-\mathbf {1} .}$

Tenga en cuenta que ${\displaystyle (pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad {\overline {pq}}={\bar {p}}{\bar {q}},\quad {\overline {q^{*}}}={\bar {q}}^{*}.}$

Claramente, si entonces q es divisor de cero. En caso contrario es un número complejo. Además, se verifica fácilmente. Esto permite definir la inversa por ${\displaystyle qq^{*}=0}$ ${\displaystyle \lbrace qq^{*}\rbrace ^{-\mathbf {1} }}$ ${\displaystyle qq^{*}=q^{*}q}$

• ${\displaystyle q^{-1}=q^{*}\lbrace qq^{*}\rbrace ^{-1}}$, si ${\displaystyle qq^{*}\neq 0.}$

Relación con las transformaciones de Lorentz

Consideremos ahora el subespacio lineal ^[10]

${\displaystyle M=\lbrace q\colon q^{*}={\bar {q}}\rbrace =\lbrace t+x(h\mathbf {i} )+y(h\mathbf {j} )+z(h\mathbf {k} )\colon t,x,y,z\in \mathbb {R} \rbrace .}$

M no es una subálgebra ya que no está cerrada bajo productos ; por ejemplo, De hecho, M no puede formar un álgebra si ni siquiera es un magma . ${\displaystyle (h\mathbf {i} )(h\mathbf {j} )=h^{2}\mathbf {ij} =-\mathbf {k} \notin M.}$

Proposición: Si q está en M , entonces ${\displaystyle qq^{*}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Prueba: De las definiciones,

${\displaystyle {\begin{aligned}qq^{*}&=(t+xh\mathbf {i} +yh\mathbf {j} +zh\mathbf {k} )(t-xh\mathbf {i} -yh\mathbf {j} -zh\mathbf {k} )\\&=t^{2}-x^{2}(h\mathbf {i} )^{2}-y^{2}(h\mathbf {j} )^{2}-z^{2}(h\mathbf {k} )^{2}\\&=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.\end{aligned}}}$

Definición: Sea el bicuaternión g el que satisface Entonces la transformación de Lorentz asociada con g está dada por ${\displaystyle gg^{*}=1.}$

${\displaystyle T(q)=g^{*}q{\bar {g}}.}$

Proposición: Si q está en M , entonces T ( q ) también está en M .

Prueba: ${\displaystyle (g^{*}q{\bar {g}})^{*}={\bar {g}}^{*}q^{*}g={\overline {g^{*}}}{\bar {q}}g={\overline {g^{*}q{\bar {g}})}}.}$

Proposición: ${\displaystyle \quad T(q)(T(q))^{*}=qq^{*}}$

Demostración: Nótese primero que gg * = 1 implica que la suma de los cuadrados de sus cuatro componentes complejos es uno. Entonces la suma de los cuadrados de los complejos conjugados de estos componentes también es uno. Por lo tanto, ahora ${\displaystyle {\bar {g}}({\bar {g}})^{*}=1.}$

${\displaystyle (g^{*}q{\bar {g}})(g^{*}q{\bar {g}})^{*}=g^{*}q({\bar {g}}{\bar {g}}^{*})q^{*}g=g^{*}qq^{*}g=qq^{*}.}$

Terminología asociada

Como los biquaternions han sido un elemento fijo del álgebra lineal desde los inicios de la física matemática , existe una serie de conceptos que se ilustran o representan mediante el álgebra de biquaterniones. El grupo de transformación tiene dos partes, y La primera parte se caracteriza por  ; luego, la transformación de Lorentz correspondiente a g está dada por ya que dicha transformación es una rotación por multiplicación de cuaterniones , y la colección de ellos es SO(3) Pero este subgrupo de G no es un subgrupo normal , por lo que no se puede formar un grupo cociente . ${\displaystyle G=\lbrace g:gg^{*}=1\rbrace }$ ${\displaystyle G\cap H}$ ${\displaystyle G\cap M.}$ ${\displaystyle g={\bar {g}}}$ ${\displaystyle T(q)=g^{-1}qg}$ ${\displaystyle g^{*}=g^{-1}.}$ ${\displaystyle \cong G\cap H.}$

Para verlo es necesario mostrar alguna estructura de subálgebra en los biquaternions. Sea r un elemento de la esfera de raíces cuadradas de menos uno en la subálgebra de cuaterniones reales H . Entonces ( hr ) ² = +1 y el plano de biquaternions dado por es una subálgebra conmutativa isomorfa al plano de números complejos divididos . Así como el plano complejo ordinario tiene un círculo unitario, tiene una hipérbola unitaria dada por ${\displaystyle G\cap M}$ ${\displaystyle D_{r}=\lbrace z=x+yhr:x,y\in \mathbb {R} \rbrace }$ ${\displaystyle D_{r}}$

${\displaystyle \exp(ahr)=\cosh(a)+hr\ \sinh(a),\quad a\in R.}$

Así como el círculo unitario gira por la multiplicación a través de uno de sus elementos, la hipérbola gira porque Por lo tanto, estos operadores algebraicos sobre la hipérbola se denominan versores hiperbólicos . El círculo unitario en C y la hipérbola unitaria en D _r son ejemplos de grupos de un parámetro . Para cada raíz cuadrada r de menos uno en H , hay un grupo de un parámetro en los biquaternions dado por ${\displaystyle \exp(ahr)\exp(bhr)=\exp((a+b)hr).}$ ${\displaystyle G\cap D_{r}.}$

El espacio de biquaternions tiene una topología natural a través de la métrica euclidiana en el espacio 8. Con respecto a esta topología, G es un grupo topológico . Además, tiene una estructura analítica que lo convierte en un grupo de Lie de seis parámetros . Considere el subespacio de bivectores . Entonces, el mapa exponencial toma los vectores reales a y los h -vectores a Cuando está equipado con el conmutador , A forma el álgebra de Lie de G. Por lo tanto, este estudio de un espacio de seis dimensiones sirve para introducir los conceptos generales de la teoría de Lie . Cuando se ve en la representación matricial, G se llama el grupo lineal especial SL(2,C) en M(2, C ) . ${\displaystyle A=\lbrace q:q^{*}=-q\rbrace }$ ${\displaystyle \exp :A\to G}$ ${\displaystyle G\cap H}$ ${\displaystyle G\cap M.}$

Muchos de los conceptos de la relatividad especial se ilustran a través de las estructuras biquaterniones expuestas. El subespacio M corresponde al espacio de Minkowski , con las cuatro coordenadas que dan las ubicaciones temporales y espaciales de los eventos en un marco de referencia en reposo . Cualquier versor hiperbólico exp( ahr ) corresponde a una velocidad en la dirección r de velocidad c tanh a donde c es la velocidad de la luz . El marco de referencia inercial de esta velocidad puede convertirse en el marco de reposo aplicando el impulso de Lorentz T dado por g = exp(0.5 ahr ) desde entonces de modo que Naturalmente, el hiperboloide que representa el rango de velocidades para el movimiento subluminal es de interés físico. Se ha trabajado mucho en asociar este "espacio de velocidad" con el modelo hiperboloide de la geometría hiperbólica . En relatividad especial, el parámetro de ángulo hiperbólico de un versor hiperbólico se llama rapidez . Por lo tanto, vemos que el grupo biquaternion G proporciona una representación de grupo para el grupo de Lorentz . ^[11] ${\displaystyle g^{\star }=\exp(-0.5ahr)=g^{*}}$ ${\displaystyle T(\exp(ahr))=1.}$ ${\displaystyle G\cap M,}$

Después de la introducción de la teoría del espinor , particularmente en manos de Wolfgang Pauli y Élie Cartan , la representación bicuaternionista del grupo de Lorentz fue reemplazada. Los nuevos métodos se basaron en vectores base en el conjunto

${\displaystyle \{q\ :\ qq^{*}=0\}=\left\{w+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \ :\ w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\right\}}$

que se llama cono de luz complejo . La representación anterior del grupo de Lorentz coincide con lo que los físicos denominan cuatro vectores . Más allá de los cuatro vectores, el modelo estándar de física de partículas también incluye otras representaciones de Lorentz, conocidas como escalares , y la representación (1, 0) ⊕ (0, 1) asociada con, por ejemplo, el tensor de campo electromagnético . Además, la física de partículas hace uso de las representaciones SL(2, C ) (o representaciones proyectivas del grupo de Lorentz) conocidas como espinores de Weyl zurdos y diestros , espinores de Majorana y espinores de Dirac . Se sabe que cada una de estas siete representaciones se puede construir como subespacios invariantes dentro de los biquaternions. ^[12]

Como álgebra de composición

Aunque WR Hamilton introdujo los biquaterniones en el siglo XIX, su delineación de su estructura matemática como un tipo especial de álgebra sobre un cuerpo se logró en el siglo XX: los biquaterniones pueden generarse a partir de los números bicomplejos de la misma manera que Adrian Albert generó los cuaterniones reales a partir de números complejos en la llamada construcción de Cayley-Dickson . En esta construcción, un número bicomplejo ( w , z ) tiene conjugado ( w , z )* = ( w , – z ) .

El biquaternión es entonces un par de números bicomplejos ( a , b ) , donde el producto con un segundo biquaternión ( c , d ) es

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).}$

Si entonces el biconjugado ${\displaystyle a=(u,v),b=(w,z),}$ ${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b).}$

Cuando ( a , b )* se escribe como un 4-vector de números complejos ordinarios,

${\displaystyle (u,v,w,z)^{*}=(u,-v,-w,-z).}$

Los biquaterniones forman un ejemplo de un álgebra de cuaterniones y tiene norma.

${\displaystyle N(u,v,w,z)=u^{2}+v^{2}+w^{2}+z^{2}.}$

Dos biquaterniones p y q satisfacen N ( pq ) = N ( p ) N ( q ) , lo que indica que N es una forma cuadrática que admite composición, de modo que los biquaterniones forman un álgebra de composición .

Véase también

• Álgebra bicuaterniónica
• Número hipercomplejo
• Análisis hipercomplejo
• Joachim Lambek
• El uso de MacFarlane
• Anillo de cociente

Citas

1. Hamilton 1850.
2. Garling 2011, págs. 112, 113.
3. Garling 2011, pág. 112.
4. Francis y Kosowsky 2005, pág. 404.
5. Francis y Kosowsky 2005, pág. 386.
6. Hamilton 1853, pág. 639.
7. Hamilton 1853, pág. 730.
8. Hamilton 1866, pág. 289.
9. Dickson 1914, pág. 13.
10. Lanczos 1949, ver ecuación 94.16, página 305. La siguiente álgebra se compara con Lanczos, excepto que utiliza ~ para significar conjugación de cuaterniones y * para conjugación compleja.
11. Hermann 1974, capítulo 6.4 Cuaterniones complejos y ecuaciones de Maxwell.
12. Furey 2012.

Referencias

• Arthur Buchheim (1885) "Una memoria sobre bicuaterniones", American Journal of Mathematics 7(4):293 a 326 del contenido temprano de Jstor .
• Conway, Arthur W. (1911), "Sobre la aplicación de los cuaterniones a algunos desarrollos recientes en la teoría eléctrica", Actas de la Real Academia Irlandesa , 29A : 1–9.
• Dickson, Leonard (1914), Álgebras lineales, §13 "Equivalencia de las álgebras cuaterniales complejas y mátricas"a través de HathiTrust
• Furey, C. (2012). "Teoría unificada de ideales". Phys. Rev. D . 86 (2): 025024. arXiv : 1002.1497 . Código Bibliográfico :2012PhRvD..86b5024F. doi :10.1103/PhysRevD.86.025024. S2CID  118458623.
• Francis; Kosowsky (2005), "La construcción de espinores en álgebra geométrica", Anales de Física , 317 (2): 317, 384–409, arXiv : math-ph/0403040 , Bibcode :2005AnPhy.317..383F, doi :10.1016/j.aop.2004.11.008, S2CID  119632876
• Garling, DJH (2011), Álgebras de Clifford: una introducción , Cambridge University Press
• Girard, PR (1984), "El grupo de cuaterniones y la física moderna", European Journal of Physics , 5 (1): 25–32, Bibcode :1984EJPh....5...25G, doi :10.1088/0143-0807/5/1/007, S2CID  250775753
• Hamilton, Willian R. (1850), "Sobre la interpretación geométrica de algunos resultados obtenidos mediante el cálculo con bicuaterniones", Actas de la Real Academia Irlandesa , 5 : 388
• Hamilton, William Rowan (1853), Conferencias sobre cuaterniones, Artículo 669, Hodges y Smith; [etc., etc.]
• Hamilton, William Rowan (1866), Hamilton, William Edwin (ed.), Elementos de cuaterniones (1.ª ed.), Longmans, Green & Co.
• Hamilton, William Rowan (1899), Joly, Jasper Joly (ed.), Elementos de cuaterniones , vol. I (2.ª ed.), Longmans, Green & Co.
• Hamilton, William Rowan (1901), Joly, Jasper Joly (ed.), Elementos de cuaterniones , vol. II (2.ª ed.), Longmans, Green & Co.
• Hermann, Robert (1974), Spinors, Clifford and Cayley Algebras , Matemáticas interdisciplinarias, vol. VII, Math Sci Press, págs. 250–265, ISBN 0-915692-06-6
• Kilmister, CW (1994), La búsqueda de Eddington de una teoría fundamental , Cambridge University Press, págs. 121, 122, 179, 180, ISBN 978-0-521-37165-0
• Kravchenko, Vladislav (2003), Análisis cuaterniónico aplicado , Heldermann Verlag, ISBN 3-88538-228-8
• Lanczos, Cornelius (1949), Los principios variacionales de la mecánica , University of Toronto Press , págs. 304–312
• Silberstein, Ludwik (1912), "Forma cuaterniónica de la relatividad", Philosophical Magazine , Serie 6, 23 (137): 790–809, doi :10.1080/14786440508637276
• Silberstein, Ludwik (1914), La teoría de la relatividad
• Synge, JL (1972), "Cuaterniones, transformaciones de Lorentz y matrices de Conway-Dirac-Eddington", Comunicaciones del Instituto de Estudios Avanzados de Dublín , Serie A, 21
• Sangwine, Stephen J.; Ell, Todd A.; Le Bihan, Nicolas (2010), "Representaciones fundamentales y propiedades algebraicas de biquaterniones o cuaterniones complexificados", Advances in Applied Clifford Algebras , 21 (3): 1–30, arXiv : 1001.0240 , doi :10.1007/s00006-010-0263-3, S2CID  54729224
• Sangwine, Stephen J.; Alfsmann, Daniel (2010), "Determinación de los divisores bicuaterniones de cero, incluidos idempotentes y nilpotentes", Advances in Applied Clifford Algebras , 20 (2): 401–410, arXiv : 0812.1102 , Bibcode :2008arXiv0812.1102S, doi :10.1007/s00006-010-0202-3, S2CID  14246706
• Tanişli, M. (2006), "Transformación de calibre y electromagnetismo con biquaternions", Europhysics Letters , 74 (4): 569, Bibcode :2006EL.....74..569T, doi :10.1209/epl/i2005-10571-6, S2CID  250862773