Forma normal de Jordania

Forma de una matriz que indica sus valores propios y sus multiplicidades algebraicas

Ejemplo de una matriz en forma normal de Jordan. Todas las entradas de la matriz que no se muestran son cero. Los cuadrados delineados se conocen como "bloques de Jordan". Cada bloque de Jordan contiene un número lambda en su diagonal principal y otros sobre la diagonal principal. Los lambdas son los valores propios de la matriz; no es necesario que sean distintos.

En álgebra lineal , una forma normal de Jordan , también conocida como forma canónica de Jordan , ^{[1] [2]} es una matriz triangular superior de una forma particular llamada matriz de Jordan que representa un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita con respecto a alguna base . Dicha matriz tiene cada entrada fuera de la diagonal distinta de cero igual a 1, inmediatamente por encima de la diagonal principal (en la superdiagonal ), y con entradas diagonales idénticas a la izquierda y debajo de ellas.

Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K . Entonces existe una base con respecto a la cual la matriz tiene la forma requerida si y solo si todos los valores propios de la matriz se encuentran en K , o equivalentemente si el polinomio característico del operador se descompone en factores lineales sobre K . Esta condición siempre se cumple si K es algebraicamente cerrado (por ejemplo, si es el cuerpo de números complejos ). Las entradas diagonales de la forma normal son los valores propios (del operador), y el número de veces que aparece cada valor propio se denomina multiplicidad algebraica del valor propio. ^{[3] [4] [5]}

Si el operador viene dado originalmente por una matriz cuadrada M , entonces su forma normal de Jordan también se denomina forma normal de Jordan de M . Cualquier matriz cuadrada tiene una forma normal de Jordan si el campo de coeficientes se extiende a uno que contenga todos los valores propios de la matriz. A pesar de su nombre, la forma normal para una M dada no es completamente única, ya que es una matriz diagonal de bloques formada por bloques de Jordan , cuyo orden no es fijo; es convencional agrupar bloques para el mismo valor propio juntos, pero no se impone ningún orden entre los valores propios, ni entre los bloques para un valor propio dado, aunque estos últimos podrían, por ejemplo, ordenarse por tamaño débilmente decreciente. ^{[3] [4] [5]}

La descomposición de Jordan-Chevalley es particularmente simple con respecto a una base para la cual el operador toma su forma normal de Jordan. La forma diagonal para matrices diagonalizables , por ejemplo matrices normales , es un caso especial de la forma normal de Jordan. ^{[6] [7] [8]}

La forma normal de Jordan recibe su nombre de Camille Jordan , quien formuló por primera vez el teorema de descomposición de Jordan en 1870. ^[9]

Descripción general

Notación

Algunos libros de texto los tienen en la subdiagonal , es decir, inmediatamente debajo de la diagonal principal en lugar de en la superdiagonal. Los valores propios siguen estando en la diagonal principal. ^{[10] [11]}

Motivación

Una matriz A de n × n es diagonalizable si y solo si la suma de las dimensiones de los espacios propios es n . O, equivalentemente, si y solo si A tiene n vectores propios linealmente independientes . No todas las matrices son diagonalizables; las matrices que no son diagonalizables se denominan matrices defectuosas . Considere la siguiente matriz:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{*{20}{r}}5&4&2&1\\[2pt]0&1&-1&-1\\[2pt]-1&-1&3&0\\[2pt]1&1&-1&2\end{array}}\right].}$

Incluyendo la multiplicidad, los valores propios de A son λ = 1, 2, 4, 4. La dimensión del espacio propio correspondiente al valor propio 4 es 1 (y no 2), por lo que A no es diagonalizable. Sin embargo, existe una matriz invertible P tal que J = P ⁻¹ AP , donde

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\[2pt]0&2&0&0\\[2pt]0&0&4&1\\[2pt]0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

La matriz es casi diagonal. Esta es la forma normal de Jordan de A. La sección Ejemplo a continuación completa los detalles del cálculo. ${\displaystyle J}$

Matrices complejas

En general, una matriz compleja cuadrada A es similar a una matriz diagonal de bloques.

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J_{p}\end{bmatrix}}}$

donde cada bloque J _i es una matriz cuadrada de la forma

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&\;&\;\\\;&\lambda _{i}&\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda _{i}\end{bmatrix}}.}$

Por lo tanto, existe una matriz invertible P tal que P ⁻¹ AP = J es tal que las únicas entradas distintas de cero de J están en la diagonal y la superdiagonal. J se denomina forma normal de Jordan de A . Cada J _i se denomina bloque de Jordan de A . En un bloque de Jordan dado, cada entrada en la superdiagonal es 1.

Suponiendo este resultado, podemos deducir las siguientes propiedades:

• Contando multiplicidades, los valores propios de J , y por lo tanto de A , son las entradas diagonales.
• Dado un valor propio λ _i , su multiplicidad geométrica es la dimensión de ker( A − λ _i I ), donde I es la matriz identidad , y es el número de bloques de Jordan correspondientes a λ _i . ^[12]
• La suma de los tamaños de todos los bloques de Jordan correspondientes a un valor propio λ _i es su multiplicidad algebraica . ^[12]
• A es diagonalizable si y solo si, para cada valor propio λ de A , sus multiplicidades geométrica y algebraica coinciden. En particular, los bloques de Jordan en este caso son matrices 1 × 1; es decir, escalares.
• El bloque de Jordan correspondiente a λ tiene la forma λI  +  N , donde N es una matriz nilpotente definida como N _ij = δ _{i , j −1} (donde δ es la delta de Kronecker ). La nilpotencia de N se puede aprovechar al calcular f ( A ) donde f es una función analítica compleja. Por ejemplo, en principio la forma de Jordan podría dar una expresión en forma cerrada para la exponencial exp( A ).
• El número de bloques de Jordan correspondientes a λ _i de tamaño al menos j es dim ker( A  −  λ _i I ) ^j  − dim ker( A  −  λ _i I ) ^{j −1} . Por lo tanto, el número de bloques de Jordan de tamaño j es

  ${\displaystyle 2\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j}-\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j+1}-\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j-1}}$

• Dado un valor propio λ _i , su multiplicidad en el polinomio mínimo es el tamaño de su bloque de Jordan más grande.

Ejemplo

Considere la matriz del ejemplo de la sección anterior. La forma normal de Jordan se obtiene mediante una transformación de similitud : ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P^{-1}AP=J;}$eso es, ${\displaystyle AP=PJ.}$

Sea que tengamos vectores columna , , entonces ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,4}$

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&2p_{2}&4p_{3}&p_{3}+4p_{4}\end{bmatrix}}.}$

Vemos que

${\displaystyle (A-1I)p_{1}=0}$

${\displaystyle (A-2I)p_{2}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{4}=p_{3}.}$

Porque tenemos , es decir, es un vector propio de correspondiente al valor propio . Para , multiplicando ambos lados por se obtiene ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle p_{i}\in \ker(A-\lambda _{i}I)}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle i=4}$ ${\displaystyle (A-4I)}$

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=(A-4I)p_{3}.}$

Pero , entonces ${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=0.}$

De este modo, ${\displaystyle p_{4}\in \ker(A-4I)^{2}.}$

Los vectores como se denominan vectores propios generalizados de A . ${\displaystyle p_{4}}$

Ejemplo: Obtención de la forma normal

Este ejemplo muestra cómo calcular la forma normal de Jordan de una matriz dada.

Considere la matriz

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{array}}\right]}$

que se menciona al principio del artículo.

El polinomio característico de A es

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\lambda )&=\det(\lambda I-A)\\&=\lambda ^{4}-11\lambda ^{3}+42\lambda ^{2}-64\lambda +32\\&=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -4)^{2}.\,\end{aligned}}}$

Esto muestra que los valores propios son 1, 2, 4 y 4, de acuerdo con la multiplicidad algebraica. El espacio propio correspondiente al valor propio 1 se puede encontrar resolviendo la ecuación Av = λv . Está abarcado por el vector columna v = (−1, 1, 0, 0) ^T . De manera similar, el espacio propio correspondiente al valor propio 2 está abarcado por w = (1, −1, 0, 1) ^T . Finalmente, el espacio propio correspondiente al valor propio 4 también es unidimensional (aunque este es un valor propio doble) y está abarcado por x = (1, 0, −1, 1) ^T . Entonces, la multiplicidad geométrica (es decir, la dimensión del espacio propio del valor propio dado) de cada uno de los tres valores propios es uno. Por lo tanto, los dos valores propios iguales a 4 corresponden a un único bloque de Jordan, y la forma normal de Jordan de la matriz A es la suma directa

${\displaystyle J=J_{1}(1)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(4)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

Hay tres cadenas de Jordan . Dos tienen longitud uno: { v } y { w }, correspondientes a los valores propios 1 y 2, respectivamente. Hay una cadena de longitud dos correspondiente al valor propio 4. Para encontrar esta cadena, calcule

${\displaystyle \ker(A-4I)^{2}=\operatorname {span} \,\left\{{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}},\left[{\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}}\right]\right\}}$

donde I es la matriz identidad 4 × 4. Elija un vector en el lapso anterior que no esté en el núcleo de A  − 4 I ; por ejemplo, y = (1,0,0,0) ^T . Ahora, ( A  − 4 I ) y = x y ( A  − 4 I ) x = 0, por lo que { y , x } es una cadena de longitud dos correspondiente al valor propio 4.

La matriz de transición P tal que P ⁻¹ AP = J se forma colocando estos vectores uno al lado del otro de la siguiente manera

${\displaystyle P^{-1}=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}v&w&x&y\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1&1&1\\1&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&1&0\end{array}}\right].}$

Un cálculo muestra que la ecuación P ⁻¹ AP = J efectivamente es válida.

${\displaystyle P^{-1}AP=J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

Si hubiéramos intercambiado el orden en el que aparecen los vectores de la cadena, es decir, cambiando el orden de v , w y { x , y } juntos, los bloques de Jordan se habrían intercambiado. Sin embargo, las formas de Jordan son formas de Jordan equivalentes.

Vectores propios generalizados

Dado un valor propio λ , cada bloque de Jordan correspondiente da lugar a una cadena de Jordan de vectores linealmente independientes p _i , i = 1 , ..., b , donde b es el tamaño del bloque de Jordan. El generador , o vector principal , p _b de la cadena es un vector propio generalizado tal que ( A − λ I ) ^b p _b = 0. El vector p ₁ = ( A − λ I ) ^{b −1} p _b es un vector propio ordinario correspondiente a λ . En general, p _i es una preimagen de p _{i −1} bajo A − λ I . Por lo tanto, el vector principal genera la cadena a través de la multiplicación por A − λ I . ^{[13] [2]} Por lo tanto, la afirmación de que cada matriz cuadrada A se puede poner en forma normal de Jordan es equivalente a la afirmación de que el espacio vectorial subyacente tiene una base compuesta de cadenas de Jordan.

Una prueba

Damos una prueba por inducción de que cualquier matriz cuadrada de valor complejo A puede ponerse en forma normal de Jordan. Puesto que se puede demostrar ^[14] que el espacio vectorial subyacente es la suma directa de subespacios invariantes asociados con los valores propios, se puede suponer que A tiene sólo un valor propio λ . El caso 1 × 1 es trivial. Sea A una matriz n × n . El rango de A − λ I , denotado por Ran( A − λ I ), es un subespacio invariante de A . Además, puesto que λ es un valor propio de A , la dimensión de Ran( A − λ I ), r , es estrictamente menor que n , por lo que, por la hipótesis inductiva, Ran( A − λ I ) tiene una base { p ₁ , ..., p _r } compuesta de cadenas de Jordan.

Consideremos a continuación el núcleo , es decir, el subespacio ker( A − λ I ). Si

${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)=\{0\},}$

El resultado deseado se desprende inmediatamente del teorema de rango-nulidad (este sería el caso, por ejemplo, si A fuera hermítico ).

De lo contrario, si

${\displaystyle Q=\operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)\neq \{0\},}$

Sea la dimensión de Q s  ≤  r . Cada vector en Q es un vector propio, por lo que Ran( A  −  λ I ) debe contener s cadenas de Jordan correspondientes a s vectores propios linealmente independientes. Por lo tanto, la base { p ₁ , ..., p _r } debe contener s vectores, digamos { p ₁ , ..., p _s }, que son vectores principales de estas cadenas de Jordan. Podemos "extender las cadenas" tomando las preimágenes de estos vectores principales. (Este es el paso clave). Sea q _i tal que

${\displaystyle \;(A-\lambda I)q_{i}=p_{i}{\mbox{ for }}i=1,\ldots ,s.}$

Finalmente, podemos elegir cualquier base para

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)/Q}$

y luego elevamos a los vectores { z ₁ , ..., z _t } en ker( A − λI ). Cada z _i forma una cadena de Jordan de longitud 1. Solo necesitamos demostrar que la unión de { p ₁ , ..., p _r }, { z ₁ , ..., z _t } y { q ₁ , ..., q _s } forma una base para el espacio vectorial.

Por el teorema de rango-nulidad, dim(ker( A − λ I ))= nr , por lo que t=nrs , y por lo tanto el número de vectores en la base potencial es igual a n. Para mostrar la independencia lineal, supongamos que alguna combinación lineal de los vectores es 0. Aplicando A − λ I , obtenemos alguna combinación lineal de p _i , con los q _i convirtiéndose en vectores principales entre los p _{i .} De la independencia lineal de p _{i ,} se deduce que los coeficientes de los vectores q _i deben ser cero. Además, ninguna combinación lineal no trivial de z _i puede ser igual a una combinación lineal de p _i , porque entonces pertenecería a Ran( A − λ I ) y por lo tanto a Q, lo cual es imposible por la construcción de z _i . Por lo tanto, los coeficientes de z _i también serán 0. Esto deja solo términos p _i , que se supone que son linealmente independientes, y por lo tanto estos coeficientes también deben ser cero. Hemos encontrado una base compuesta de cadenas de Jordan, y esto demuestra que A puede ponerse en forma normal de Jordan.

Unicidad

Se puede demostrar que la forma normal de Jordan de una matriz A dada es única hasta el orden de los bloques de Jordan.

Conocer las multiplicidades algebraicas y geométricas de los valores propios no es suficiente para determinar la forma normal de Jordan de A . Suponiendo que se conoce la multiplicidad algebraica m ( λ ) de un valor propio λ , la estructura de la forma de Jordan se puede determinar analizando los rangos de las potencias ( A − λI ) ^{m ( λ )} . Para ver esto, supongamos que una matriz n × n A tiene solo un valor propio λ . Entonces m ( λ ) = n . El entero más pequeño k ₁ tal que

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}}=0}$

es el tamaño del bloque de Jordan más grande en la forma de Jordan de A . (Este número k ₁ también se llama índice de λ . Véase la discusión en una sección siguiente). El rango de

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-1}}$

es el número de bloques Jordan de tamaño k ₁ . De manera similar, el rango de

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-2}}$

es el doble del número de bloques de Jordan de tamaño k ₁ más el número de bloques de Jordan de tamaño k ₁  − 1. El caso general es similar.

Esto se puede utilizar para demostrar la unicidad de la forma de Jordan. Sean J ₁ y J ₂ dos formas normales de Jordan de A . Entonces J ₁ y J ₂ son similares y tienen el mismo espectro, incluidas las multiplicidades algebraicas de los valores propios. El procedimiento descrito en el párrafo anterior se puede utilizar para determinar la estructura de estas matrices. Dado que el rango de una matriz se conserva mediante la transformación de similitud, existe una biyección entre los bloques de Jordan de J ₁ y J ₂ . Esto demuestra la parte de unicidad del enunciado.

Matrices reales

Si A es una matriz real, su forma de Jordan puede ser no real. En lugar de representarla con valores propios complejos y unos en la superdiagonal, como se ha comentado anteriormente, existe una matriz invertible real P tal que P ⁻¹ AP = J es una matriz diagonal de bloques real , siendo cada bloque un bloque de Jordan real. ^[15] Un bloque de Jordan real es idéntico a un bloque de Jordan complejo (si el valor propio correspondiente es real), o es una matriz de bloques en sí misma, que consta de bloques 2×2 (para valores propios no reales con multiplicidad algebraica dada) de la forma ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=a_{i}+ib_{i}}$

${\displaystyle C_{i}=\left[{\begin{array}{rr}a_{i}&-b_{i}\\b_{i}&a_{i}\\\end{array}}\right]}$

y describen la multiplicación por en el plano complejo. Los bloques superdiagonales son matrices identidad 2×2 y, por lo tanto, en esta representación las dimensiones de la matriz son mayores que en la forma compleja de Jordan. El bloque de Jordan real completo está dado por ${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}C_{i}&I&&\\&C_{i}&\ddots &\\&&\ddots &I\\&&&C_{i}\end{bmatrix}}.}$

Esta forma real de Jordan es una consecuencia de la forma compleja de Jordan. Para una matriz real, los vectores propios no reales y los vectores propios generalizados siempre pueden elegirse para formar pares complejos conjugados . Tomando la parte real e imaginaria (combinación lineal del vector y su conjugado), la matriz tiene esta forma con respecto a la nueva base.

Matrices con entradas en un campo

La reducción de Jordan se puede extender a cualquier matriz cuadrada M cuyas entradas se encuentren en un cuerpo K . El resultado establece que cualquier M se puede escribir como una suma D + N donde D es semisimple , N es nilpotente y DN = ND . Esto se llama descomposición de Jordan-Chevalley . Siempre que K contiene los valores propios de M , en particular cuando K es algebraicamente cerrado , la forma normal se puede expresar explícitamente como la suma directa de los bloques de Jordan.

De manera similar al caso cuando K son los números complejos, conocer las dimensiones de los núcleos de ( M − λI ) ^k para 1 ≤ k ≤ m , donde m es la multiplicidad algebraica del valor propio λ , permite determinar la forma de Jordan de M . Podemos ver el espacio vectorial subyacente V como un K [ x ] -módulo considerando la acción de x sobre V como aplicación de M y extendiendo por K -linealidad. Entonces los polinomios ( x  −  λ ) ^k son los divisores elementales de M , y la forma normal de Jordan se ocupa de representar M en términos de bloques asociados a los divisores elementales.

La prueba de la forma normal de Jordan se lleva a cabo usualmente como una aplicación al anillo K [ x ] del teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal , del cual es un corolario.

Consecuencias

Se puede ver que la forma normal de Jordan es esencialmente un resultado de clasificación para matrices cuadradas y, como tal, varios resultados importantes del álgebra lineal pueden verse como sus consecuencias.

Teorema de mapeo espectral

Usando la forma normal de Jordan, el cálculo directo da un teorema de mapeo espectral para el cálculo funcional polinomial : Sea A una matriz n × n con valores propios λ ₁ , ..., λ _n , entonces para cualquier polinomio p , p ( A ) tiene valores propios p ( λ ₁ ), ..., p ( λ _n ).

Polinomio característico

El polinomio característico de A es . Las matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. Por lo tanto, , donde es la raíz i de y es su multiplicidad, porque este es claramente el polinomio característico de la forma de Jordan de A . ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I-A)}$ ${\textstyle p_{A}(\lambda )=p_{J}(\lambda )=\prod _{i}(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\textstyle p_{J}}$ ${\displaystyle m_{i}}$

Teorema de Cayley-Hamilton

El teorema de Cayley-Hamilton afirma que cada matriz A satisface su ecuación característica: si p es el polinomio característico de A , entonces . Esto se puede demostrar mediante un cálculo directo en la forma de Jordan, ya que si es un valor propio de multiplicidad , entonces su bloque de Jordan satisface claramente . Como los bloques diagonales no se afectan entre sí, el i ésimo bloque diagonal de es ; por lo tanto . ${\displaystyle p_{A}(A)=0}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$ ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$ ${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$ ${\textstyle p_{A}(A)=\prod _{i}(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$

Se puede suponer que la forma de Jordan existe sobre un campo que extiende el campo base de la matriz, por ejemplo sobre el campo de división de p ; esta extensión de campo no cambia la matriz p ( A ) de ninguna manera.

Polinomio mínimo

El polinomio mínimo P de una matriz cuadrada A es el único polinomio mónico de menor grado, m , tal que P ( A ) = 0. Alternativamente, el conjunto de polinomios que aniquilan un A dado forman un ideal I en C [ x ], el dominio ideal principal de polinomios con coeficientes complejos. El elemento mónico que genera I es precisamente P .

Sean λ ₁ , ..., λ _q los valores propios distintos de A , y s _i el tamaño del bloque de Jordan más grande correspondiente a λ _i . De la forma normal de Jordan se desprende claramente que el polinomio minimal de A tiene grado Σ s _i .

Si bien la forma normal de Jordan determina el polinomio mínimo, la inversa no es cierta. Esto conduce a la noción de divisores elementales . Los divisores elementales de una matriz cuadrada A son los polinomios característicos de sus bloques de Jordan. Los factores del polinomio mínimo m son los divisores elementales de mayor grado correspondientes a valores propios distintos.

El grado de un divisor elemental es el tamaño del bloque de Jordan correspondiente, por lo tanto la dimensión del subespacio invariante correspondiente. Si todos los divisores elementales son lineales, A es diagonalizable.

Descomposiciones de subespacios invariantes

La forma de Jordan de una matriz A de n × n es diagonal en bloques y, por lo tanto, da una descomposición del espacio euclidiano de dimensión n en subespacios invariantes de A. Cada bloque de Jordan J _i corresponde a un subespacio invariante X _i . Simbólicamente, ponemos

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{k}X_{i}}$

donde cada X _i es el lapso de la cadena de Jordan correspondiente, y k es el número de cadenas de Jordan.

También se puede obtener una descomposición ligeramente diferente mediante la forma de Jordan. Dado un valor propio λ _i , el tamaño de su bloque de Jordan correspondiente más grande s _i se denomina índice de λ _i y se denota por v ( λ _i ). (Por lo tanto, el grado del polinomio mínimo es la suma de todos los índices). Defina un subespacio Y _i mediante

${\displaystyle Y_{i}=\ker(\lambda _{i}I-A)^{v(\lambda _{i})}.}$

Esto da la descomposición

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{l}Y_{i}}$

donde l es el número de valores propios distintos de A. Intuitivamente, agrupamos los subespacios invariantes del bloque de Jordan correspondientes al mismo valor propio. En el caso extremo en el que A es un múltiplo de la matriz identidad, tenemos k = n y l = 1.

La proyección sobre Y _i y a lo largo de todos los demás Y _j ( j ≠ i ) se denomina proyección espectral de A en v _i y suele denotarse por P ( λ _i  ; A ) . Las proyecciones espectrales son mutuamente ortogonales en el sentido de que P ( λ _i  ; A ) P (v _j  ; A ) = 0 si i ≠ j . También conmutan con A y su suma es la matriz identidad. Reemplazando cada v _i en la matriz de Jordan J por uno y poniendo a cero todas las demás entradas se obtiene P (v _i  ; J ), además, si UJU ⁻¹ es la transformación de similitud tal que A = UJU ⁻¹ entonces P ( λ _i  ; A ) = UP ( λ _i  ; J ) U ⁻¹ . No están confinadas a dimensiones finitas. Véase a continuación su aplicación a operadores compactos, y en cálculo funcional holomorfo para una discusión más general.

Comparando las dos descomposiciones, observe que, en general, l ≤ k . Cuando A es normal, los subespacios Xi en la primera descomposición son unidimensionales y mutuamente ortogonales. Este es el teorema espectral para operadores normales. La segunda descomposición se generaliza más _fácilmente para operadores compactos generales en espacios de Banach.

Puede ser interesante observar aquí algunas propiedades del índice, ν ( λ ). De manera más general, para un número complejo λ , su índice puede definirse como el menor entero no negativo ν ( λ ) tal que

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)^{\nu (\lambda )}=\ker(A-\lambda I)^{m},\;\forall m\geq \nu (\lambda ).}$

Entonces ν (v) > 0 si y solo si λ es un valor propio de A . En el caso de dimensión finita, ν (v) ≤ la multiplicidad algebraica de v.

Forma normal plana

La forma de Jordan se utiliza para encontrar una forma normal de matrices hasta la conjugación tal que las matrices normales conforman una variedad algebraica de un grado fijo bajo en el espacio matricial ambiental.

Los conjuntos de representantes de clases de conjugación matricial para la forma normal de Jordan o las formas canónicas racionales en general no constituyen subespacios lineales o afines en los espacios matriciales ambientales.

Vladimir Arnold planteó ^[16] un problema: encontrar una forma canónica de matrices sobre un cuerpo para el cual el conjunto de representantes de clases de conjugación de matrices sea una unión de subespacios lineales afines (planos). En otras palabras, mapear el conjunto de clases de conjugación de matrices de manera inyectiva hacia el conjunto inicial de matrices de modo que la imagen de esta incrustación (el conjunto de todas las matrices normales) tenga el grado más bajo posible (es decir, una unión de subespacios lineales desplazados).

Peteris Daugulis lo resolvió para campos algebraicamente cerrados. ^[17] La ​​construcción de una forma normal plana definida de forma única de una matriz comienza considerando su forma normal de Jordan.

Funciones matriciales

La iteración de la cadena de Jordan motiva diversas extensiones a configuraciones más abstractas. Para matrices finitas, se obtienen funciones matriciales; esto se puede extender a operadores compactos y al cálculo funcional holomorfo, como se describe más adelante.

La forma normal de Jordan es la más conveniente para el cálculo de funciones matriciales (aunque puede no ser la mejor opción para cálculos informáticos). Sea f ( z ) una función analítica de un argumento complejo. La aplicación de la función en un bloque de Jordan n × n J con valor propio λ da como resultado una matriz triangular superior:

${\displaystyle f(J)={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f'(\lambda )&{\tfrac {f''(\lambda )}{2}}&\cdots &{\tfrac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f'(\lambda )&\cdots &{\tfrac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&f(\lambda )&f'(\lambda )\\0&0&0&0&f(\lambda )\end{bmatrix}},}$

de manera que los elementos de la k -ésima superdiagonal de la matriz resultante sean . Para una matriz de forma normal general de Jordan se aplicará la expresión anterior a cada bloque de Jordan. ${\displaystyle {\tfrac {f^{(k)}(\lambda )}{k!}}}$

El siguiente ejemplo muestra la aplicación a la función potencia f ( z ) =  z ⁿ :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&1&0&0&0\\0&\lambda _{1}&1&0&0\\0&0&\lambda _{1}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&1\\0&0&0&0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{1}^{n-1}&{\tbinom {n}{2}}\lambda _{1}^{n-2}&0&0\\0&\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{1}^{n-1}&0&0\\0&0&\lambda _{1}^{n}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{2}^{n-1}\\0&0&0&0&\lambda _{2}^{n}\end{bmatrix}},}$

donde los coeficientes binomiales se definen como . Para un entero positivo n se reduce a la definición estándar de los coeficientes. Para un valor negativo n puede ser útil la identidad . ${\textstyle {\binom {n}{k}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}}}$ ${\textstyle {\binom {-n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {n+k-1}{k}}}$

Operadores compactos

Un resultado análogo a la forma normal de Jordan se cumple para operadores compactos en un espacio de Banach . Se restringe a los operadores compactos porque cada punto x en el espectro de un operador compacto T es un valor propio; la única excepción es cuando x es el punto límite del espectro. Esto no es cierto para los operadores acotados en general. Para dar una idea de esta generalización, primero reformulamos la descomposición de Jordan en el lenguaje del análisis funcional.

Cálculo funcional holomorfo

Sea X un espacio de Banach, L ( X ) los operadores acotados en X y σ ( T ) denota el espectro de T ∈ L ( X ). El cálculo funcional holomorfo se define de la siguiente manera:

Fijemos un operador acotado T . Considérese la familia Hol( T ) de funciones complejas que es holomorfa en algún conjunto abierto G que contiene σ ( T ). Sea Γ = { γ _i } una colección finita de curvas de Jordan tales que σ ( T ) se encuentra en el interior de Γ, definimos f ( T ) por

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }f(z)(z-T)^{-1}\,dz.}$

El conjunto abierto G podría variar con f y no necesita estar conectado. La integral se define como el límite de las sumas de Riemann, como en el caso escalar. Aunque la integral tiene sentido para f continua , nos limitamos a las funciones holomorfas para aplicar la maquinaria de la teoría de funciones clásicas (por ejemplo, la fórmula integral de Cauchy). La suposición de que σ ( T ) se encuentra en el interior de Γ asegura que f ( T ) está bien definida; no depende de la elección de Γ. El cálculo funcional es la aplicación Φ de Hol( T ) a L ( X ) dada por

${\displaystyle \;\Phi (f)=f(T).}$

Necesitaremos las siguientes propiedades de este cálculo funcional:

1. Φ extiende el cálculo funcional polinomial.
2. El teorema de mapeo espectral se cumple: σ ( f ( T )) = f ( σ ( T )).
3. Φ es un homomorfismo de álgebra.

El caso de dimensión finita

En el caso de dimensión finita, σ ( T ) = { λ _i } es un conjunto discreto finito en el plano complejo. Sea e _i la función que es 1 en algún entorno abierto de λ _i y 0 en cualquier otro lugar. Por la propiedad 3 del cálculo funcional, el operador

${\displaystyle e_{i}(T)}$

es una proyección. Además, sea ν _i el índice de λ _i y

${\displaystyle f(z)=(z-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

El teorema de mapeo espectral nos dice

${\displaystyle f(T)e_{i}(T)=(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}e_{i}(T)}$

tiene espectro {0}. Por la propiedad 1, f ( T ) se puede calcular directamente en la forma de Jordan y, por inspección, vemos que el operador f ( T ) e _i ( T ) es la matriz cero.

Por la propiedad 3, f ( T ) e _i ( T ) = e _i ( T ) f ( T ). Por lo que e _i ( T ) es precisamente la proyección sobre el subespacio

${\displaystyle \operatorname {Ran} e_{i}(T)=\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

La relación

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}=1}$

implica

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}\;\operatorname {Ran} e_{i}(T)=\bigoplus _{i}\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}$

donde el índice i recorre los distintos valores propios de T. Esta es la descomposición del subespacio invariante.

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}Y_{i}}$

dado en una sección anterior. Cada e _i ( T ) es la proyección sobre el subespacio abarcado por las cadenas de Jordan correspondientes a λ _i y a lo largo de los subespacios abarcados por las cadenas de Jordan correspondientes a v _j para j ≠ i . En otras palabras, e _i ( T ) = P ( λ _i ; T ). Esta identificación explícita de los operadores e _i ( T ) a su vez da una forma explícita de cálculo funcional holomorfo para matrices:

Para todo f ∈ Hol( T ),

${\displaystyle f(T)=\sum _{\lambda _{i}\in \sigma (T)}\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {f^{(k)}}{k!}}(T-\lambda _{i})^{k}e_{i}(T).}$

Nótese que la expresión de f ( T ) es una suma finita porque, en cada vecindad de v _i , hemos elegido la expansión en serie de Taylor de f centrada en v _i .

Polos de un operador

Sea T un operador acotado y λ un punto aislado de σ ( T ). (Como se indicó anteriormente, cuando T es compacto, cada punto de su espectro es un punto aislado, excepto posiblemente el punto límite 0).

El punto λ se llama polo del operador T con orden ν si la función resolvente R _T está definida por

${\displaystyle R_{T}(\lambda )=(\lambda -T)^{-1}}$

tiene un polo de orden ν en λ .

Demostraremos que, en el caso de dimensión finita, el orden de un valor propio coincide con su índice. El resultado también es válido para operadores compactos.

Considérese la región anular A centrada en el valor propio λ con un radio ε suficientemente pequeño de modo que la intersección del disco abierto B _ε ( λ ) y σ ( T ) sea { λ }. La función resolvente R _T es holomorfa en A . Extendiendo un resultado de la teoría de funciones clásicas, R _T tiene una representación en serie de Laurent en A :

${\displaystyle R_{T}(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{m}(\lambda -z)^{m}}$

dónde

${\displaystyle a_{-m}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}(\lambda -z)^{m-1}(z-T)^{-1}dz}$y C es un pequeño círculo centrado en  λ .

De acuerdo con la discusión anterior sobre el cálculo funcional,

${\displaystyle a_{-m}=-(\lambda -T)^{m-1}e_{\lambda }(T)}$donde es 1 en y 0 en el resto del mundo. ${\displaystyle e_{\lambda }}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(\lambda )}$

Pero hemos demostrado que el entero positivo más pequeño m tal que

${\displaystyle a_{-m}\neq 0}$y ${\displaystyle a_{-l}=0\;\;\forall \;l\geq m}$

es precisamente el índice de λ , ν ( λ ). En otras palabras, la función R _T tiene un polo de orden ν ( λ ) en λ .

Análisis numérico

Si la matriz A tiene múltiples valores propios, o está cerca de una matriz con múltiples valores propios, entonces su forma normal de Jordan es muy sensible a las perturbaciones. Consideremos, por ejemplo, la matriz

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\\varepsilon &1\end{bmatrix}}.}$

Si ε = 0, entonces la forma normal de Jordan es simplemente

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Sin embargo, para ε ≠ 0, la forma normal de Jordan es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\sqrt {\varepsilon }}&0\\0&1-{\sqrt {\varepsilon }}\end{bmatrix}}.}$

Este mal condicionamiento hace que sea muy difícil desarrollar un algoritmo numérico robusto para la forma normal de Jordan, ya que el resultado depende críticamente de si se considera que dos valores propios son iguales. Por esta razón, la forma normal de Jordan suele evitarse en el análisis numérico ; la descomposición estable de Schur ^[18] o los pseudoespectros ^[19] son ​​mejores alternativas.

Véase también

• Base canónica
• Forma canónica
• Forma normal de Frobenius
• Matriz de Jordania
• Descomposición de Jordan-Chevalley
• Descomposición matricial
• Matriz modal
• Forma canónica del Weyr

Notas

1. Shilov define el término forma canónica de Jordan y en una nota al pie dice que la forma normal de Jordan es sinónimo. Estos términos a veces se abrevian como forma de Jordan . (Shilov) El término forma canónica clásica también se usa a veces en el sentido de este artículo. (James & James, 1976)
2. Holt y Rumynin (2009, p.9)
3. Beauregard y Fraleigh (1973, págs. 310-316)
4. Golub y Van Loan (1996, pág. 355)
5. Nering (1970, págs. 118-127)
6. Beauregard y Fraleigh (1973, págs. 270-274)
7. Golub y Van Loan (1996, pág. 353)
8. Nering (1970, págs. 113-118)
9. Brechenmacher, "Histoire du théorème de Jordan de la décomposition matricielle (1870-1930). Formes de représentation et méthodes de décomposition", Tesis, 2007
10. Cullen (1966, pág. 114)
11. Franklin (1968, pág. 122)
12. Horn y Johnson (1985, §3.2.1)
13. Bronson (1970, págs. 189, 194)
14. Roe Goodman y Nolan R. Wallach, Representaciones e invariantes de grupos clásicos , Cambridge UP 1998, Apéndice B.1.
15. Horn y Johnson (1985, Teorema 3.4.5)
16. Arnold, Vladimir I. (2004), "1998-25", Los problemas de Arnold , Berlín: Springer-Verlag, pág. 127, doi :10.1007/b138219, ISBN 3-540-20614-0, Sr.  2078115. Véase también el comentario, pág. 613.
17. Peteris Daugulis (2012), "Una parametrización de conjuntos de órbitas de conjugación de matrices como uniones de planos afines", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 436 (3): 709–721, arXiv : 1110.0907 , doi :10.1016/j.laa.2011.07.032, S2CID  119649768
18. Véase Golub y Van Loan (2014), §7.6.5; o Golub y Wilkinson (1976) para más detalles.
19. Véase Golub y Van Loan (2014), §7.9

Referencias

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• Cullen, Charles G. (1966), Matrices y transformaciones lineales , Lectura: Addison-Wesley , LCCN  66021267
• Dunford, N.; Schwartz, JT (1958), Operadores lineales, Parte I: Teoría general , Interscience
• Finkbeiner II, Daniel T. (1978), Introducción a matrices y transformaciones lineales (3.ª ed.), WH Freeman and Company
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• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Cálculos matriciales (3.ª ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
• Golub, Gene H.; Wilkinson, JH (1976), "Sistemas propios mal condicionados y el cálculo de la forma normal de Jordan", SIAM Review , 18 (4): 578–619, doi :10.1137/1018113
• Holt, Derek; Rumynin, Dmitriy (2009), Álgebra I – Álgebra lineal avanzada (MA251) Notas de clase (PDF)
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Análisis de matrices , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6
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• Shilov, Georgi E. (1977), Álgebra lineal , Dover Publications
• Artículo sobre la forma canónica de Jordan en mathworld.wolfram.com