Informalmente, una medida tiene la propiedad de ser monótona en el sentido de que si es un subconjunto de la medida de es menor o igual que la medida de Además, se requiere que la medida del conjunto vacío sea 0. Un ejemplo simple es una Volumen (qué tan grande es un objeto que ocupa un espacio) como medida.
La medida de Haar para un grupo topológico localmente compacto es una generalización de la medida de Lebesgue (y también de la medida de conteo y la medida de ángulo circular) y tiene propiedades de unicidad similares.
La medida de Hausdorff es una generalización de la medida de Lebesgue a conjuntos con dimensión no entera, en particular, conjuntos fractales.
La medida de Liouville , conocida también como forma de volumen natural en una variedad simpléctica, es útil en la mecánica estadística clásica y hamiltoniana.
La teoría de la medida se utiliza en el aprendizaje automático. Un ejemplo es la medida de probabilidad inducida por flujo en GFlowNet. [3]
Propiedades básicas
Sea una medida.
monotonicidad
Si y son conjuntos medibles con entonces
Medida de uniones e intersecciones contables.
Subaditividad contable
Para cualquier secuencia contable de conjuntos mensurables (no necesariamente separados) en
Continuidad desde abajo
Si hay conjuntos medibles que son crecientes (lo que significa que ), entonces la unión de los conjuntos es medible y
Continuidad desde arriba
Si hay conjuntos medibles que son decrecientes (lo que significa que ), entonces la intersección de los conjuntos es medible; Además, si al menos uno de ellos tiene medida finita, entonces
Esta propiedad es falsa sin el supuesto de que al menos uno de ellos tenga medida finita. Por ejemplo, para cada uno , todos tienen una medida de Lebesgue infinita, pero la intersección está vacía.
Otras propiedades
Lo completo
Un conjunto mensurable se llama conjunto nulo si un subconjunto de un conjunto nulo se llama conjunto insignificante . Un conjunto insignificante no tiene por qué ser mensurable, pero todo conjunto insignificante mensurable es automáticamente un conjunto nulo. Una medida se llama completa si cada conjunto insignificante es mensurable.
Una medida puede extenderse a una completa considerando el σ-álgebra de subconjuntos que difieren en un conjunto insignificante de un conjunto medible, es decir, de modo que la diferencia simétrica de y esté contenida en un conjunto nulo. Uno define igual
Ambas y son funciones monótonamente no crecientes de, por lo que ambas tienen como mucho muchas discontinuidades contables y, por lo tanto, son continuas en casi todas partes, en relación con la medida de Lebesgue. Si entonces es como se desea.
Si es tal que entonces la monotonicidad implica
que sea necesario. Si es así , entonces hemos terminado, así que asuma lo contrario. Entonces hay un tal único que es infinito a la izquierda de (lo que sólo puede ocurrir cuando ) y finito a la derecha. Argumentando como arriba, cuando De manera similar, si y entonces
Porque sea una secuencia monótonamente no decreciente que converge a Las secuencias monótonamente no crecientes de miembros de tiene al menos un componente finitamente mensurable, y
La continuidad desde arriba garantiza que
El lado derecho entonces es igual a si es un punto de continuidad de Dado que es continuo en casi todas partes, esto completa la prueba.
Aditividad
Se requiere que las medidas sean contablemente aditivas. Sin embargo, la condición se puede reforzar de la siguiente manera. Para cualquier conjunto y cualquier conjunto de definiciones no negativas:
es decir, definimos la suma de como el supremo de todas las sumas de un número finito de ellos.
Una medida de es -aditiva si para cualquier familia de conjuntos disjuntos se cumple lo siguiente:
La segunda condición es equivalente a la afirmación de que el ideal de conjuntos nulos es -completo.
Medidas sigma-finitas
Un espacio de medida se llama finito si es un número real finito (en lugar de ). Las medidas finitas distintas de cero son análogas a las medidas de probabilidad en el sentido de que cualquier medida finita es proporcional a la medida de probabilidad. Una medida se llama σ-finita si se puede descomponer en una unión contable de conjuntos mensurables de medidas finitas. De manera análoga, se dice que un conjunto en un espacio de medidas tiene una medida σ-finita si es una unión contable de conjuntos con medida finita.
Por ejemplo, los números reales con la medida estándar de Lebesgue son σ-finitos pero no finitos. Considere los intervalos cerrados para todos los números enteros; hay muchos intervalos de este tipo, cada uno tiene medida 1 y su unión es la línea real completa. Alternativamente, considere los números reales con la medida de conteo , que asigna a cada conjunto finito de reales el número de puntos del conjunto. Este espacio de medidas no es σ-finito, porque cada conjunto con medida finita contiene sólo un número finito de puntos, y se necesitarían incontables conjuntos de este tipo para cubrir toda la línea real. Los espacios σ-medidas finitas tienen algunas propiedades muy convenientes; La σ-finitud se puede comparar a este respecto con la propiedad de Lindelöf de los espacios topológicos. [ investigación original? ] También se pueden considerar como una vaga generalización de la idea de que un espacio de medidas puede tener "medidas incontables".
Medidas estrictamente localizables
Medidas semifinitas
Sea un conjunto, sea un álgebra sigma y sea una medida. Decimos que es semifinito para significar que para todos [5]
Las medidas semifinitas generalizan las medidas sigma-finitas, de tal manera que algunos grandes teoremas de la teoría de la medida que son válidos para medidas sigma-finitas pero no arbitrarias pueden ampliarse con pocas modificaciones para que sean válidos para medidas semifinitas. (Tarea pendiente: agregar ejemplos de tales teoremas; consulte la página de discusión).
Ejemplos básicos
Cada medida sigma-finita es semifinita.
Asumir dejar y asumir para todos
Tenemos que es sigma-finito si y sólo si para todos y es contable. Tenemos que es semifinito si y sólo si para todo [6]
Tomando lo anterior (es decir, contar la medida en adelante ), vemos que contar la medida en adelante es
sigma-finito si y sólo si es contable; y
semifinito (sin importar si es contable). (Por lo tanto, contar la medida, en el conjunto de potencias de un conjunto incontable arbitrario, da un ejemplo de una medida semifinita que no es sigma-finita).
Sea una métrica completa y separable en sea el álgebra sigma de Borel inducida por y sea entonces la medida de Hausdorff es semifinita. [7]
Sea una métrica completa y separable, sea el álgebra sigma de Borel inducida por y sea Entonces la medida de empaquetamiento es semifinita. [8]
Ejemplo involucrado
La medida cero es sigma-finita y, por tanto, semifinita. Además, la medida cero es claramente menor o igual a. Se puede demostrar que existe una medida mayor con estas dos propiedades:
Teorema (parte semifinita) [9] - Para cualquier medida existe , entre medidas semifinitas que son menores o iguales a un elemento mayor
Decimos que la parte semifinita de significa la medida semifinita definida en el teorema anterior. Damos algunas fórmulas bonitas y explícitas, que algunos autores pueden tomar como definición, para la parte semifinita:
[9]
[10]
[11]
Como es semifinito, se sigue que si entonces es semifinito. También es evidente que si es semifinito entonces
No ejemplos
Toda medida que no sea la medida cero no es semifinita. (Aquí decimos medida para referirnos a una medida cuyo rango se encuentra en : ) A continuación damos ejemplos de medidas que no son medidas cero.
Sea no vacío, sea un álgebra, sea no la función cero y sea. Se puede demostrar que es una medida.
[12]
[13]
Sean incontables, sean un álgebra, sean los elementos contables de y se pueda demostrar que es una medida. [5]
Involucrado no ejemplo
Las medidas que no son semifinitas son muy descabelladas cuando se restringen a ciertos conjuntos. [Nota 1] Cada medida es, en cierto sentido, semifinita una vez que se le quita su parte (la parte salvaje).
— A. Mukherjea y K. Pothoven, Análisis real y funcional, Parte A: Análisis real (1985)
Teorema (descomposición de Lutero) [14] [15] - Para cualquier medida de existe una medida tal que para alguna medida semifinita de De hecho, entre tales medidas existe una medida mínima Además, tenemos
Decimos que la parte de significa la medida definida en el teorema anterior. Aquí hay una fórmula explícita para :
Resultados sobre medidas semifinitas
Sea o y sea Entonces es semifinito si y sólo si es inyectivo. [16] [17] (Este resultado tiene importancia en el estudio del espacio dual de ).
Sea o y sea la topología de convergencia en medida en Entonces es semifinita si y sólo si es Hausdorff. [18] [19]
(Johnson) Sea un conjunto, sea un álgebra sigma en sea una medida en sea un conjunto, sea un álgebra sigma en y sea una medida en Si ambos no son una medida, entonces ambos y son semifinitos si y solo si para todos y (Aquí, está la medida definida en el Teorema 39.1 en Berberian '65. [20] )
Medidas localizables
Las medidas localizables son un caso especial de medidas semifinitas y una generalización de medidas sigma-finitas.
Sea un conjunto, sea un álgebra sigma y sea una medida
Sea o y sea Entonces es localizable si y sólo si es biyectivo (si y sólo si "es" ). [21] [17]
s-medidas finitas
Se dice que una medida es s-finita si es una suma contable de medidas finitas. Las medidas S-finitas son más generales que las sigma-finitas y tienen aplicaciones en la teoría de procesos estocásticos .
Para ciertos propósitos, es útil tener una "medida" cuyos valores no estén restringidos a los reales no negativos o al infinito. Por ejemplo, una función de conjunto aditivo contable con valores en números reales (con signo) se denomina medida con signo , mientras que una función con valores en números complejos se denomina medida compleja . Sin embargo, observe que la medida compleja es necesariamente de variación finita, por lo tanto, las medidas complejas incluyen medidas finitas con signo pero no, por ejemplo, la medida de Lebesgue .
Las medidas que toman valores en espacios de Banach se han estudiado ampliamente. [22] Una medida que toma valores en el conjunto de proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert se llama medida valorada en proyección ; estos se utilizan en el análisis funcional del teorema espectral . Cuando es necesario distinguir las medidas habituales que toman valores no negativos de las generalizaciones, se utiliza el término medida positiva . Las medidas positivas se cierran bajo una combinación cónica pero no una combinación lineal general , mientras que las medidas firmadas son el cierre lineal de medidas positivas.
Otra generalización es la medida finitamente aditiva , también conocida como contenido . Esto es lo mismo que una medida excepto que en lugar de requerir aditividad contable solo requerimos aditividad finita . Históricamente, esta definición se utilizó primero. Resulta que, en general, las medidas finitamente aditivas están relacionadas con nociones como los límites de Banach , el dual de y la compactación de Stone-Čech . Todos estos están vinculados de una forma u otra al axioma de elección . Los contenidos siguen siendo útiles en ciertos problemas técnicos de la teoría de medidas geométricas ; esta es la teoría de las medidas de Banach .
Una carga es una generalización en ambas direcciones: es una medida con signo, finitamente aditiva. [23] (Cf. ba espacio para información sobre cargas acotadas , donde decimos que una carga está acotada significa que su rango es un subconjunto acotado de R ).
^ Una forma de reformular nuestra definición es que es semifinita si y solo si Al negar esta reformulación, encontramos que no es semifinita si y solo si Para cada conjunto de este tipo, la medida subespacial inducida por el álgebra sigma subespacial inducida por, es decir, la restricción de a dicha sigma-álgebra subespacial, es una medida que no es la medida cero.
Bibliografía
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La primera edición se publicó con la Parte B: Análisis funcional en un solo volumen: Mukherjea, A; Pothoven, K (1978). Análisis real y funcional (Primera ed.). Prensa del Pleno. doi :10.1007/978-1-4684-2331-0. ISBN 978-1-4684-2333-4.
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Royden, HL ; Fitzpatrick, PM (2010). Análisis real (Cuarta ed.). Prentice Hall. pag. 342, Ejercicio 17.8.Primera impresión. Hay una segunda impresión posterior (2017). Aunque normalmente hay poca diferencia entre la primera impresión y las posteriores, en este caso la segunda impresión no sólo elimina de la página 53 los Ejercicios 36, 40, 41 y 42 del Capítulo 2 sino que también ofrece una (ligeramente, pero aún sustancialmente) diferente. presentación de la parte (ii) del ejercicio 17.8. (La presentación de la segunda impresión de la parte (ii) del Ejercicio 17.8 (sobre la descomposición de Lutero [14] ) concuerda con las presentaciones habituales, [5] [24] mientras que la presentación de la primera impresión proporciona una nueva perspectiva.)
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Enlaces externos
Busque mensurable en Wikcionario, el diccionario gratuito.