Discontinuidades de funciones monótonas

Los mapas monótonos tienen discontinuidades contables

En el campo matemático del análisis , un conocido teorema describe el conjunto de discontinuidades de una función monótona de valor real de una variable real; todas las discontinuidades de dicha función (monótona) son necesariamente discontinuidades de salto y hay como máximo un número contable de ellas.

Generalmente, este teorema aparece en la literatura sin nombre. En algunos trabajos recientes se lo llama teorema de Froda ; en su tesis de 1929, Alexandru Froda afirmó que el resultado ya era bien conocido y que había proporcionado su propia prueba elemental por conveniencia. ^[1] Los trabajos previos sobre discontinuidades ya habían sido discutidos en las memorias de 1875 del matemático francés Jean Gaston Darboux . ^[2]

Definiciones

Denotemos el límite desde la izquierda por y denotemos el límite desde la derecha por $${\displaystyle f\left(x^{-}\right):=\lim _{z\nearrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(x-h)}$$ $${\displaystyle f\left(x^{+}\right):=\lim _{z\searrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(x+h).}$$

Si y existen y son finitos entonces la diferencia se llama salto ^[3] de al menos ${\displaystyle f\left(x^{+}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x^{-}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

Considérese una función de valor real de variable real definida en un entorno de un punto Si es discontinua en el punto entonces la discontinuidad será una discontinuidad removible , o una discontinuidad esencial , o una discontinuidad de salto (también llamada discontinuidad de primer tipo ). ^[4] Si la función es continua en entonces el salto en es cero. Además, si no es continua en el salto puede ser cero en si ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f\left(x^{+}\right)=f\left(x^{-}\right)\neq f(x).}$

Declaración precisa

Sea una función monótona de valor real definida en un intervalo. Entonces el conjunto de discontinuidades del primer tipo es como máximo contable . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I.}$

Se puede demostrar ^{[5] [3]} que todos los puntos de discontinuidad de una función monótona de valores reales definida en un intervalo son discontinuidades de salto y, por lo tanto, según nuestra definición, de primera clase. Con esta observación, el teorema adopta la forma más fuerte:

Sea una función monótona definida en un intervalo. Entonces el conjunto de discontinuidades es como máximo contable. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I.}$

Pruebas

Esta prueba comienza probando el caso especial donde el dominio de la función es un intervalo cerrado y acotado ^{[6] [7]} La ​​prueba del caso general se sigue de este caso especial. ${\displaystyle [a,b].}$

Prueba cuando el dominio está cerrado y acotado

Se dan dos pruebas de este caso especial.

Prueba 1

Sea un intervalo y sea una función no decreciente (como una función creciente ). Entonces, para cualquier Sea y sea puntos dentro de los cuales el salto de sea mayor o igual a : ${\displaystyle I:=[a,b]}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a<x<b,}$ $${\displaystyle f(a)~\leq ~f\left(a^{+}\right)~\leq ~f\left(x^{-}\right)~\leq ~f\left(x^{+}\right)~\leq ~f\left(b^{-}\right)~\leq ~f(b).}$$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\geq \alpha ,\ i=1,2,\ldots ,n}$$

Para cualquier manera que En consecuencia, y por lo tanto ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle f\left(x_{i}^{+}\right)\leq f\left(x_{i+1}^{-}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\geq 0.}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(b)-f(a)&\geq f\left(x_{n}^{+}\right)-f\left(x_{1}^{-}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right]+\sum _{i=1}^{n-1}\left[f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\right]\\&\geq \sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right]\\&\geq n\alpha \end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle n\leq {\frac {f(b)-f(a)}{\alpha }}.}$

Dado que tenemos que el número de puntos en los que el salto es mayor es finito (posiblemente incluso cero). ${\displaystyle f(b)-f(a)<\infty }$ ${\displaystyle \alpha }$

Defina los siguientes conjuntos: $${\displaystyle S_{1}:=\left\{x:x\in I,f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)\geq 1\right\},}$$ $${\displaystyle S_{n}:=\left\{x:x\in I,{\frac {1}{n}}\leq f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)<{\frac {1}{n-1}}\right\},\ n\geq 2.}$$

Cada conjunto es finito o el conjunto vacío . La unión contiene todos los puntos en los que el salto es positivo y, por lo tanto, contiene todos los puntos de discontinuidad. Dado que cada uno es, como máximo, numerable, su unión también es, como máximo, numerable. ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S_{n}}$ ${\displaystyle S_{i},\ i=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle S}$

Si no es creciente (o decreciente ), entonces la prueba es similar. Esto completa la prueba del caso especial donde el dominio de la función es un intervalo cerrado y acotado. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Prueba 2

Por lo tanto, sea una función monótona y sea el conjunto de todos los puntos en el dominio de en el que es discontinuo (lo que es necesariamente una discontinuidad de salto). ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d\in [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Debido a que tiene una discontinuidad de salto en , entonces existe algún número racional que se encuentra estrictamente en el medio (específicamente, si entonces elija de modo que mientras que si entonces elija de modo que se cumpla). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d\in D,}$ ${\displaystyle f\left(d^{-}\right)\neq f\left(d^{+}\right)}$ ${\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f\left(d^{-}\right){\text{ and }}f\left(d^{+}\right)}$ ${\displaystyle f\nearrow }$ ${\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f\left(d^{-}\right)<y_{d}<f\left(d^{+}\right)}$ ${\displaystyle f\searrow }$ ${\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f\left(d^{-}\right)>y_{d}>f\left(d^{+}\right)}$

Ahora se demostrará que si son distintos, digamos con entonces Si entonces implica de modo que Si por otro lado entonces implica de modo que De cualquier manera, ${\displaystyle d,e\in D}$ ${\displaystyle d<e,}$ ${\displaystyle y_{d}\neq y_{e}.}$ ${\displaystyle f\nearrow }$ ${\displaystyle d<e}$ ${\displaystyle f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)}$ ${\displaystyle y_{d}<f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)<y_{e}.}$ ${\displaystyle f\searrow }$ ${\displaystyle d<e}$ ${\displaystyle f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)}$ ${\displaystyle y_{d}>f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)>y_{e}.}$ ${\displaystyle y_{d}\neq y_{e}.}$

Por lo tanto, cada uno está asociado con un único número racional (dicho de otra manera, la función definida por es inyectiva ). Como es contable, lo mismo debe ser cierto para ${\displaystyle d\in D}$ ${\displaystyle D\to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d\mapsto y_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Prueba de caso general

Supóngase que el dominio de (una función monótona de valores reales) es igual a una unión de un número numerable de intervalos cerrados y acotados; digamos que su dominio es (no se imponen requisitos a estos intervalos cerrados y acotados ^[a] ). Se sigue del caso especial demostrado anteriormente que para cada índice la restricción de al intervalo tiene como máximo un número numerable de discontinuidades; denotemos este conjunto (contable) de discontinuidades por Si tiene una discontinuidad en un punto de su dominio, entonces o bien es igual a un punto final de uno de estos intervalos (es decir, ) o bien existe algún índice tal que en cuyo caso debe ser un punto de discontinuidad para (es decir, ). Por lo tanto, el conjunto de todos los puntos de en el que es discontinuo es un subconjunto de que es un conjunto numerable (porque es una unión de un número numerable de conjuntos numerables) de modo que su subconjunto también debe ser numerable (porque todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}:\left[a_{n},b_{n}\right]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left[a_{n},b_{n}\right]}$ ${\displaystyle D_{n}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in \bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}<x_{0}<b_{n},}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}}$ ${\displaystyle x_{0}\in D_{n}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}\cup \bigcup _{n}D_{n},}$ ${\displaystyle D}$

En particular, debido a que cada intervalo (incluyendo intervalos abiertos e intervalos semiabiertos/cerrados) de números reales puede escribirse como una unión contable de intervalos cerrados y acotados, se deduce que cualquier función real monótona definida en un intervalo tiene como máximo un número contable de discontinuidades.

Para hacer este argumento más concreto, supongamos que el dominio de es un intervalo que no es cerrado y acotado (y por lo tanto, por el teorema de Heine-Borel, no compacto ). Entonces, el intervalo se puede escribir como una unión numerable de intervalos cerrados y acotados con la propiedad de que dos intervalos consecutivos cualesquiera tienen un punto final en común: Si entonces donde es una secuencia estrictamente decreciente tal que De manera similar, si o si En cualquier intervalo hay como máximo un número numerable de puntos de discontinuidad, y dado que una unión numerable de conjuntos como máximo numerables es como máximo numerable, se sigue que el conjunto de todas las discontinuidades es como máximo numerable. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle I=\cup _{n=1}^{\infty }I_{n}.}$ ${\displaystyle I=(a,b]{\text{ with }}a\geq -\infty }$ ${\displaystyle I_{1}=\left[\alpha _{1},b\right],\ I_{2}=\left[\alpha _{2},\alpha _{1}\right],\ldots ,I_{n}=\left[\alpha _{n},\alpha _{n-1}\right],\ldots }$ ${\displaystyle \left(\alpha _{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \alpha _{n}\rightarrow a.}$ ${\displaystyle I=[a,b),{\text{ with }}b\leq +\infty }$ ${\displaystyle I=(a,b){\text{ with }}-\infty \leq a<b\leq \infty .}$ ${\displaystyle I_{n},}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Funciones de salto

Ejemplos. Sea x ₁ < x ₂ < x ₃ < ⋅⋅⋅ un subconjunto numerable del intervalo compacto [ a , b ] y sea μ ₁ , μ ₂ , μ ₃ , ... una sucesión positiva con suma finita.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}\chi _{[x_{n},b]}(x)}$

donde χ _A denota la función característica de un intervalo compacto A . Entonces f es una función no decreciente en [ a , b ], que es continua excepto por discontinuidades de salto en x _n para n ≥ 1. En el caso de un número finito de discontinuidades de salto, f es una función escalonada . Los ejemplos anteriores son funciones escalonadas generalizadas; son casos muy especiales de lo que se denominan funciones de salto o funciones de salto. ^{[8] [9]}

En términos más generales, el análisis de funciones monótonas ha sido estudiado por muchos matemáticos, comenzando por Abel, Jordan y Darboux. Siguiendo a Riesz y Sz.-Nagy (1990), reemplazando una función por su negativo si es necesario, solo se debe considerar el caso de funciones no negativas y no decrecientes. El dominio [ a , b ] puede ser finito o tener ∞ o −∞ como puntos finales.

La tarea principal es construir funciones monótonas (generalizando funciones escalonadas) con discontinuidades en un conjunto numerable dado de puntos y con discontinuidades izquierda y derecha prescritas en cada uno de estos puntos. Sea x _n ( n ≥ 1) en ( a , b ) y tomemos λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ , ... y μ ₁ , μ ₂ , μ ₃ , ... no negativos con suma finita y con λ _n + μ _n > 0 para cada n . Definir

${\displaystyle f_{n}(x)=0\,\,}$Para para ${\displaystyle \,\,x<x_{n},\,\,f_{n}(x_{n})=\lambda _{n},\,\,f_{n}(x)=\lambda _{n}+\mu _{n}\,\,}$ ${\displaystyle \,\,x>x_{n}.}$

Entonces la función de salto , o función saltus , definida por

${\displaystyle f(x)=\,\,\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=\,\,\sum _{x_{n}\leq x}\lambda _{n}+\sum _{x_{n}<x}\mu _{n},}$

no es decreciente en [ a , b ] y es continua excepto por discontinuidades de salto en x _n para n ≥ 1. ^{[10] [11] [12] [13]}

Para demostrarlo, nótese que sup | f _n | = λ _n + μ _n , de modo que Σ f _n converge uniformemente a f . Pasando al límite, se sigue que

${\displaystyle f(x_{n})-f(x_{n}-0)=\lambda _{n},\,\,\,f(x_{n}+0)-f(x_{n})=\mu _{n},\,\,\,}$y ${\displaystyle \,\,f(x\pm 0)=f(x)}$

si x no es uno de los x _n 's. ^[10]

Por el contrario, por un teorema de diferenciación de Lebesgue , la función de salto f está determinada de forma única por las propiedades: ^[14] (1) no ser decreciente y no positiva; (2) tener datos de salto dados en sus puntos de discontinuidad x _n ; (3) satisfacer la condición de contorno f ( a ) = 0; y (4) tener derivada cero casi en todas partes .

Como se explica en Riesz y Sz.-Nagy (1990), cada función no decreciente y no negativa F se puede descomponer de forma única como una suma de una función de salto f y una función monótona continua g : la función de salto f se construye utilizando los datos de salto de la función monótona original F y es fácil comprobar que g = F − f es continua y monótona. ^[10]

Véase también

• Función continua  – Función matemática sin cambios repentinos
• Variación acotada  : función real con variación total finita
• Función monótona

Notas

1. Por ejemplo, estos intervalos no necesitan ser disjuntos por pares ni se requiere que se intersequen solo en los puntos finales. Incluso es posible que para todos ${\displaystyle \left[a_{n},b_{n}\right]\subseteq \left[a_{n+1},b_{n+1}\right]}$ ${\displaystyle n}$

Referencias

1. Froda, Alexandre (3 de diciembre de 1929). Sur la Distribution des propriétés de voisinage desfunctions de variables réelles (PDF) (Tesis). París: Hermann. JFM  55.0742.02.
2. Jean Gaston Darboux , Mémoire sur les fonctions discontinus, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 2-ème série, t. IV, 1875, Capítulo VI.
3. Nicolescu, Dinculeanu y Marcus 1971, pág. 213.
4. Rudin 1964, Def. 4.26, págs. 81–82.
5. Rudin 1964, Corolario, pág. 83.
6. Apóstol 1957, págs. 162–3.
7. Hobson 1907, pág. 245.
8. Apóstol 1957.
9. Riesz y Sz.-Nagy 1990.
10. Riesz y Sz.-Nagy 1990, págs. 13-15
11. Saks 1937.
12. Natanson 1955.
13. Lojasiewicz 1988.
14. Para más detalles, véase
    • Riesz y Sz.-Nagy 1990
    • Joven y joven 1911
    • de Neumann 1950
    • Buenas 1961
    • Lipinski 1961
    • Rublo 1963
    • Komornik 2016
15. Burkill 1951, págs. 10-11.
16. Rublo 1963
17. Komornik 2016
18. Este es un ejemplo simple de cómo la dimensión de cobertura de Lebesgue se aplica en una dimensión real; véase por ejemplo Edgar (2008).

Bibliografía

• Apostol, Tom M. (1957). Análisis matemático: un enfoque moderno para el cálculo avanzado. Addison-Wesley . págs. 162–163. MR  0087718.
• Boas, Ralph P. Jr. (1961). "Diferenciabilidad de funciones de salto" (PDF) . Colloq. Math . 8 : 81–82. doi :10.4064/cm-8-1-81-82. MR  0126513.
• Boas, Ralph P. Jr. (1996). "22. Funciones monótonas". Introducción a las funciones reales. Monografías matemáticas de Carus. vol. 13 (Cuarta ed.). MAA . págs. 158-174. ISBN 978-1-61444-013-0.(se requiere suscripción)
• Burkill, JC (1951). La integral de Lebesgue. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 40. Cambridge University Press . MR  0045196.
• Edgar, Gerald A. (2008). "Dimensión topológica". Medida, topología y geometría fractal . Textos de pregrado en matemáticas (segunda edición). Springer-Verlag . pp. 85–114. ISBN 978-0-387-74748-4.Sr. 2356043  .
• Gelbaum, Bernard R. ; Olmsted, John MH (1964), "18: Una función monótona cuyos puntos de discontinuidad forman un conjunto numerable arbitrario (posiblemente denso)", Contraejemplos en análisis , The Mathesis Series, San Francisco, Londres, Ámsterdam: Holden-Day, pág. 28, MR  0169961; reimpreso por Dover, 2003
• Hobson, Ernest W. (1907). La teoría de funciones de una variable real y sus series de Fourier. Cambridge University Press . pág. 245.
• Komornik, Vilmos (2016). "4. Funciones monótonas". Lecciones sobre análisis funcional y la integral de Lebesgue . Universitext. Springer-Verlag . pp. 151–164. ISBN 978-1-4471-6810-2.Señor 3496354  .
• Lipinski, JS (1961). "Una simple demostración del teoría sobre la derivación de una función de sauts" (PDF) . Coloq. Matemáticas. (en francés). 8 (2): 251–255. doi :10.4064/cm-8-2-251-255. SEÑOR  0158036.
• Łojasiewicz, Stanisław (1988). "1. Funciones de variación acotada". Introducción a la teoría de funciones reales. Traducido por GH Lawden (tercera edición). Chichester: John Wiley & Sons . pp. 10–30. ISBN 0-471-91414-2.Sr. 0952856  .
• Natanson, Isidor P. (1955), "III. Funciones de variación finita. La integral de Stieltjes", Teoría de funciones de una variable real, vol. 1, traducido por Leo F. Boron, Nueva York: Frederick Ungar, págs. 204–206, MR  0067952
• Nicolescu, M .; Dinculeanu, N.; Marcus, S. (1971), Analizǎ Matematică (en rumano), vol. I (4ª ed.), Bucarest: Editura Didactică şi Pedagogică, p. 783, señor  0352352
• Olmsted, John MH (1959), Variables reales: Introducción a la teoría de funciones , The Appleton-Century Mathematics Series, Nueva York: Appleton-Century-Crofts, Ejercicio 29, pág. 59, MR  0117304
• Riesz, Frigyes ; Sz.-Nagy, Béla (1990). "Funciones Saltus". Análisis funcional . Traducido por Leo F. Boro. Libros de Dover. págs. 13-15. ISBN 0-486-66289-6.Señor 1068530  .Reimpresión del original de 1955.
• Saks, Stanisław (1937). "III. Funciones de variación acotada y la integral de Lebesgue-Stieltjes" (PDF) . Teoría de la integral . Monografie Matematyczne. Vol. VII. Traducido por LC Young. Nueva York: GE Stechert. págs. 96–98.
• Rubel, Lee A. (1963). "Diferenciabilidad de funciones monótonas" (PDF) . Colloq. Math . 10 (2): 277–279. doi :10.4064/cm-10-2-277-279. MR  0154954.
• Rudin, Walter (1964), Principios del análisis matemático (2.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill, MR  0166310
• von Neumann, John (1950). "IX. Funciones monótonas". Operadores funcionales. I. Medidas e integrales . Annals of Mathematics Studies. Vol. 21. Princeton University Press . págs. 63–82. doi :10.1515/9781400881895. ISBN. 978-1-4008-8189-5.Sr. 0032011  .
• Young, William Henry; Young, Grace Chisholm (1911). "Sobre la existencia de un coeficiente diferencial". Proc. London Math. Soc. 2. 9 (1): 325–335. doi :10.1112/plms/s2-9.1.325.