La geometría (del griego antiguo γεωμετρία ; geo- " tierra", -metron "medida") surgió como el campo del conocimiento que se ocupa de las relaciones espaciales. La geometría fue uno de los dos campos de las matemáticas premodernas , siendo el otro el estudio de los números ( aritmética ).
La geometría clásica se centraba en las construcciones con regla y compás . La geometría fue revolucionada por Euclides , quien introdujo el rigor matemático y el método axiomático que todavía se utiliza en la actualidad. Su libro, Los elementos, es considerado ampliamente el libro de texto más influyente de todos los tiempos y era conocido por todas las personas cultas en Occidente hasta mediados del siglo XX. [1]
En la época moderna, los conceptos geométricos se han generalizado hasta alcanzar un alto nivel de abstracción y complejidad, y se han sometido a los métodos del cálculo y el álgebra abstracta, de modo que muchas ramas modernas de la disciplina apenas son reconocibles como descendientes de la geometría primitiva. (Véase Áreas de las matemáticas y Geometría algebraica .)
Los primeros registros de los inicios de la geometría se remontan a los pueblos primitivos, como el antiguo valle del Indo (véase matemáticas de Harappa ) y la antigua Babilonia (véase matemáticas babilónicas ) de alrededor del 3000 a. C. La geometría primitiva era una colección de principios descubiertos empíricamente sobre longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, que se desarrollaron para satisfacer algunas necesidades prácticas en topografía , construcción , astronomía y diversas artesanías. Entre estos principios había algunos sorprendentemente sofisticados, y un matemático moderno podría tener dificultades para derivar algunos de ellos sin el uso del cálculo y el álgebra. Por ejemplo, tanto los egipcios como los babilonios conocían versiones del teorema de Pitágoras unos 1500 años antes de que Pitágoras y los Sulba Sutras indios alrededor del 800 a. C. contuvieran los primeros enunciados del teorema; los egipcios tenían una fórmula correcta para el volumen de un tronco de pirámide cuadrada.
Los antiguos egipcios sabían que podían aproximar el área de un círculo de la siguiente manera: [2]
El problema 50 del papiro de Ahmes utiliza estos métodos para calcular el área de un círculo, según una regla según la cual el área es igual al cuadrado de 8/9 del diámetro del círculo. Esto supone que π es 4×(8/9) 2 (o 3,160493...), con un error de poco más del 0,63 por ciento. Este valor era ligeramente menos preciso que los cálculos de los babilonios (25/8 = 3,125, con una precisión del 0,53 por ciento), pero no fue superado hasta la aproximación de Arquímedes de 211875/67441 = 3,14163, que tenía un error de poco más de 1 en 10.000.
Ahmes conocía el valor moderno 22/7 como aproximación para π y lo utilizó para dividir un hekat, hekat x 22/xx 7/22 = hekat; [ cita requerida ] sin embargo, Ahmes continuó utilizando el valor tradicional 256/81 para π para calcular su volumen hekat encontrado en un cilindro.
El problema 48 implicó utilizar un cuadrado con un lado de 9 unidades. Este cuadrado se cortó en una cuadrícula de 3x3. La diagonal de los cuadrados de las esquinas se utilizó para hacer un octógono irregular con un área de 63 unidades. Esto dio un segundo valor para π de 3,111...
Los dos problemas juntos indican un rango de valores para π entre 3,11 y 3,16.
El problema 14 del Papiro Matemático de Moscú ofrece el único ejemplo antiguo de cómo encontrar el volumen del tronco de una pirámide, describiendo la fórmula correcta:
donde a y b son las longitudes de los lados de la base y la parte superior de la pirámide truncada y h es la altura.
Los babilonios conocían las reglas generales para medir áreas y volúmenes. Midieron la circunferencia de un círculo como tres veces el diámetro y el área como un doceavo del cuadrado de la circunferencia, lo que sería correcto si π se estima como 3. El volumen de un cilindro se tomaba como el producto de la base por la altura, sin embargo, el volumen del tronco de un cono o una pirámide cuadrada se tomaba incorrectamente como el producto de la altura por la mitad de la suma de las bases. El teorema de Pitágoras también era conocido por los babilonios. Además, hubo un descubrimiento reciente en el que una tablilla usaba π como 3 y 1/8. Los babilonios también son conocidos por la milla babilónica, que era una medida de distancia equivalente a unas siete millas actuales. Esta medida de distancias finalmente se convirtió en una milla de tiempo utilizada para medir el viaje del Sol, por lo tanto, representando el tiempo. [3] Ha habido descubrimientos recientes que muestran que los antiguos babilonios pueden haber descubierto la geometría astronómica casi 1400 años antes que los europeos. [4]
El período védico indio tenía una tradición de geometría, expresada principalmente en la construcción de altares elaborados. Los primeros textos indios (primer milenio a. C.) sobre este tema incluyen el Satapatha Brahmana y los Śulba Sūtras . [5] [6] [7]
Los Śulba Sūtras han sido descritos como "la expresión verbal existente más antigua del Teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya era conocido por los antiguos babilonios". [8] Hacen uso de ternas pitagóricas , [9] [10] que son casos particulares de ecuaciones diofánticas . [11]
Según el matemático SG Dani, la tablilla cuneiforme babilónica Plimpton 322 escrita alrededor de 1850 a. C. [12] "contiene quince ternas pitagóricas con entradas bastante grandes, incluyendo (13500, 12709, 18541) que es una terna primitiva, [13] indicando, en particular, que había un conocimiento sofisticado sobre el tema" en Mesopotamia en 1850 a. C. [14] "Dado que estas tablillas son anteriores al período de los Sulbasutras por varios siglos, teniendo en cuenta la apariencia contextual de algunas de las ternas, es razonable esperar que hubiera habido un conocimiento similar en la India". [14] Dani continúa diciendo: [15]
Como el objetivo principal de los Sulvasutras era describir las construcciones de altares y los principios geométricos involucrados en ellas, el tema de las ternas pitagóricas, incluso si hubiera sido bien comprendido, aún podría no haber aparecido en los Sulvasutras . La aparición de las ternas en los Sulvasutras es comparable a las matemáticas que uno puede encontrar en un libro introductorio sobre arquitectura u otra área aplicada similar, y no correspondería directamente al conocimiento general sobre el tema en ese momento. Dado que, lamentablemente, no se han encontrado otras fuentes contemporáneas, es posible que nunca sea posible resolver esta cuestión satisfactoriamente.
Tales (635–543 a. C.) de Mileto (hoy en el suroeste de Turquía), fue el primero a quien se le atribuye la deducción en matemáticas. Hay cinco proposiciones geométricas para las que escribió pruebas deductivas, aunque sus pruebas no han sobrevivido. Pitágoras (582–496 a. C.) de Jonia, y más tarde, Italia, entonces colonizada por los griegos, puede haber sido un estudiante de Tales, y viajó a Babilonia y Egipto . El teorema que lleva su nombre puede no haber sido su descubrimiento, pero probablemente fue uno de los primeros en dar una prueba deductiva del mismo. Reunió a un grupo de estudiantes a su alrededor para estudiar matemáticas, música y filosofía, y juntos descubrieron la mayor parte de lo que los estudiantes de secundaria aprenden hoy en sus cursos de geometría. Además, hicieron el profundo descubrimiento de las longitudes inconmensurables y los números irracionales .
Platón (427–347 a. C.) fue un filósofo muy estimado por los griegos. Existe una historia que dice que hizo inscribir sobre la entrada de su famosa escuela: "Que nadie que ignore la geometría entre aquí". Sin embargo, la historia se considera falsa. [16] Aunque no era un matemático, sus opiniones sobre las matemáticas tuvieron una gran influencia. Los matemáticos aceptaron su creencia de que la geometría no debería utilizar más herramientas que el compás y la regla, nunca instrumentos de medición como una regla marcada o un transportador , porque estas eran herramientas de un trabajador, no dignas de un erudito. Este dictamen condujo a un estudio profundo de las posibles construcciones con compás y regla , y tres problemas clásicos de construcción: cómo usar estas herramientas para trisecar un ángulo , para construir un cubo con el doble del volumen de un cubo dado y para construir un cuadrado con un área igual a un círculo dado. Las pruebas de la imposibilidad de estas construcciones, finalmente logradas en el siglo XIX, condujeron a importantes principios sobre la estructura profunda del sistema de números reales. Aristóteles (384-322 a. C.), el discípulo más destacado de Platón, escribió un tratado sobre los métodos de razonamiento utilizados en las pruebas deductivas (véase Lógica ) que no fue mejorado sustancialmente hasta el siglo XIX.
Euclides (c. 325–265 a. C.), de Alejandría , probablemente estudiante de la Academia fundada por Platón, escribió un tratado en 13 libros (capítulos), titulado Los elementos de la geometría , en el que presentó la geometría en una forma axiomática ideal , que llegó a conocerse como geometría euclidiana . El tratado no es un compendio de todo lo que los matemáticos helenísticos sabían en ese momento sobre geometría; el propio Euclides escribió ocho libros más avanzados sobre geometría. Sabemos por otras referencias que el de Euclides no fue el primer libro de texto de geometría elemental, pero era tan superior que los otros cayeron en desuso y se perdieron. Fue llevado a la universidad de Alejandría por Ptolomeo I , rey de Egipto.
Los Elementos comenzaban con definiciones de términos, principios geométricos fundamentales (llamados axiomas o postulados ) y principios cuantitativos generales (llamados nociones comunes ) a partir de los cuales se podía deducir lógicamente todo el resto de la geometría. A continuación se presentan sus cinco axiomas, un tanto parafraseados para que sean más fáciles de leer en inglés.
Los conceptos que ahora se entienden como álgebra fueron expresados geométricamente por Euclides, un método conocido como álgebra geométrica griega .
Arquímedes (287–212 a. C.), de Siracusa , Sicilia , cuando era una ciudad-estado griega , fue uno de los matemáticos más famosos del período helenístico . Es conocido por su formulación de un principio hidrostático (conocido como principio de Arquímedes ) y por sus trabajos sobre geometría, incluyendo Medición del círculo y Sobre conoides y esferoides . Su obra Sobre los cuerpos flotantes es el primer trabajo conocido sobre hidrostática, de la cual Arquímedes es reconocido como el fundador. Las traducciones renacentistas de sus obras, incluidos los comentarios antiguos, fueron enormemente influyentes en el trabajo de algunos de los mejores matemáticos del siglo XVII, en particular René Descartes y Pierre de Fermat . [17]
Después de Arquímedes, las matemáticas helenísticas comenzaron a declinar. Quedaban algunas estrellas menores por venir, pero la edad de oro de la geometría había terminado. Proclo (410-485), autor del Comentario al primer libro de Euclides , fue uno de los últimos protagonistas importantes de la geometría helenística. Era un geómetra competente, pero lo que es más importante, fue un magnífico comentarista de las obras que lo precedieron. Gran parte de ese trabajo no sobrevivió hasta los tiempos modernos y solo lo conocemos a través de su comentario. La República y el Imperio romanos que sucedieron y absorbieron a las ciudades-estado griegas produjeron excelentes ingenieros, pero ningún matemático notable.
La gran Biblioteca de Alejandría fue posteriormente incendiada. Existe un creciente consenso entre los historiadores sobre la posibilidad de que la Biblioteca de Alejandría sufriera varios acontecimientos destructivos, pero que la destrucción de los templos paganos de Alejandría a finales del siglo IV fue probablemente la más grave y definitiva. La evidencia de esa destrucción es la más definitiva y segura. La invasión de César bien pudo haber provocado la pérdida de unos 40.000-70.000 rollos en un almacén adyacente al puerto (como sostiene Luciano Canfora , probablemente eran copias producidas por la Biblioteca destinadas a la exportación), pero es poco probable que haya afectado a la Biblioteca o al Museo, dado que hay abundante evidencia de que ambos existieron más tarde. [18]
Las guerras civiles, la disminución de las inversiones en mantenimiento y adquisición de nuevos pergaminos y, en general, el declive del interés por las actividades no religiosas probablemente contribuyeron a la reducción del material disponible en la Biblioteca, especialmente en el siglo IV. El Serapeum fue destruido sin duda por Teófilo en el año 391, y el Museo y la Biblioteca pueden haber sido víctimas de la misma campaña.
En el manuscrito Bakhshali hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito Bakhshali también "emplea un sistema de valor decimal con un punto para el cero". [19] El Aryabhatiya (499) de Aryabhata incluye el cálculo de áreas y volúmenes.
Brahmagupta escribió su obra astronómica Brāhma Sphuṭa Siddhānta en 628. El capítulo 12, que contiene 66 versos en sánscrito , se dividió en dos secciones: «operaciones básicas» (incluidas raíces cúbicas, fracciones, razones y proporciones, y trueque) y «matemáticas prácticas» (incluidas mezclas, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilamiento de grano). [20] En la última sección, enunció su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico : [20]
Teorema de Brahmagupta: Si un cuadrilátero cíclico tiene diagonales perpendiculares entre sí, entonces la línea perpendicular trazada desde el punto de intersección de las diagonales hasta cualquier lado del cuadrilátero siempre biseca el lado opuesto.
El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron ), así como una descripción completa de los triángulos racionales ( es decir , triángulos con lados racionales y áreas racionales).
Fórmula de Brahmagupta: El área, A , de un cuadrilátero cíclico con lados de longitudes a , b , c , d , respectivamente, está dada por
donde s , el semiperímetro , dado por:
Teorema de Brahmagupta sobre triángulos racionales: Un triángulo con lados racionales y área racional tiene la forma:
para algunos números racionales y . [21]
Parameshvara Nambudiri fue el primer matemático que dio una fórmula para el radio del círculo que circunscribe un cuadrilátero cíclico. [22] La expresión se atribuye a veces a Lhuilier [1782], 350 años después. Con los lados del cuadrilátero cíclico siendo a, b, c y d , el radio R del círculo circunscrito es:
El primer trabajo definitivo (o al menos el más antiguo existente) sobre geometría en China fue el Mo Jing , el canon mohista del filósofo temprano Mozi (470-390 a. C.). Fue compilado años después de su muerte por sus seguidores alrededor del año 330 a. C. [23] Aunque el Mo Jing es el libro más antiguo existente sobre geometría en China, existe la posibilidad de que existiera material escrito incluso más antiguo. Sin embargo, debido a la infame quema de los libros en una maniobra política del gobernante de la dinastía Qin, Qin Shihuang (r. 221-210 a. C.), se purgaron multitud de literatura escrita creada antes de su tiempo. Además, el Mo Jing presenta conceptos geométricos en matemáticas que quizás son demasiado avanzados como para no haber tenido una base geométrica previa o antecedentes matemáticos sobre los que trabajar.
El Mo Jing describió varios aspectos de muchos campos asociados con la ciencia física y también proporcionó una pequeña cantidad de información sobre matemáticas. Proporcionó una definición "atómica" del punto geométrico, afirmando que una línea se divide en partes, y la parte que no tiene partes restantes (es decir, no se puede dividir en partes más pequeñas) y, por lo tanto, forma el extremo final de una línea es un punto. [23] Al igual que la primera y tercera definiciones de Euclides y el "comienzo de una línea" de Platón , el Mo Jing afirmó que "un punto puede estar al final (de una línea) o en su comienzo como una presentación de cabeza en el parto. (En cuanto a su invisibilidad) no hay nada similar a eso". [24] Similar a los atomistas de Demócrito , el Mo Jing afirmó que un punto es la unidad más pequeña y no se puede cortar por la mitad, ya que la "nada" no se puede dividir por la mitad. [24] Afirmó que dos líneas de igual longitud siempre terminarán en el mismo lugar, [24] al tiempo que proporcionó definiciones para la comparación de longitudes y para los paralelos , [25] junto con los principios del espacio y del espacio acotado. [26] También describió el hecho de que los planos sin la cualidad del espesor no se pueden apilar ya que no pueden tocarse mutuamente. [27] El libro proporcionó definiciones de circunferencia, diámetro y radio, junto con la definición de volumen. [28]
El período de la dinastía Han (202 a. C. - 220 d. C.) de China fue testigo de un nuevo florecimiento de las matemáticas. Uno de los textos matemáticos chinos más antiguos que presenta progresiones geométricas fue el Suàn shù shū de 186 a. C., durante la era Han occidental. El matemático, inventor y astrónomo Zhang Heng (78-139 d. C.) utilizó fórmulas geométricas para resolver problemas matemáticos. Aunque se dieron estimaciones aproximadas para pi ( π ) en el Zhou Li (compilado en el siglo II a. C.), [29] fue Zhang Heng quien fue el primero en hacer un esfuerzo concertado para crear una fórmula más precisa para pi. Zhang Heng aproximó pi como 730/232 (o aproximadamente 3,1466), aunque utilizó otra fórmula de pi para encontrar un volumen esférico, utilizando la raíz cuadrada de 10 (o aproximadamente 3,162) en su lugar. Zu Chongzhi (429-500 d. C.) mejoró la precisión de la aproximación de pi entre 3,1415926 y 3,1415927, siendo 355 ⁄ 113 (密率, Milü, aproximación detallada) y 22 ⁄ 7 (约率, Yuelü, aproximación aproximada) las otras aproximaciones notables. [30] En comparación con trabajos posteriores, la fórmula para pi dada por el matemático francés Franciscus Vieta (1540-1603) se encontraba a medio camino entre las aproximaciones de Zu.
Los Nueve capítulos sobre el arte matemático , cuyo título apareció por primera vez en 179 d. C. en una inscripción de bronce, fue editado y comentado por el matemático del siglo III Liu Hui del reino de Cao Wei . Este libro incluía muchos problemas en los que se aplicaba la geometría, como encontrar áreas de superficie para cuadrados y círculos, los volúmenes de sólidos en varias formas tridimensionales e incluía el uso del teorema de Pitágoras . El libro proporcionaba una prueba ilustrada del teorema de Pitágoras, [31] contenía un diálogo escrito entre el anterior duque de Zhou y Shang Gao sobre las propiedades del triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras, al tiempo que también hacía referencia al gnomon astronómico , el círculo y el cuadrado, así como a medidas de alturas y distancias. [32] El editor Liu Hui listó pi como 3.141014 usando un polígono de 192 lados , y luego calculó pi como 3.14159 usando un polígono de 3072 lados. Esto fue más preciso que el contemporáneo de Liu Hui , Wang Fan , un matemático y astrónomo de Wu Oriental , que traduciría pi como 3.1555 usando 142 ⁄ 45. [33] Liu Hui también escribió sobre topografía matemática para calcular medidas de distancia de profundidad, altura, ancho y área de superficie .En términos de geometría sólida, descubrió que una cuña con base rectangular y ambos lados inclinados podría descomponerse en una pirámide y una cuña tetraédrica . [34] También descubrió que una cuña con base trapezoidal y ambos lados inclinados podría convertirse en dos cuñas tetraédricas separadas por una pirámide. [34] Además, Liu Hui describió el principio de Cavalieri sobre el volumen, así como la eliminación gaussiana . De los Nueve Capítulos , enumeró las siguientes fórmulas geométricas que se conocían en la época de la antigua dinastía Han (202 a. C. – 9 d. C.).
Áreas para el [35]
Volúmenes para el [34]
Continuando el legado geométrico de la antigua China, vinieron muchas figuras posteriores, entre ellas el famoso astrónomo y matemático Shen Kuo (1031-1095 d.C.), Yang Hui (1238-1298) que descubrió el Triángulo de Pascal , Xu Guangqi (1562-1633) y muchos otros.
Thābit ibn Qurra , utilizando lo que llamó el método de reducción y composición, proporcionó dos pruebas generales diferentes del teorema de Pitágoras para todos los triángulos , antes de las cuales solo existían pruebas para el teorema para los casos especiales de un triángulo rectángulo especial . [36]
Un artículo de 2007 en la revista Science sugirió que las teselas girih poseían propiedades consistentes con teselas fractales autosimilares cuasicristalinas como las teselas de Penrose . [37] [38]
La transmisión de los clásicos griegos a la Europa medieval a través de la literatura árabe de los siglos IX y X (la « Edad de Oro islámica ») comenzó en el siglo X y culminó con las traducciones latinas del siglo XII . Enrique Aristipo (fallecido en 1162) trajo a Sicilia una copia del Almagesto de Ptolomeo como regalo del emperador al rey Guillermo I (r. 1154-1166). Un estudiante anónimo de Salerno viajó a Sicilia y tradujo el Almagesto , así como varias obras de Euclides, del griego al latín. [39] Aunque los sicilianos generalmente traducían directamente del griego, cuando los textos griegos no estaban disponibles, lo hacían del árabe. Eugenio de Palermo (fallecido en 1202) tradujo la Óptica de Ptolomeo al latín, aprovechando su conocimiento de los tres idiomas en la tarea. [40] Se volvieron a aprender los rigurosos métodos deductivos de geometría encontrados en los Elementos de geometría de Euclides, y continuó un mayor desarrollo de la geometría en los estilos de Euclides ( geometría euclidiana ) y Khayyam ( geometría algebraica ), lo que dio como resultado una abundancia de nuevos teoremas y conceptos, muchos de ellos muy profundos y elegantes.
En el arte renacentista del siglo XIV y XV se produjeron avances en el tratamiento de la perspectiva que fueron más allá de lo que se había logrado en la Antigüedad. En la arquitectura renacentista del Quattrocento se exploraron conceptos de orden arquitectónico y se formularon reglas. Un excelente ejemplo de ello es la Basílica de San Lorenzo en Florencia de Filippo Brunelleschi (1377-1446). [41]
En 1413, Filippo Brunelleschi demostró el método geométrico de la perspectiva, que hoy utilizan los artistas, al pintar los contornos de varios edificios florentinos sobre un espejo. Poco después, casi todos los artistas de Florencia y de Italia utilizaron la perspectiva geométrica en sus pinturas, [42] en particular Masolino da Panicale y Donatello . Melozzo da Forlì fue el primero en utilizar la técnica del escorzo ascendente (en Roma, Loreto , Forlì y otros lugares), y fue célebre por ello. La perspectiva no solo era una forma de mostrar profundidad, sino también un nuevo método de composición de una pintura. Las pinturas comenzaron a mostrar una sola escena unificada, en lugar de una combinación de varias.
Como lo demuestra la rápida proliferación de pinturas en perspectiva precisa en Florencia, Brunelleschi probablemente comprendió (con la ayuda de su amigo el matemático Toscanelli ), [43] pero no publicó, las matemáticas detrás de la perspectiva. Décadas más tarde, su amigo Leon Battista Alberti escribió De pictura (1435/1436), un tratado sobre métodos adecuados para mostrar la distancia en la pintura basado en la geometría euclidiana. Alberti también se formó en la ciencia de la óptica a través de la escuela de Padua y bajo la influencia de Biagio Pelacani da Parma , quien estudió la Óptica de Alhazen .
Piero della Francesca profundizó en Della Pittura en su De Prospectiva Pingendi en la década de 1470. Alberti se había limitado a figuras en el plano del suelo y a dar una base general para la perspectiva. Della Francesca lo desarrolló, cubriendo explícitamente los sólidos en cualquier área del plano del cuadro. Della Francesca también inició la práctica, ahora común, de usar figuras ilustradas para explicar los conceptos matemáticos, lo que hizo que su tratado fuera más fácil de entender que el de Alberti. Della Francesca también fue el primero en dibujar con precisión los sólidos platónicos tal como aparecerían en perspectiva.
La perspectiva permaneció, durante un tiempo, en el dominio de Florencia. Jan van Eyck , entre otros, fue incapaz de crear una estructura consistente para las líneas convergentes en pinturas, como en El retrato de Arnolfini de Londres , porque no era consciente del gran avance teórico que se estaba produciendo en ese momento en Italia. Sin embargo, logró efectos muy sutiles mediante manipulaciones de escala en sus interiores. Gradualmente, y en parte a través del movimiento de academias de las artes, las técnicas italianas se convirtieron en parte de la formación de artistas en toda Europa y, más tarde, en otras partes del mundo. La culminación de estas tradiciones renacentistas encuentra su síntesis definitiva en la investigación del arquitecto, geómetra y óptico Girard Desargues sobre la perspectiva, la óptica y la geometría proyectiva.
El Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci (c. 1490) [44] representa a un hombre en dos posiciones superpuestas con los brazos y las piernas separados e inscritos en un círculo y un cuadrado. El dibujo se basa en las correlaciones de las proporciones humanas ideales con la geometría descritas por el antiguo arquitecto romano Vitruvio en el Libro III de su tratado De Architectura .
A principios del siglo XVII, hubo dos desarrollos importantes en la geometría. El primero y más importante fue la creación de la geometría analítica , o geometría con coordenadas y ecuaciones , por René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665). Esta fue un precursor necesario para el desarrollo del cálculo y una ciencia cuantitativa precisa de la física . El segundo desarrollo geométrico de este período fue el estudio sistemático de la geometría proyectiva por Girard Desargues (1591-1661). La geometría proyectiva es el estudio de la geometría sin medición, solo el estudio de cómo los puntos se alinean entre sí. Hubo algunos trabajos tempranos en esta área por parte de geómetras helenísticos, en particular Pappus (c. 340). El mayor florecimiento del campo ocurrió con Jean-Victor Poncelet (1788-1867).
A finales del siglo XVII, el cálculo fue desarrollado independientemente y casi simultáneamente por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Este fue el comienzo de un nuevo campo de las matemáticas que ahora se llama análisis . Aunque no es en sí una rama de la geometría, es aplicable a la geometría y resolvió dos familias de problemas que habían sido casi intratables durante mucho tiempo: encontrar líneas tangentes a curvas impares y encontrar áreas encerradas por esas curvas. Los métodos del cálculo redujeron estos problemas en su mayoría a cuestiones sencillas de cálculo.
El antiquísimo problema de demostrar el quinto postulado de Euclides, el " postulado de las paralelas ", a partir de sus cuatro primeros postulados, nunca había sido olvidado. Poco después de Euclides, se dieron muchos intentos de demostración, pero más tarde se descubrió que todos eran defectuosos, al permitir que en el razonamiento se incluyera algún principio que no se había demostrado a partir de los cuatro primeros postulados. Aunque Omar Khayyám tampoco tuvo éxito en la demostración del postulado de las paralelas, sus críticas a las teorías de Euclides sobre las paralelas y su demostración de las propiedades de las figuras en geometrías no euclidianas contribuyeron al desarrollo final de la geometría no euclidiana . En 1700 se había descubierto mucho sobre lo que se puede demostrar a partir de los cuatro primeros postulados y cuáles eran los obstáculos al intentar demostrar el quinto. Saccheri , Lambert y Legendre realizaron un excelente trabajo sobre el problema en el siglo XVIII, pero aún así no tuvieron éxito. A principios del siglo XIX, Gauss , Johann Bolyai y Lobachevsky , cada uno de ellos de forma independiente, adoptaron un enfoque diferente. Al empezar a sospechar que era imposible demostrar el postulado de las paralelas, se propusieron desarrollar una geometría autoconsistente en la que dicho postulado fuera falso. En esto tuvieron éxito, creando así la primera geometría no euclidiana. En 1854, Bernhard Riemann , un estudiante de Gauss, había aplicado métodos de cálculo en un estudio innovador de la geometría intrínseca (autónoma) de todas las superficies lisas y, de ese modo, encontró una geometría no euclidiana diferente. Este trabajo de Riemann se convirtió más tarde en fundamental para la teoría de la relatividad de Einstein .
Quedaba por demostrar matemáticamente que la geometría no euclidiana era tan autoconsistente como la geometría euclidiana, y esto fue logrado por primera vez por Beltrami en 1868. Con esto, la geometría no euclidiana fue establecida en un pie de igualdad matemática con la geometría euclidiana.
Si bien ahora se sabía que eran matemáticamente posibles diferentes teorías geométricas, la pregunta seguía siendo: "¿Cuál de estas teorías es correcta para nuestro espacio físico?" El trabajo matemático reveló que esta pregunta debe responderse mediante experimentación física, no razonamiento matemático, y descubrió la razón por la cual la experimentación debe involucrar distancias inmensas (interestelares, no terrestres). Con el desarrollo de la teoría de la relatividad en física, esta pregunta se volvió mucho más complicada.
Todo el trabajo relacionado con el Postulado de las Paralelas reveló que era bastante difícil para un geómetra separar su razonamiento lógico de su comprensión intuitiva del espacio físico y, además, reveló la importancia crítica de hacerlo. Un examen cuidadoso había descubierto algunas deficiencias lógicas en el razonamiento de Euclides y algunos principios geométricos no enunciados a los que Euclides a veces apelaba. Esta crítica era paralela a la crisis que se estaba produciendo en el cálculo y el análisis con respecto al significado de procesos infinitos como la convergencia y la continuidad. En geometría, había una clara necesidad de un nuevo conjunto de axiomas, que fuera completo y que de ninguna manera se basara en imágenes que dibujamos o en nuestra intuición del espacio. Dichos axiomas, ahora conocidos como axiomas de Hilbert , fueron propuestos por David Hilbert en 1894 en su disertación Grundlagen der Geometrie ( Fundamentos de la geometría ).
A mediados del siglo XVIII, se hizo evidente que ciertas progresiones del razonamiento matemático se repetían cuando se estudiaban ideas similares en la línea numérica, en dos dimensiones y en tres dimensiones. Así, se creó el concepto general de espacio métrico para que el razonamiento pudiera realizarse de forma más general y luego aplicarse a casos especiales. Este método de estudio de los conceptos relacionados con el cálculo y el análisis llegó a conocerse como análisis situs y, más tarde, como topología . Los temas importantes en este campo eran las propiedades de las figuras más generales, como la conectividad y los límites, en lugar de propiedades como la rectitud y la igualdad precisa de las medidas de longitud y ángulo, que habían sido el foco de la geometría euclidiana y no euclidiana. La topología pronto se convirtió en un campo separado de gran importancia, en lugar de un subcampo de la geometría o el análisis.
En el siglo XIX, Ludwig Schläfli desarrolló el concepto general de espacio euclidiano , que extendió la geometría euclidiana más allá de las tres dimensiones. Descubrió todos los análogos de dimensiones superiores de los sólidos platónicos y descubrió que existen exactamente seis de esos politopos convexos regulares en dimensión cuatro y tres en todas las dimensiones superiores.
En 1878, William Kingdon Clifford introdujo lo que hoy se denomina álgebra geométrica , unificando los cuaterniones de William Rowan Hamilton con el álgebra de Hermann Grassmann y revelando la naturaleza geométrica de estos sistemas, especialmente en cuatro dimensiones. Las operaciones del álgebra geométrica tienen el efecto de reflejar, rotar, trasladar y mapear los objetos geométricos que se están modelando a nuevas posiciones.
Los avances en geometría algebraica incluyeron el estudio de curvas y superficies sobre cuerpos finitos , como lo demuestran los trabajos de, entre otros, André Weil , Alexander Grothendieck y Jean-Pierre Serre , así como sobre números reales o complejos. La geometría finita en sí, el estudio de espacios con un número finito de puntos, encontró aplicaciones en la teoría de la codificación y la criptografía . Con la llegada de la computadora, nuevas disciplinas como la geometría computacional o la geometría digital se ocupan de algoritmos geométricos, representaciones discretas de datos geométricos, etc.
