proceso de punto de veneno

Tipo de objeto matemático aleatorio

Una representación visual del proceso del punto de Poisson que comienza

En probabilidad , estadística y campos relacionados, un proceso de puntos de Poisson es un tipo de objeto matemático aleatorio que consta de puntos ubicados aleatoriamente en un espacio matemático con la característica esencial de que los puntos ocurren independientemente unos de otros. ^[1] El proceso de puntos de Poisson también se denomina medida aleatoria de Poisson , campo de puntos aleatorios de Poisson o campo de puntos de Poisson . Cuando el proceso se define en la recta real , a menudo se le llama simplemente proceso de Poisson.

Este proceso puntual tiene propiedades matemáticas convenientes, ^[2] lo que ha llevado a que se defina con frecuencia en el espacio euclidiano y se utilice como modelo matemático para procesos aparentemente aleatorios en numerosas disciplinas como la astronomía , ^[3] la biología , ^[4] la ecología, ^{[ 5]} geología, ^[6] sismología , ^[7] física , ^[8] economía, ^[9] procesamiento de imágenes , ^{[10] [11]} y telecomunicaciones. ^{[12] [13]}

El proceso lleva el nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson a pesar de que Poisson nunca había estudiado el proceso. Su nombre deriva del hecho de que si una colección de puntos aleatorios en algún espacio forma un proceso de Poisson, entonces el número de puntos en una región de tamaño finito es una variable aleatoria con distribución de Poisson . El proceso se descubrió de forma independiente y repetida en varios entornos, incluidos experimentos sobre desintegración radiactiva , llegadas de llamadas telefónicas y matemáticas actuariales . ^{[14] [15]}

El proceso del punto de Poisson a menudo se define en la línea real , donde puede considerarse como un proceso estocástico . En este contexto, se utiliza, por ejemplo, en la teoría de colas ^[16] para modelar eventos aleatorios, como la llegada de clientes a una tienda, llamadas telefónicas en una central o la aparición de terremotos, distribuidos en el tiempo. En el plano , el proceso puntual, también conocido como proceso espacial de Poisson , ^[17] puede representar las ubicaciones de objetos dispersos, como transmisores en una red inalámbrica , ^{[12] [18] [19] [20]} partículas que chocan en una detector, o árboles en un bosque. ^[21] En este entorno, el proceso se utiliza a menudo en modelos matemáticos y en los campos relacionados de procesos de puntos espaciales, ^[22] geometría estocástica , ^[1] estadística espacial ^{[22] [23]} y teoría de percolación continua . ^[24] El proceso del punto de Poisson se puede definir en espacios más abstractos . Más allá de las aplicaciones, el proceso del punto de Poisson es un objeto de estudio matemático por derecho propio. ^[2] En todos los entornos, el proceso de puntos de Poisson tiene la propiedad de que cada punto es estocásticamente independiente de todos los demás puntos del proceso, por lo que a veces se le llama proceso pura o completamente aleatorio. ^[25] Modelar un sistema como un proceso de Poisson es insuficiente cuando las interacciones punto a punto son demasiado fuertes (es decir, los puntos no son estocásticamente independientes). Un sistema de este tipo puede modelarse mejor con un proceso puntual diferente. ^[26]

El proceso puntual depende de un único objeto matemático que, según el contexto, puede ser una constante , una función localmente integrable o, en entornos más generales, una medida de radón . ^[27] En el primer caso, la constante, conocida como tasa o intensidad , es la densidad promedio de los puntos del proceso de Poisson ubicados en alguna región del espacio. El proceso puntual resultante se denomina proceso puntual de Poisson homogéneo o estacionario . ^[28] En el segundo caso, el proceso puntual se denomina proceso puntual de Poisson no homogéneo o no homogéneo , y la densidad promedio de puntos depende de la ubicación del espacio subyacente del proceso puntual de Poisson. ^[29] La palabra punto a menudo se omite, ^[2] pero hay otros procesos de objetos de Poisson que, en lugar de puntos, consisten en objetos matemáticos más complicados, como líneas y polígonos , y dichos procesos pueden basarse en el punto de Poisson. proceso. ^[30] Tanto los procesos de puntos de Poisson homogéneos como no homogéneos son casos particulares del proceso de renovación generalizado .

Resumen de definiciones

Dependiendo del entorno, el proceso tiene varias definiciones equivalentes ^[31] , así como definiciones de diversa generalidad debido a sus numerosas aplicaciones y caracterizaciones. ^[32] El proceso del punto de Poisson se puede definir, estudiar y utilizar en una dimensión, por ejemplo, en la línea real, donde se puede interpretar como un proceso de conteo o parte de un modelo de cola; ^{[33] [34]} en dimensiones superiores como el plano donde juega un papel en la geometría estocástica ^[1] y la estadística espacial ; ^[35] o en espacios matemáticos más generales. ^[36] En consecuencia, la notación, la terminología y el nivel de rigor matemático utilizados para definir y estudiar el proceso de puntos de Poisson y los procesos de puntos en general varían según el contexto. ^[37]

A pesar de todo esto, el proceso del punto de Poisson tiene dos propiedades clave (la propiedad de Poisson y la propiedad de independencia) que desempeñan un papel esencial en todos los entornos donde se utiliza el proceso del punto de Poisson. ^{[27] [38]} Las dos propiedades no son lógicamente independientes; de hecho, la distribución de Poisson de recuentos de puntos implica la propiedad de independencia, ^[a] mientras que en la dirección inversa se cumplen los supuestos de que: (i) el proceso puntual es simple, (ii) no tiene átomos fijos y (iii) es tan limitadamente finito como son requeridos. ^[39]

Distribución de Poisson del recuento de puntos.

Un proceso de puntos de Poisson se caracteriza mediante la distribución de Poisson . La distribución de Poisson es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria (llamada variable aleatoria de Poisson ) tal que la probabilidad de que sea igual está dada por: ${\textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N=n\}={\frac {\Lambda ^{n}}{n!}}e^{-\Lambda }}$

donde denota factorial y el parámetro determina la forma de la distribución. (De hecho, es igual al valor esperado de ). ${\textstyle n!}$ ${\textstyle \Lambda }$ ${\textstyle \Lambda }$ ${\textstyle N}$

Por definición, un proceso de puntos de Poisson tiene la propiedad de que el número de puntos en una región acotada del espacio subyacente del proceso es una variable aleatoria distribuida por Poisson. ^[38]

Independencia total

Considere una colección de subregiones acotadas y separadas del espacio subyacente. Por definición, el número de puntos de un proceso de puntos de Poisson en cada subregión acotada será completamente independiente de todas las demás.

Esta propiedad se conoce con varios nombres, como aleatoriedad completa , independencia completa , ^[40] o dispersión independiente ^{[41] [42]} y es común a todos los procesos de puntos de Poisson. En otras palabras, existe una falta de interacción entre las diferentes regiones y los puntos en general, ^[43] lo que motiva que el proceso de Poisson en ocasiones sea denominado proceso pura o completamente aleatorio. ^[40]

Proceso homogéneo de puntos de Poisson

Si un proceso de puntos de Poisson tiene un parámetro de la forma , donde es la medida de Lebesgue (es decir, asigna longitud, área o volumen a conjuntos) y es una constante, entonces el proceso de puntos se llama proceso de puntos de Poisson homogéneo o estacionario. El parámetro, llamado tasa o intensidad , está relacionado con el número esperado (o promedio) de puntos de Poisson existentes en alguna región acotada, ^{[44] [45]} donde la tasa generalmente se usa cuando el espacio subyacente tiene una dimensión. ^[44] El parámetro puede interpretarse como el número promedio de puntos por alguna unidad de extensión, como longitud , área, volumen o tiempo, dependiendo del espacio matemático subyacente, y también se denomina densidad media o tasa media ; ^[46] ver Terminología. ${\textstyle \Lambda =\nu \lambda }$ ${\textstyle \nu }$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \lambda }$

Interpretado como un proceso de conteo.

El proceso homogéneo del punto de Poisson, cuando se considera en la media línea positiva, se puede definir como un proceso de conteo , un tipo de proceso estocástico, que se puede denotar como . ^{[31] [34]} Un proceso de conteo representa el número total de ocurrencias o eventos que han sucedido hasta el momento inclusive . Un proceso de conteo es un proceso de conteo de Poisson homogéneo con velocidad si tiene las siguientes tres propiedades: ^{[31] [34]} ${\textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle \lambda >0}$

• ${\textstyle N(0)=0;}$
• tiene incrementos independientes ; y
• el número de eventos (o puntos) en cualquier intervalo de longitud es una variable aleatoria de Poisson con parámetro (o media) . ${\textstyle t}$ ${\textstyle \lambda t}$

La última propiedad implica:

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t)]=\lambda t.}$

En otras palabras, la probabilidad de que la variable aleatoria sea igual a viene dada por: ${\textstyle N(t)}$ ${\textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(t)=n\}={\frac {(\lambda t)^{n}}{n!}}e^{-\lambda t}.}$

El proceso de conteo de Poisson también se puede definir afirmando que las diferencias de tiempo entre eventos del proceso de conteo son variables exponenciales con media . ^[47] Las diferencias horarias entre los eventos o llegadas se conocen como tiempos entre llegadas ^[48] o interocurrencias . ^[47] ${\textstyle 1/\lambda }$

Interpretado como un proceso puntual sobre la recta real.

Interpretado como un proceso puntual , un proceso puntual de Poisson se puede definir sobre la recta real considerando el número de puntos del proceso en el intervalo . Para el proceso homogéneo de puntos de Poisson en la recta real con parámetro , la probabilidad de que este número aleatorio de puntos, escrito aquí como , sea igual a algún número de conteo viene dada por: ^[49] ${\textstyle (a,b]}$ ${\textstyle \lambda >0}$ ${\textstyle N(a,b]}$ ${\textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\lambda (b-a)]^{n}}{n!}}e^{-\lambda (b-a)},}$

Para algún número entero positivo , el proceso homogéneo del punto de Poisson tiene la distribución de dimensión finita dada por: ^[49] ${\textstyle k}$

${\displaystyle \Pr\{N(a_{i},b_{i}]=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {[\lambda (b_{i}-a_{i})]^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda (b_{i}-a_{i})},}$

donde los números reales . ${\textstyle a_{i}<b_{i}\leq a_{i+1}}$

En otras palabras, es una variable aleatoria de Poisson con media , donde . Además, el número de puntos en dos intervalos disjuntos cualesquiera, digamos, y son independientes entre sí, y esto se extiende a cualquier número finito de intervalos disjuntos. ^[49] En el contexto de la teoría de colas, se puede considerar un punto existente (en un intervalo) como un evento , pero esto es diferente a la palabra evento en el sentido de la teoría de la probabilidad. ^[b] Se deduce que es el número esperado de llegadas que se producen por unidad de tiempo. ^[34] ${\textstyle N(a,b]}$ ${\textstyle \lambda (b-a)}$ ${\textstyle a\leq b}$ ${\textstyle (a_{1},b_{1}]}$ ${\textstyle (a_{2},b_{2}]}$ ${\textstyle \lambda }$

Propiedades clave

La definición anterior tiene dos características importantes compartidas por los procesos de puntos de Poisson en general: ^{[49] [27]}

• el número de llegadas en cada intervalo finito tiene una distribución de Poisson;
• el número de llegadas en intervalos disjuntos son variables aleatorias independientes.

Además, tiene una tercera característica relacionada únicamente con el proceso homogéneo del punto de Poisson: ^[50]

• la distribución de Poisson del número de llegadas en cada intervalo sólo depende de la duración del intervalo . ${\textstyle (a+t,b+t]}$ ${\textstyle b-a}$

En otras palabras, para cualquier finito , la variable aleatoria es independiente de , por lo que también se le llama proceso de Poisson estacionario. ^[49] ${\textstyle t>0}$ ${\textstyle N(a+t,b+t]}$ ${\textstyle t}$

ley de los grandes números

La cantidad se puede interpretar como el número esperado o promedio de puntos que ocurren en el intervalo , a saber: ${\textstyle \lambda (b_{i}-a_{i})}$ ${\textstyle (a_{i},b_{i}]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [N(a_{i},b_{i}]]=\lambda (b_{i}-a_{i}),}$

donde denota el operador de expectativa . Es decir, el parámetro del proceso de Poisson coincide con la densidad de puntos. Además, el proceso homogéneo de puntos de Poisson se adhiere a su propia forma de ley (fuerte) de los grandes números. ^[51] Más específicamente, con probabilidad uno: ${\displaystyle \operatorname {E} }$ ${\textstyle \lambda }$

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }{\frac {N(t)}{t}}=\lambda ,}$

donde denota el límite de una función y es el número esperado de llegadas por unidad de tiempo. ${\textstyle \lim }$ ${\displaystyle \lambda }$

Propiedad sin memoria

La distancia entre dos puntos consecutivos de un proceso puntual sobre la recta real será una variable aleatoria exponencial con parámetro (o equivalentemente, media ). Esto implica que los puntos tienen la propiedad de no tener memoria : la existencia de un punto en un intervalo finito no afecta la probabilidad (distribución) de que existan otros puntos, ^{[52] [53]} pero esta propiedad no tiene equivalencia natural cuando se aplica el proceso de Poisson. se define en un espacio con mayores dimensiones. ^[54] ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle 1/\lambda }$

Orden y sencillez

A veces se dice que un proceso puntual con incrementos estacionarios es ordenado ^[55] o regular si: ^[56]

${\displaystyle \Pr\{N(t,t+\delta ]>1\}=o(\delta ),}$

donde se utiliza notación pequeña o . Un proceso puntual se denomina proceso puntual simple cuando la probabilidad de que cualquiera de sus dos puntos coincida en la misma posición, en el espacio subyacente, es cero. Para procesos puntuales en general en la recta real, la propiedad de orden implica que el proceso es simple, ^[57] que es el caso del proceso puntual homogéneo de Poisson. ^[58]

Caracterización de martingala

En la recta real, el proceso homogéneo de puntos de Poisson tiene una conexión con la teoría de las martingalas a través de la siguiente caracterización: un proceso puntual es el proceso homogéneo de puntos de Poisson si y sólo si

${\displaystyle N(-\infty ,t]-\lambda t,}$

es una martingala. ^{[59] [60]}

Relación con otros procesos

En la línea real, el proceso de Poisson es un tipo de proceso de Markov de tiempo continuo conocido como proceso de nacimiento , un caso especial del proceso de nacimiento-muerte (con sólo nacimientos y cero muertes). ^{[61] [62]} Se han definido procesos más complicados con la propiedad de Markov , como los procesos de llegada de Markov , donde el proceso de Poisson es un caso especial. ^[47]

Restringido a la media línea

Si el proceso homogéneo de Poisson se considera solo en la media línea , lo que puede ser el caso cuando representa el tiempo ^[31] , entonces el proceso resultante no es verdaderamente invariante bajo traducción. ^[54] En ese caso, el proceso de Poisson ya no es estacionario, según algunas definiciones de estacionariedad. ^[28] ${\textstyle [0,\infty )}$ ${\textstyle t}$

Aplicaciones

Ha habido muchas aplicaciones del proceso homogéneo de Poisson en la línea real en un intento de modelar eventos aparentemente aleatorios e independientes que ocurren. Tiene un papel fundamental en la teoría de colas , que es el campo de probabilidad para desarrollar modelos estocásticos adecuados para representar la llegada y salida aleatoria de ciertos fenómenos. ^{[16] [47]} Por ejemplo, los clientes que llegan y son atendidos o las llamadas telefónicas que llegan a una central telefónica pueden estudiarse con técnicas de la teoría de colas.

Generalizaciones

El proceso homogéneo de Poisson sobre la recta real se considera uno de los procesos estocásticos más simples para contar números aleatorios de puntos. ^{[63] [64]} Este proceso se puede generalizar de varias maneras. Una posible generalización es extender la distribución de tiempos entre llegadas desde la distribución exponencial a otras distribuciones, lo que introduce el proceso estocástico conocido como proceso de renovación . Otra generalización es definir el proceso del punto de Poisson en espacios de dimensiones superiores, como el plano. ^{[sesenta y cinco]}

Proceso de puntos de Poisson espacial

Un proceso de Poisson espacial es un proceso puntual de Poisson definido en el plano . ^{[59] [66]} Para su definición matemática, primero se considera una región acotada, abierta o cerrada (o más precisamente, medible por Borel ) del plano. El número de puntos de un proceso puntual existente en esta región es una variable aleatoria, denotada por . Si los puntos pertenecen a un proceso de Poisson homogéneo con parámetro , entonces la probabilidad de que existan puntos en está dada por: ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle N(B)}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

donde denota el área de . ${\displaystyle \textstyle |B|}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

Para algún número entero finito , podemos dar la distribución de dimensión finita del proceso homogéneo de puntos de Poisson considerando primero una colección de conjuntos de Borel (medibles) acotados y disjuntos . El número de puntos del proceso de puntos existente en se puede escribir como . Entonces el proceso homogéneo del punto de Poisson con parámetro tiene la distribución de dimensión finita: ^[67] ${\displaystyle \textstyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

Aplicaciones

Según un estudio estadístico, las posiciones de las estaciones base de telefonía celular o móvil en la ciudad australiana de Sydney , en la foto de arriba, se parecen a la realización de un proceso homogéneo de puntos de Poisson, mientras que en muchas otras ciudades del mundo no es así y otros procesos de puntos sí lo son. requerido. ^[68]

El proceso espacial del punto de Poisson ocupa un lugar destacado en la estadística espacial , ^{[22] [23]} la geometría estocástica y la teoría de la percolación continua . ^[24] Este proceso puntual se aplica en diversas ciencias físicas, como un modelo desarrollado para la detección de partículas alfa. En los últimos años, se ha utilizado con frecuencia para modelar configuraciones espaciales aparentemente desordenadas de determinadas redes de comunicación inalámbrica. ^{[18] [19] [20]} Por ejemplo, se han desarrollado modelos para redes de telefonía celular o móvil en los que se supone que los transmisores de la red telefónica, conocidos como estaciones base, se ubican según un proceso homogéneo de puntos de Poisson.

Definido en dimensiones superiores

El anterior proceso homogéneo del punto de Poisson se extiende inmediatamente a dimensiones superiores reemplazando la noción de área por volumen (de alta dimensión). Para alguna región acotada del espacio euclidiano , si los puntos forman un proceso de Poisson homogéneo con parámetro , entonces la probabilidad de que existan puntos está dada por: ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\lambda |B|)^{n}}{n!}}e^{-\lambda |B|}}$

donde ahora denota el volumen -dimensional de . Además, para una colección de conjuntos de Borel acotados y disjuntos , denotemos el número de puntos existentes en . Entonces el correspondiente proceso homogéneo de puntos de Poisson con parámetro tiene la distribución de dimensión finita: ^[69] ${\displaystyle \textstyle |B|}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle N(B_{i})}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\lambda |B_{i}|)^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\lambda |B_{i}|}.}$

Los procesos homogéneos de puntos de Poisson no dependen de la posición del espacio subyacente a través de su parámetro , lo que implica que es tanto un proceso estacionario (invariante a la traducción) como un proceso estocástico isotrópico (invariante a la rotación). ^[28] De manera similar al caso unidimensional, el proceso puntual homogéneo está restringido a algún subconjunto acotado de , luego, dependiendo de algunas definiciones de estacionariedad, el proceso ya no es estacionario. ^{[28] [54]} ${\displaystyle \textstyle \lambda }$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

Los puntos están distribuidos uniformemente.

Si el proceso puntual homogéneo se define en la línea real como un modelo matemático para la ocurrencia de algún fenómeno, entonces tiene la característica de que las posiciones de estas ocurrencias o eventos en la línea real (a menudo interpretada como tiempo) se distribuirán uniformemente. Más específicamente, si un evento ocurre (de acuerdo con este proceso) en un intervalo donde , entonces su ubicación será una variable aleatoria uniforme definida en ese intervalo. ^[67] Además, el proceso de puntos homogéneos a veces se denomina proceso de puntos de Poisson uniforme (ver Terminología). Esta propiedad de uniformidad se extiende a dimensiones superiores en las coordenadas cartesianas, pero no, por ejemplo, en las coordenadas polares. ^{[70] [71]} ${\displaystyle \textstyle (a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle a\leq b}$

Proceso de puntos de Poisson no homogéneo

Gráfica de un proceso de puntos de Poisson no homogéneo sobre la recta real. Los eventos están marcados con cruces negras, la tasa dependiente del tiempo viene dada por la función marcada en rojo. ${\displaystyle \lambda (t)}$

El proceso de puntos de Poisson no homogéneo o no homogéneo (ver Terminología) es un proceso de puntos de Poisson con un parámetro de Poisson establecido como alguna función dependiente de la ubicación en el espacio subyacente en el que se define el proceso de Poisson. Para el espacio euclidiano , esto se logra introduciendo una función positiva localmente integrable , tal que para cada región acotada la integral de volumen ( -dimensional) de la sobreregión sea finita. En otras palabras, si esta integral, denotada por , es: ^[45] ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {R} ^{d}\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x<\infty ,}$

donde es un elemento de volumen (-dimensional), ^[c] entonces, para cada colección de conjuntos mensurables de Borel acotados y disjuntos , un proceso de Poisson no homogéneo con función (intensidad) tiene la distribución de dimensión finita: ^[69] ${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} x}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle B_{1},\dots ,B_{k}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$

${\displaystyle \Pr\{N(B_{i})=n_{i},i=1,\dots ,k\}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {(\Lambda (B_{i}))^{n_{i}}}{n_{i}!}}e^{-\Lambda (B_{i})}.}$

Además, tiene la interpretación de ser el número esperado de puntos del proceso de Poisson ubicados en la región acotada , es decir ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

Definido en la línea real

En la recta real, el proceso de puntos de Poisson no homogéneo o no homogéneo tiene una medida media dada por una integral unidimensional. Para dos números reales y , donde , denota por los puntos numéricos de un proceso de Poisson no homogéneo con función de intensidad que ocurre en el intervalo . La probabilidad de que existan puntos en el intervalo anterior viene dada por: ${\displaystyle \textstyle a}$ ${\displaystyle \textstyle b}$ ${\displaystyle \textstyle a\leq b}$ ${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (t)}$ ${\displaystyle \textstyle (a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle (a,b]}$

${\displaystyle \Pr\{N(a,b]=n\}={\frac {[\Lambda (a,b)]^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (a,b)}.}$

donde la media o medida de intensidad es:

${\displaystyle \Lambda (a,b)=\int _{a}^{b}\lambda (t)\,\mathrm {d} t,}$

lo que significa que la variable aleatoria es una variable aleatoria de Poisson con media . ${\displaystyle \textstyle N(a,b]}$ ${\displaystyle \textstyle \operatorname {E} [N(a,b]]=\Lambda (a,b)}$

Una característica del entorno unidimensional es que un proceso de Poisson no homogéneo se puede transformar en homogéneo mediante una transformación o mapeo monótono , que se logra con la inversa de . ^{[72] [73]} ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Interpretación del proceso de conteo.

El proceso no homogéneo del punto de Poisson, cuando se considera en la media línea positiva, también se define a veces como un proceso de conteo. Con esta interpretación, el proceso, que a veces se escribe como , representa el número total de ocurrencias o eventos que han sucedido hasta el tiempo inclusive . Se dice que un proceso de conteo es un proceso de conteo de Poisson no homogéneo si tiene las cuatro propiedades: ^{[34] [74]} ${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$ ${\displaystyle \textstyle t}$

• ${\displaystyle \textstyle N(0)=0;}$
• tiene incrementos independientes ;
• ${\displaystyle \textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)=1\}=\lambda (t)h+o(h);}$y
• ${\displaystyle \textstyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h),}$

donde es notación asintótica o pequeña para as . En el caso de procesos puntuales con refractariedad (por ejemplo, trenes de puntas neurales) se aplica una versión más fuerte de la propiedad 4: ^[75] . ${\displaystyle \textstyle o(h)}$ ${\displaystyle \textstyle o(h)/h\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \textstyle h\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \Pr\{N(t+h)-N(t)\geq 2\}=o(h^{2})}$

Las propiedades anteriores implican que es una variable aleatoria de Poisson con el parámetro (o media) ${\displaystyle \textstyle N(t+h)-N(t)}$

${\displaystyle \operatorname {E} [N(t+h)-N(t)]=\int _{t}^{t+h}\lambda (s)\,ds,}$

lo que implica

${\displaystyle \operatorname {E} [N(h)]=\int _{0}^{h}\lambda (s)\,ds.}$

Proceso de Poisson espacial

Un proceso de Poisson no homogéneo definido en el plano se llama proceso de Poisson espacial ^[17] Se define con función de intensidad y su medida de intensidad se obtiene realizando una integral de superficie de su función de intensidad sobre alguna región. ^{[21] [76]} Por ejemplo, su función de intensidad (en función de las coordenadas cartesianas y ) puede ser ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle y}$

${\displaystyle \lambda (x,y)=e^{-(x^{2}+y^{2})},}$

entonces la medida de intensidad correspondiente viene dada por la integral de superficie

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,}$

¿Dónde hay alguna región acotada en el plano ? ${\textstyle B}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$

En dimensiones superiores

En el plano, corresponde a una integral de superficie mientras que en la integral se convierte en una integral de volumen (-dimensional). ${\textstyle \Lambda (B)}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\textstyle d}$

Aplicaciones

Cuando la línea real se interpreta como tiempo, el proceso no homogéneo se utiliza en los campos de los procesos de conteo y en la teoría de colas. ^{[74] [77]} Ejemplos de fenómenos que han sido representados o aparecen como un proceso de puntos de Poisson no homogéneo incluyen:

• Goles marcados en un partido de fútbol. ^[78]
• Defectos en una placa de circuito ^[79]

En el plano, el proceso del punto de Poisson es importante en las disciplinas relacionadas de la geometría estocástica ^{[1] [35]} y la estadística espacial. ^{[22] [23]} La medida de intensidad de este proceso puntual depende de la ubicación del espacio subyacente, lo que significa que puede usarse para modelar fenómenos con una densidad que varía en alguna región. En otras palabras, los fenómenos se pueden representar como puntos que tienen una densidad que depende de la ubicación. ^[21] Este proceso se ha utilizado en diversas disciplinas y los usos incluyen el estudio del salmón y los piojos de mar en los océanos, ^[80] silvicultura, ^[5] y problemas de búsqueda. ^[81]

Interpretación de la función de intensidad.

La función de intensidad de Poisson tiene una interpretación, considerada intuitiva, ^[21] con el elemento volumen en sentido infinitesimal: es la probabilidad infinitesimal de que un punto de un proceso puntual de Poisson exista en una región del espacio con volumen ubicado en . ^[21] ${\textstyle \lambda (x)}$ ${\textstyle \mathrm {d} x}$ ${\textstyle \lambda (x)\,\mathrm {d} x}$ ${\textstyle \mathrm {d} x}$ ${\textstyle x}$

Por ejemplo, dado un proceso de puntos de Poisson homogéneo en la recta real, la probabilidad de encontrar un solo punto del proceso en un pequeño intervalo de ancho es aproximadamente . De hecho, esta intuición es la forma en que a veces se introduce el proceso del punto de Poisson y se deriva su distribución. ^{[82] [43] [83]} ${\textstyle \delta }$ ${\textstyle \lambda \delta }$

Proceso de puntos simple

Si un proceso puntual de Poisson tiene una medida de intensidad que es localmente finita y difusa (o no atómica), entonces es un proceso puntual simple . Para un proceso puntual simple, la probabilidad de que un punto exista en un único punto o ubicación en el espacio (de estados) subyacente es cero o uno. Esto implica que, con probabilidad uno, no hay dos (o más) puntos de un proceso de puntos de Poisson que coincidan en su ubicación en el espacio subyacente. ^{[84] [19] [85]}

Simulación

La simulación de un proceso de puntos de Poisson en una computadora generalmente se realiza en una región limitada del espacio, conocida como ventana de simulación , y requiere dos pasos: crear adecuadamente un número aleatorio de puntos y luego colocar los puntos adecuadamente de manera aleatoria. Estos dos pasos dependen del proceso específico del punto de Poisson que se está simulando. ^{[86] [87]}

Paso 1: Número de puntos

Es necesario simular el número de puntos en la ventana, indicado aquí por , lo cual se realiza mediante el uso de una función generadora de números (pseudo)aleatorios capaz de simular variables aleatorias de Poisson. ${\textstyle N}$ ${\textstyle W}$

Caso homogéneo

Para el caso homogéneo con la constante , la media de la variable aleatoria de Poisson se establece en donde está la longitud, el área o el volumen (-dimensional) de . ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle \lambda |W|}$ ${\textstyle |W|}$ ${\textstyle d}$ ${\textstyle W}$

Caso no homogéneo

Para el caso no homogéneo, se reemplaza con la integral de volumen (-dimensional) ${\textstyle \lambda |W|}$ ${\textstyle d}$

${\displaystyle \Lambda (W)=\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x}$

Paso 2: Posicionamiento de puntos

La segunda etapa requiere colocar aleatoriamente los puntos en la ventana . ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle W}$

Caso homogéneo

Para el caso homogéneo en una dimensión, todos los puntos se colocan de manera uniforme e independiente en la ventana o intervalo . Para dimensiones más altas en un sistema de coordenadas cartesiano, cada coordenada se coloca de manera uniforme e independiente en la ventana . Si la ventana no es un subespacio del espacio cartesiano (por ejemplo, dentro de una esfera unitaria o en la superficie de una esfera unitaria), entonces los puntos no estarán ubicados uniformemente y se necesitará un cambio adecuado de coordenadas (de cartesianas). ^[86] ${\displaystyle \textstyle W}$ ${\displaystyle \textstyle W}$ ${\displaystyle \textstyle W}$

Caso no homogéneo

Para el caso no homogéneo, se pueden utilizar un par de métodos diferentes según la naturaleza de la función de intensidad . ^[86] Si la función de intensidad es suficientemente simple, entonces se pueden generar coordenadas independientes y aleatorias no uniformes (cartesianas u otras) de los puntos. Por ejemplo, se puede simular un proceso de puntos de Poisson en una ventana circular para una función de intensidad isotrópica (en coordenadas polares y ), lo que implica que es rotacionalmente variante o independiente pero dependiente de , mediante un cambio de variable en si la función de intensidad es suficientemente simple. ^[86] ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle r}$ ${\displaystyle \textstyle \theta }$ ${\displaystyle \textstyle \theta }$ ${\displaystyle \textstyle r}$ ${\displaystyle \textstyle r}$

Para funciones de intensidad más complicadas, se puede utilizar un método de aceptación-rechazo , que consiste en utilizar (o 'aceptar') sólo ciertos puntos aleatorios y no utilizar (o 'rechazar') los demás puntos, basándose en la relación: ^[88]

${\displaystyle {\frac {\lambda (x_{i})}{\Lambda (W)}}={\frac {\lambda (x_{i})}{\int _{W}\lambda (x)\,\mathrm {d} x.}}}$

¿Dónde está el punto bajo consideración para su aceptación o rechazo? ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$

Proceso general de puntos de Poisson

En la teoría de la medida , el proceso del punto de Poisson se puede generalizar aún más a lo que a veces se conoce como proceso general del punto de Poisson ^{[21] [89]} o proceso general de Poisson ^[76] mediante el uso de una medida de radón , que es una medida localmente finita . En general, esta medida de radón puede ser atómica, lo que significa que pueden existir múltiples puntos del proceso de puntos de Poisson en la misma ubicación del espacio subyacente. En esta situación, el número de puntos en es una variable aleatoria de Poisson con media . ^[89] Pero a veces se supone lo contrario, por lo que la medida del radón es difusa o no atómica. ^[21] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda ({x})}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Un proceso puntual es un proceso puntual de Poisson general con intensidad si tiene las dos propiedades siguientes: ^[21] ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

• el número de puntos en un conjunto de Borel acotado es una variable aleatoria de Poisson con media . En otras palabras, denota el número total de puntos ubicados en por , entonces la probabilidad de que la variable aleatoria sea igual a está dada por: ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda (B)}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$ ${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \Pr\{N(B)=n\}={\frac {(\Lambda (B))^{n}}{n!}}e^{-\Lambda (B)}}$

• el número de puntos en conjuntos de Borel disjuntos forma variables aleatorias independientes. ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

La medida Radón mantiene su interpretación anterior de ser el número esperado de puntos ubicados en la región acotada , es decir ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

Además, si es absolutamente continuo tal que tiene una densidad (que es la densidad o derivada de Radon-Nikodym) con respecto a la medida de Lebesgue, entonces para todos los conjuntos de Borel se puede escribir como: ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\int _{B}\lambda (x)\,\mathrm {d} x,}$

donde la densidad se conoce, entre otros términos, como función de intensidad. ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$

Historia

distribución de veneno

A pesar de su nombre, el proceso del punto de Poisson no fue descubierto ni estudiado por el matemático francés Siméon Denis Poisson ; el nombre se cita como ejemplo de la ley de Stigler . ^{[14] [15]} El nombre surge de su relación inherente con la distribución de Poisson , derivada por Poisson como un caso límite de la distribución binomial . ^[90] Esto describe la probabilidad de la suma de las pruebas de Bernoulli con probabilidad , a menudo comparada con el número de caras (o cruces) después de lanzamientos sesgados de una moneda, siendo la probabilidad de que ocurra una cara (o cruz) . Para alguna constante positiva , a medida que aumenta hacia el infinito y disminuye hacia cero de modo que el producto es fijo, la distribución de Poisson se aproxima más a la del binomio. ^[91] ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle np=\Lambda }$

Poisson derivó la distribución de Poisson, publicada en 1841, examinando la distribución binomial en el límite de (hasta cero) y (hasta el infinito). Sólo aparece una vez en toda la obra de Poisson, ^[92] y el resultado no fue muy conocido en su época. Durante los años siguientes, varias personas utilizaron la distribución sin citar a Poisson, entre ellos Philipp Ludwig von Seidel y Ernst Abbe . ^{[93] [14]} A finales del siglo XIX, Ladislaus Bortkiewicz volvería a estudiar la distribución en un entorno diferente (citando a Poisson), utilizando la distribución con datos reales para estudiar el número de muertes por coces a caballos en el ejército prusiano . ^{[90] [94]} ${\displaystyle \textstyle p}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

Descubrimiento

Hay una serie de afirmaciones sobre usos o descubrimientos tempranos del proceso del punto de Poisson. ^{[14] [15]} Por ejemplo, John Michell en 1767, una década antes de que naciera Poisson, estaba interesado en la probabilidad de que una estrella estuviera dentro de una determinada región de otra estrella bajo el supuesto de que las estrellas estaban "dispersas por mera casualidad". y estudió un ejemplo formado por las seis estrellas más brillantes de las Pléyades , sin derivar la distribución de Poisson. Este trabajo inspiró a Simon Newcomb a estudiar el problema y calcular la distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial en 1860. ^[15]

A principios del siglo XX el proceso de Poisson (en una dimensión) surgiría de forma independiente en diferentes situaciones. ^{[14] [15]} En Suecia en 1903, Filip Lundberg publicó una tesis que contenía un trabajo, ahora considerado fundamental y pionero, donde proponía modelar reclamaciones de seguros con un proceso de Poisson homogéneo. ^{[95] [96]}

En Dinamarca, en 1909 se produjo otro descubrimiento cuando AK Erlang derivó la distribución de Poisson al desarrollar un modelo matemático para el número de llamadas telefónicas entrantes en un intervalo de tiempo finito. Erlang no estaba al tanto del trabajo anterior de Poisson en ese momento y asumió que el número de llamadas telefónicas que llegaban en cada intervalo de tiempo eran independientes entre sí. Luego encontró el caso límite, que efectivamente está reformulando la distribución de Poisson como un límite de la distribución binomial. ^[14]

En 1910, Ernest Rutherford y Hans Geiger publicaron resultados experimentales sobre el recuento de partículas alfa. Su trabajo experimental contó con contribuciones matemáticas de Harry Bateman , quien derivó las probabilidades de Poisson como una solución a una familia de ecuaciones diferenciales, aunque la solución se había derivado antes, lo que resultó en el descubrimiento independiente del proceso de Poisson. ^[14] Después de esta época hubo muchos estudios y aplicaciones del proceso de Poisson, pero su historia temprana es complicada, lo que ha sido explicado por las diversas aplicaciones del proceso en numerosos campos por parte de biólogos, ecólogos, ingenieros y diversos científicos físicos. ^[14]

Aplicaciones tempranas

Los años posteriores a 1909 llevaron a una serie de estudios y aplicaciones del proceso del punto de Poisson; sin embargo, su historia temprana es compleja, lo que ha sido explicado por las diversas aplicaciones del proceso en numerosos campos por parte de biólogos , ecólogos, ingenieros y otros que trabajan en las ciencias físicas . Los primeros resultados se publicaron en diferentes idiomas y en diferentes entornos, sin utilizar terminología ni notación estándar. ^[14] Por ejemplo, en 1922 el químico sueco y premio Nobel Theodor Svedberg propuso un modelo en el que un proceso espacial de puntos de Poisson es el proceso subyacente para estudiar cómo se distribuyen las plantas en las comunidades vegetales. ^[97] Varios matemáticos comenzaron a estudiar el proceso a principios de la década de 1930, y Andrey Kolmogorov , William Feller y Aleksandr Khinchin , ^[14] entre otros hicieron importantes contribuciones. ^[98] En el campo de la ingeniería de teletráfico , matemáticos y estadísticos estudiaron y utilizaron Poisson y otros procesos puntuales. ^[99]

Historia de los términos

El sueco Conny Palm en su disertación de 1943 estudió el proceso de Poisson y otros procesos puntuales en un entorno unidimensional examinándolos en términos de la dependencia estadística o estocástica entre los puntos en el tiempo. ^{[100] [99]} En su trabajo existe el primer uso registrado conocido del término procesos puntuales como Punktprozesse en alemán. ^{[100] [15]}

Se cree ^[14] que William Feller fue el primero en referirse a él como proceso de Poisson en un artículo de 1940. Aunque el sueco Ove Lundberg utilizó el término proceso de Poisson en su tesis doctoral de 1940, ^[15] en la que se reconoció la influencia de Feller, ^[101] se ha afirmado que Feller acuñó el término antes de 1940. [ 91 ^] que tanto Feller como Lundberg usaron el término como si fuera bien conocido, lo que implica que ya estaba en uso hablado para entonces. ^[15] Feller trabajó de 1936 a 1939 junto a Harald Cramér en la Universidad de Estocolmo , donde Lundberg era un estudiante de doctorado con Cramér que no utilizó el término proceso de Poisson en un libro suyo, terminado en 1936, pero sí en ediciones posteriores, lo que su ha llevado a la especulación de que el término proceso de Poisson fue acuñado en algún momento entre 1936 y 1939 en la Universidad de Estocolmo. ^[15]

Terminología

La terminología de la teoría del proceso puntual en general ha sido criticada por ser demasiado variada. ^[15] Además de que la palabra punto a menudo se omite, ^{[65] [2]} el proceso de Poisson (punto) homogéneo también se llama proceso de Poisson (punto) estacionario , ^[49] así como proceso de Poisson (punto) uniforme . ^[44] El proceso de puntos de Poisson no homogéneo, además de denominarse no homogéneo , ^[49] también se conoce como proceso de Poisson no estacionario . ^{[74] [102]}

El término proceso puntual ha sido criticado, ya que el término proceso puede sugerir en el tiempo y el espacio, por lo que campo de puntos aleatorios , ^[103] da como resultado que también se utilicen los términos campo de puntos aleatorios de Poisson o campo de puntos de Poisson . ^[104] Un proceso puntual se considera, y a veces se denomina, una medida de conteo aleatorio, ^[105] por lo tanto, el proceso puntual de Poisson también se conoce como medida aleatoria de Poisson , ^[106] un término utilizado en el estudio de los procesos de Lévy, ^{[ 106] [107]} pero algunos optan por utilizar los dos términos para los procesos de puntos de Poisson definidos en dos espacios subyacentes diferentes. ^[108]

El espacio matemático subyacente del proceso puntual de Poisson se llama espacio portador , ^{[109] [110]} o espacio de estados , aunque este último término tiene un significado diferente en el contexto de procesos estocásticos. En el contexto de procesos puntuales, el término "espacio de estados" puede significar el espacio en el que se define el proceso puntual, como la línea real, ^{[111] [112]} que corresponde al conjunto de índices ^[113] o al conjunto de parámetros ^{[114 ]. ]} en terminología de procesos estocásticos.

La medida se llama medida de intensidad , ^[115] medida media , ^[38] o medida de parámetro , ^[69] ya que no existen términos estándar. ^[38] Si tiene una derivada o densidad, denotada por , se denomina función de intensidad del proceso del punto de Poisson. ^[21] Para el proceso homogéneo del punto de Poisson, la derivada de la medida de intensidad es simplemente una constante , a la que se puede hacer referencia como tasa , generalmente cuando el espacio subyacente es la línea real, o la intensidad . ^[44] También se le llama tasa media o densidad media ^[116] o tasa . ^[34] Para , el proceso correspondiente a veces se denomina proceso estándar de Poisson (punto). ^{[45] [59] [117]} ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda =1}$

La extensión del proceso del punto de Poisson a veces se denomina exposición . ^{[118] [119]}

Notación

La notación del proceso del punto de Poisson depende de su entorno y del campo en el que se aplica. Por ejemplo, en la recta real, el proceso de Poisson, tanto homogéneo como no homogéneo, a veces se interpreta como un proceso de conteo, y se utiliza la notación para representar el proceso de Poisson. ^{[31] [34]} ${\displaystyle \textstyle \{N(t),t\geq 0\}}$

Otra razón para variar la notación se debe a la teoría de los procesos puntuales, que tiene un par de interpretaciones matemáticas. Por ejemplo, un proceso de puntos de Poisson simple puede considerarse como un conjunto aleatorio, lo que sugiere la notación , lo que implica que es un punto aleatorio que pertenece o es un elemento del proceso de puntos de Poisson . Otra interpretación, más general, es considerar un proceso de puntos de Poisson o cualquier otro proceso de puntos como una medida de conteo aleatorio, por lo que se puede escribir el número de puntos de un proceso de puntos de Poisson que se encuentran o ubican en alguna región (medible de Borel) como , que es una variable aleatoria. Estas diferentes interpretaciones dan como resultado que la notación se utilice en campos matemáticos como la teoría de la medida y la teoría de conjuntos. ^[120] ${\displaystyle \textstyle x\in N}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle N(B)}$

Para procesos de puntos generales, a veces se incluye un subíndice en el símbolo de punto, por ejemplo , para que se escriba (con notación de conjunto) en lugar de y se puede usar para la variable ligada en expresiones integrales como el teorema de Campbell, en lugar de denotar puntos aleatorios. . ^[19] A veces, una letra mayúscula denota el proceso de puntos, mientras que una minúscula denota un punto del proceso, por lo que, por ejemplo, el punto o pertenece a o es un punto del proceso de puntos y se escribe con notación establecida como o . ^[112] ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}\in N}$ ${\displaystyle \textstyle x\in N}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle x\in X}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}\in X}$

Además, la notación de la teoría de conjuntos y la teoría integral o de la medida se pueden utilizar indistintamente. Por ejemplo, para un proceso puntual definido en el espacio de estados euclidiano y una función (medible) en , la expresión ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathbb {R} ^{d}}}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\,\mathrm {d} N(x)=\sum \limits _{x_{i}\in N}f(x_{i}),}$

demuestra dos formas diferentes de escribir una suma sobre un proceso puntual (ver también el teorema de Campbell (probabilidad) ). Más específicamente, la notación integral del lado izquierdo interpreta el proceso de puntos como una medida de conteo aleatoria, mientras que la suma del lado derecho sugiere una interpretación de conjunto aleatorio. ^[120]

Funcionales y medidas de momento.

En la teoría de la probabilidad, las operaciones se aplican a variables aleatorias para diferentes propósitos. A veces estas operaciones son expectativas regulares que producen el promedio o la varianza de una variable aleatoria. Otras, como las funciones características (o transformadas de Laplace) de una variable aleatoria, se pueden utilizar para identificar o caracterizar de forma única variables aleatorias y probar resultados como el teorema del límite central. ^[121] En la teoría de procesos puntuales existen herramientas matemáticas análogas que generalmente existen en forma de medidas y funcionales en lugar de momentos y funciones respectivamente. ^{[122] [123]}

Funcionales de Laplace

Para un proceso de punto de Poisson con medida de intensidad en algún espacio , el funcional de Laplace viene dado por: ^[19] ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle L_{N}(f)=\mathbb {E} e^{-\int _{X}f(x)\,N(\mathrm {d} x)}=e^{-\int _{X}(1-e^{-f(x)})\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

Una versión del teorema de Campbell implica el funcional de Laplace del proceso del punto de Poisson.

Funcionales generadores de probabilidad

La función generadora de probabilidad de una variable aleatoria de valor entero no negativo conduce a que la función generadora de probabilidad se defina de manera análoga con respecto a cualquier función acotada no negativa de tal manera que . Para un proceso puntual, la función generadora de probabilidad se define como: ^[124] ${\displaystyle \textstyle v}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle 0\leq v(x)\leq 1}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

${\displaystyle G(v)=\operatorname {E} \left[\prod _{x\in N}v(x)\right]}$

donde el producto se realiza para todos los puntos en . Si la medida de intensidad de es localmente finita, entonces está bien definida para cualquier función medible en . Para un proceso de punto de Poisson con medida de intensidad, el funcional generador viene dado por: ${\textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\textstyle G}$ ${\displaystyle \textstyle u}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle G(v)=e^{-\int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\Lambda (\mathrm {d} x)},}$

que en el caso homogéneo se reduce a

${\displaystyle G(v)=e^{-\lambda \int _{\mathbb {R} ^{d}}[1-v(x)]\,\mathrm {d} x}.}$

Medida de momento

Para un proceso general de puntos de Poisson con medida de intensidad, la primera medida del momento es su medida de intensidad: ^{[19] [20]} ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda (B),}$

que para un proceso de punto de Poisson homogéneo con intensidad constante significa: ${\displaystyle \textstyle \lambda }$

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

donde es la longitud, área o volumen (o más generalmente, la medida de Lebesgue ) de . ${\displaystyle \textstyle |B|}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

La ecuación de Mecke

La ecuación de Mecke caracteriza el proceso del punto de Poisson. Sea el espacio de todas las medidas finitas en algún espacio general . Un proceso puntual con intensidad activada es un proceso puntual de Poisson si y sólo si para todas las funciones medibles se cumple lo siguiente ${\displaystyle \mathbb {N} _{\sigma }}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {Q}}\times \mathbb {N} _{\sigma }\to \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle \Pr \left[\int f(x,\eta )\eta (\mathrm {d} x)\right]=\int \Pr \left[f(x,\eta +\delta _{x})\right]\lambda (\mathrm {d} x)}$

Para más detalles ver. ^[125]

Medida del momento factorial

Para un proceso general de puntos de Poisson con medida de intensidad, la -ésima medida del momento factorial viene dada por la expresión: ^[126] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

¿Dónde está la medida de intensidad o medida del primer momento de , que para algún conjunto de Borel viene dada por ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=\operatorname {E} [N(B)].}$

Para un proceso homogéneo de puntos de Poisson, la medida del momento factorial -ésimo es simplemente: ^{[19] [20]} ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

¿Dónde es la longitud, el área o el volumen (o más generalmente, la medida de Lebesgue ) de ? Además, la -ésima densidad de momento factorial es: ^[126] ${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$ ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

Función de evitación

La función de evitación ^[71] o probabilidad nula ^[120] de un proceso puntual se define en relación con algún conjunto , que es un subconjunto del espacio subyacente , como la probabilidad de que no existan puntos en . Más precisamente, ^[127] para un conjunto de prueba , la función de evitación viene dada por: ${\displaystyle \textstyle v}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle v(B)=\Pr\{N(B)=0\}.}$

Para un proceso general de puntos de Poisson con medida de intensidad , su función de evitación viene dada por: ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle v(B)=e^{-\Lambda (B)}}$

Teorema de Rényi

Los procesos puntuales simples se caracterizan completamente por sus probabilidades nulas. ^[128] En otras palabras, la información completa de un proceso puntual simple se captura completamente en sus probabilidades nulas, y dos procesos puntuales simples tienen las mismas probabilidades nulas si y solo si son los mismos procesos puntuales. El caso del proceso de Poisson se conoce a veces como teorema de Rényi , que lleva el nombre de Alfréd Rényi , quien descubrió el resultado para el caso de un proceso puntual homogéneo en una dimensión. ^[129]

De una forma, ^[129] el teorema de Rényi dice que para una medida de radón difusa (o no atómica) y un conjunto es una unión finita de rectángulos (por lo tanto, no Borel ^[d] ) que es un subconjunto contable de tal que: ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \Pr\{N(A)=0\}=v(A)=e^{-\Lambda (A)}}$

entonces es un proceso de puntos de Poisson con medida de intensidad . ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Operaciones de proceso puntuales

Se pueden realizar operaciones matemáticas en procesos puntuales para obtener nuevos procesos puntuales y desarrollar nuevos modelos matemáticos para las ubicaciones de ciertos objetos. Un ejemplo de operación se conoce como adelgazamiento, que implica eliminar o eliminar los puntos de algún proceso puntual según una regla, creando un nuevo proceso con los puntos restantes (los puntos eliminados también forman un proceso puntual). ^[131]

adelgazamiento

Para el proceso de Poisson, las operaciones de adelgazamiento independiente dan como resultado otro proceso de puntos de Poisson. Más específicamente, una operación de adelgazamiento aplicada a un proceso de puntos de Poisson con medida de intensidad da un proceso de puntos de puntos eliminados que también es un proceso de puntos de Poisson con medida de intensidad , que para un conjunto de Borel acotado viene dado por: ${\displaystyle \textstyle p(x)}$ ${\displaystyle \textstyle p(x)}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}_{p}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda _{p}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}p(x)\,\Lambda (\mathrm {d} x)}$

Este resultado de adelgazamiento del proceso del punto de Poisson se conoce a veces como teorema de Prekopa . ^[132] Además, después de adelgazar aleatoriamente un proceso de puntos de Poisson, los puntos conservados o restantes también forman un proceso de puntos de Poisson, que tiene la medida de intensidad

${\displaystyle \Lambda _{p}(B)=\int _{B}(1-p(x))\,\Lambda (\mathrm {d} x).}$

Los dos procesos separados de puntos de Poisson formados respectivamente a partir de los puntos eliminados y mantenidos son estocásticamente independientes entre sí. ^[131] En otras palabras, si se sabe que una región contiene puntos conservados (del proceso de puntos de Poisson original), esto no tendrá influencia en el número aleatorio de puntos eliminados en la misma región. Esta capacidad de crear aleatoriamente dos procesos de puntos de Poisson independientes a partir de uno a veces se conoce como división ^{[133] [134]} del proceso de puntos de Poisson. ${\displaystyle \textstyle n}$

Superposición

Si hay una colección contable de procesos puntuales , entonces su superposición o, en el lenguaje de la teoría de conjuntos, su unión, que es ^[135] ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2},\dots }$

${\displaystyle N=\bigcup _{i=1}^{\infty }N_{i},}$

también forma un proceso puntual. En otras palabras, cualquier punto ubicado en cualquiera de los procesos puntuales también se ubicará en la superposición de estos procesos puntuales . ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$

Teorema de superposición

El teorema de superposición del proceso de puntos de Poisson dice que la superposición de procesos de puntos de Poisson independientes con medidas medias también será un proceso de puntos de Poisson con medida media ^{[136] [91]} ${\displaystyle \textstyle N_{1},N_{2}\dots }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda _{1},\Lambda _{2},\dots }$

${\displaystyle \Lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}.}$

En otras palabras, la unión de dos (o contables más) procesos de Poisson es otro proceso de Poisson. Si se toma una muestra de un punto de una unión contable de procesos de Poisson, entonces la probabilidad de que el punto pertenezca al ésimo proceso de Poisson viene dada por: ${\textstyle x}$ ${\textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\textstyle j}$ ${\textstyle N_{j}}$

${\displaystyle \Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\Lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\Lambda _{i}}}.}$

Para dos procesos de Poisson homogéneos con intensidades , las dos expresiones anteriores se reducen a ${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2}\dots }$

${\displaystyle \lambda =\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i},}$

y

${\displaystyle \Pr\{x\in N_{j}\}={\frac {\lambda _{j}}{\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}}.}$

Agrupación

La operación de agrupamiento se realiza cuando cada punto de algún proceso puntual es reemplazado por otro proceso puntual (posiblemente diferente). Si el proceso original es un proceso de puntos de Poisson, entonces el proceso resultante se denomina proceso de puntos de grupo de Poisson. ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}_{c}}$

Desplazamiento aleatorio

Un modelo matemático puede requerir mover aleatoriamente puntos de un proceso puntual a otras ubicaciones en el espacio matemático subyacente, lo que da lugar a una operación de proceso puntual conocida como desplazamiento ^[137] o traslación. ^[138] El proceso de puntos de Poisson se ha utilizado para modelar, por ejemplo, el movimiento de plantas entre generaciones, debido al teorema de desplazamiento, ^[137] que dice vagamente que el desplazamiento aleatorio independiente de puntos de un proceso de puntos de Poisson (en el mismo espacio subyacente) forma otro proceso de puntos de Poisson.

Teorema de desplazamiento

Una versión del teorema de desplazamiento ^[137] implica un proceso de punto de Poisson con función de intensidad . Luego se supone que los puntos de se desplazan aleatoriamente en algún otro lugar de modo que el desplazamiento de cada punto es independiente y que el desplazamiento de un punto anteriormente en es un vector aleatorio con una densidad de probabilidad . ^[e] Entonces el nuevo proceso puntual es también un proceso puntual de Poisson con función de intensidad ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle \rho (x,\cdot )}$ ${\displaystyle \textstyle N_{D}}$

${\displaystyle \lambda _{D}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\lambda (x)\rho (x,y)\,\mathrm {d} x.}$

Si el proceso de Poisson es homogéneo con y si es función de , entonces ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)=\lambda >0}$ ${\displaystyle \rho (x,y)}$ ${\displaystyle y-x}$

${\displaystyle \lambda _{D}(y)=\lambda .}$

En otras palabras, después de cada desplazamiento aleatorio e independiente de puntos, el proceso de puntos de Poisson original todavía existe.

El teorema de desplazamiento se puede ampliar de modo que los puntos de Poisson se desplacen aleatoriamente de un espacio euclidiano a otro espacio euclidiano , donde no es necesariamente igual a . ^[19] ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d'}}$ ${\displaystyle \textstyle d'\geq 1}$ ${\displaystyle \textstyle d}$

Cartografía

Otra propiedad que se considera útil es la capacidad de mapear un proceso de puntos de Poisson de un espacio subyacente a otro espacio. ^[139]

Teorema de mapeo

Si el mapeo (o transformación) cumple con algunas condiciones, entonces la colección de puntos mapeados (o transformados) resultantes también forma un proceso de puntos de Poisson, y este resultado a veces se denomina teorema de mapeo . ^{[139] [140]} El teorema implica algún proceso de punto de Poisson con medida media en algún espacio subyacente. Si las ubicaciones de los puntos se asignan (es decir, el proceso de puntos se transforma) de acuerdo con alguna función a otro espacio subyacente, entonces el proceso de puntos resultante también es un proceso de puntos de Poisson pero con una medida media diferente . ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda '}$

Más específicamente, se puede considerar una función (medible de Borel) que mapea un proceso puntual con medida de intensidad desde un espacio a otro espacio de tal manera que el nuevo proceso puntual tenga la medida de intensidad: ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle S}$ ${\displaystyle \textstyle T}$ ${\displaystyle \textstyle {N}'}$

${\displaystyle \Lambda (B)'=\Lambda (f^{-1}(B))}$

sin átomos, donde es un conjunto de Borel y denota la inversa de la función . Si es un proceso de puntos de Poisson, entonces el nuevo proceso también es un proceso de puntos de Poisson con la medida de intensidad . ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle f^{-1}}$ ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}'}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda '}$

Aproximaciones con procesos de puntos de Poisson

La manejabilidad del proceso de Poisson significa que a veces es conveniente aproximar un proceso de puntos que no es de Poisson con uno de Poisson. El objetivo general es aproximar tanto el número de puntos de algún proceso puntual como la ubicación de cada punto mediante un proceso de puntos de Poisson. ^[141] Hay una serie de métodos que pueden usarse para justificar, informal o rigurosamente, la aproximación de la ocurrencia de eventos o fenómenos aleatorios con procesos de puntos de Poisson adecuados. Los métodos más rigurosos implican derivar límites superiores en las métricas de probabilidad entre los procesos puntuales de Poisson y los que no son de Poisson, mientras que otros métodos pueden justificarse mediante heurísticas menos formales. ^[142]

Heurística de agrupación

Un método para aproximar eventos o fenómenos aleatorios con procesos de Poisson se llama heurística de agrupación . ^[143] La heurística o principio general implica el uso del proceso de puntos de Poisson (o distribución de Poisson) para aproximar eventos, que se consideran raros o improbables, de algún proceso estocástico. En algunos casos, estos eventos raros están cerca de ser independientes, por lo que se puede utilizar un proceso de puntos de Poisson. Cuando los eventos no son independientes, pero tienden a ocurrir en grupos o grupos , entonces si estos grupos se definen adecuadamente de manera que sean aproximadamente independientes entre sí, entonces el número de grupos que ocurrirán será cercano a una variable aleatoria de Poisson ^[142] y las ubicaciones de los grupos estarán cercanas a un proceso de Poisson. ^[143]

El método de Stein.

El método de Stein es una técnica matemática desarrollada originalmente para aproximar variables aleatorias como las variables gaussianas y de Poisson, que también se ha aplicado a procesos puntuales. El método de Stein se puede utilizar para derivar límites superiores en métricas de probabilidad , que dan paso a cuantificar cuán diferentes varían estocásticamente dos objetos matemáticos aleatorios. ^{[141] [144]} Se han derivado los límites superiores de métricas de probabilidad como la variación total y la distancia de Wasserstein . ^[141]

Los investigadores han aplicado el método de Stein a los procesos de puntos de Poisson de varias maneras, ^[141] como el uso del cálculo de Palm . ^[110] Se han desarrollado técnicas basadas en el método de Stein para factorizar en los límites superiores los efectos de ciertas operaciones de procesos puntuales , como el adelgazamiento y la superposición. ^{[145] [146]} El método de Stein también se ha utilizado para derivar límites superiores en métricas de Poisson y otros procesos como el proceso de puntos de Cox , que es un proceso de Poisson con una medida de intensidad aleatoria. ^[141]

Convergencia a un proceso de puntos de Poisson

En general, cuando se aplica una operación a un proceso puntual general, el proceso resultante no suele ser un proceso puntual de Poisson. Por ejemplo, si un proceso puntual, distinto de Poisson, tiene sus puntos desplazados aleatoria e independientemente, entonces el proceso no sería necesariamente un proceso puntual de Poisson. Sin embargo, bajo ciertas condiciones matemáticas tanto para el proceso puntual original como para el desplazamiento aleatorio, se ha demostrado mediante teoremas límite que si los puntos de un proceso puntual se desplazan repetidamente de manera aleatoria e independiente, entonces la distribución finita del punto El proceso convergerá (débilmente) al de un proceso de punto de Poisson. ^[147]

Se han desarrollado resultados de convergencia similares para operaciones de adelgazamiento y superposición ^[147] que muestran que dichas operaciones repetidas en procesos puntuales pueden, bajo ciertas condiciones, dar como resultado que el proceso converja a procesos puntuales de Poisson, siempre que se realice un reescalamiento adecuado de la medida de intensidad (de lo contrario los valores de la medida de intensidad de los procesos puntuales resultantes se aproximarían a cero o al infinito). Dicho trabajo de convergencia está directamente relacionado con los resultados conocidos como ecuaciones de Palm-Khinchin ^[f] , que tienen su origen en el trabajo de Conny Palm y Aleksandr Khinchin , ^[148] y ayudan a explicar por qué el proceso de Poisson a menudo se puede utilizar como método. modelo matemático de diversos fenómenos aleatorios. ^[147]

Generalizaciones de los procesos de puntos de Poisson.

El proceso del punto de Poisson se puede generalizar, por ejemplo, cambiando su medida de intensidad o definiendo espacios matemáticos más generales. Estas generalizaciones pueden estudiarse matemáticamente y usarse para modelar o representar matemáticamente fenómenos físicos.

Medidas aleatorias tipo Poisson

Las medidas aleatorias (PT) de tipo Poisson son una familia de tres medidas de conteo aleatorias que están cerradas bajo restricción a un subespacio, es decir, cerradas bajo operación de proceso puntual#Adelgazamiento . Estas medidas aleatorias son ejemplos del proceso binomial mixto y comparten la propiedad de autosimilitud distributiva de la medida aleatoria de Poisson . Son los únicos miembros de la familia de distribuciones canónicas de series de potencias no negativas que poseen esta propiedad e incluyen la distribución de Poisson , la distribución binomial negativa y la distribución binomial . La medida aleatoria de Poisson es independiente de subespacios disjuntos, mientras que las otras medidas aleatorias de PT (binomial negativa y binomial) tienen covarianzas positivas y negativas. Las medidas aleatorias PT se analizan ^[149] e incluyen la medida aleatoria de Poisson , la medida aleatoria binomial negativa y la medida aleatoria binomial.

Procesos de puntos de Poisson en espacios más generales.

Para los modelos matemáticos, el proceso del punto de Poisson a menudo se define en el espacio euclidiano, ^{[1] [38]} pero se ha generalizado a espacios más abstractos y juega un papel fundamental en el estudio de medidas aleatorias, ^{[150] [151]} , lo que requiere una comprensión de campos matemáticos como la teoría de la probabilidad, la teoría de la medida y la topología. ^[152]

En general, el concepto de distancia es de interés práctico para las aplicaciones, mientras que la estructura topológica es necesaria para las distribuciones Palm, lo que significa que los procesos puntuales generalmente se definen en espacios matemáticos con métricas. ^[153] Además, la realización de un proceso puntual puede considerarse como una medida de conteo, por lo que los procesos puntuales son tipos de medidas aleatorias conocidas como medidas de conteo aleatorio. ^[117] En este contexto, el proceso de Poisson y otros procesos puntuales se han estudiado en un segundo espacio de Hausdorff contable localmente compacto. ^[154]

proceso de punto de cox

Un proceso de puntos de Cox , proceso de Cox o proceso de Poisson doblemente estocástico es una generalización del proceso de puntos de Poisson al permitir que su intensidad medida sea también aleatoria e independiente del proceso de Poisson subyacente. El proceso lleva el nombre de David Cox , quien lo introdujo en 1955, aunque Lucien Le Cam y Maurice Quenouille habían introducido de forma independiente otros procesos de Poisson con intensidades aleatorias. ^[15] La medida de intensidad puede ser una realización de una variable aleatoria o un campo aleatorio. Por ejemplo, si el logaritmo de la medida de intensidad es un campo aleatorio gaussiano , entonces el proceso resultante se conoce como proceso log gaussiano de Cox . ^[155] De manera más general, las medidas de intensidad son una realización de una medida aleatoria localmente finita no negativa. Los procesos de puntos de Cox exhiben una agrupación de puntos, que se puede demostrar matemáticamente que son más grandes que los de los procesos de puntos de Poisson. La generalidad y manejabilidad de los procesos de Cox ha hecho que se utilicen como modelos en campos como la estadística espacial ^[156] y las redes inalámbricas. ^[20] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

Proceso de punto de Poisson marcado

Una ilustración de un proceso puntual marcado, donde el proceso puntual no marcado se define en la línea real positiva, que a menudo representa el tiempo. Las marcas aleatorias toman valores en el espacio de estados conocido como espacio de marcas . Cualquier proceso de puntos marcados puede interpretarse como un proceso de puntos no marcado en el espacio . El teorema de marcado dice que si el proceso de puntos original sin marcar es un proceso de puntos de Poisson y las marcas son estocásticamente independientes, entonces el proceso de puntos marcados también es un proceso de puntos de Poisson . Si el proceso del punto de Poisson es homogéneo, entonces los espacios en el diagrama se obtienen a partir de una distribución exponencial. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle [0,\infty ]\times S}$ ${\displaystyle [0,\infty ]\times S}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$

Para un proceso puntual determinado, cada punto aleatorio de un proceso puntual puede tener un objeto matemático aleatorio, conocido como marca , asignado aleatoriamente. Estas marcas pueden ser tan diversas como números enteros, números reales, líneas, objetos geométricos u otros procesos puntuales. ^{[157] [158]} El par que consta de un punto del proceso de puntos y su marca correspondiente se llama punto marcado, y todos los puntos marcados forman un proceso de puntos marcados . ^[159] A menudo se supone que las marcas aleatorias son independientes entre sí y están distribuidas de manera idéntica, sin embargo, la marca de un punto aún puede depender de la ubicación de su punto correspondiente en el espacio (de estado) subyacente. ^[160] Si el proceso de puntos subyacente es un proceso de puntos de Poisson, entonces el proceso de puntos resultante es un proceso de puntos de Poisson marcado . ^[161]

Teorema de marcado

Si un proceso puntual general se define en algún espacio matemático y las marcas aleatorias se definen en otro espacio matemático, entonces el proceso puntual marcado se define en el producto cartesiano de estos dos espacios. Para un proceso de puntos de Poisson marcados con marcas independientes e idénticamente distribuidas, el teorema de marcado ^{[160] [162]} establece que este proceso de puntos marcados es también un proceso de puntos de Poisson (no marcado) definido en el producto cartesiano de los dos espacios matemáticos antes mencionado. , lo cual no es cierto para los procesos puntuales generales.

Proceso de punto de Poisson compuesto

El proceso de puntos de Poisson compuesto o proceso de Poisson compuesto se forma agregando valores o pesos aleatorios a cada punto del proceso de puntos de Poisson definido en algún espacio subyacente, por lo que el proceso se construye a partir de un proceso de puntos de Poisson marcado, donde las marcas forman una colección de puntos independientes. y variables aleatorias no negativas distribuidas idénticamente. En otras palabras, para cada punto del proceso de Poisson original, existe una variable aleatoria no negativa independiente e idénticamente distribuida, y luego el proceso de Poisson compuesto se forma a partir de la suma de todas las variables aleatorias correspondientes a los puntos del proceso de Poisson ubicados en alguna región del espacio matemático subyacente. ^[163]

Si hay un proceso de puntos de Poisson marcado formado a partir de un proceso de puntos de Poisson (definido, por ejemplo, en ) y una colección de marcas no negativas independientes e idénticamente distribuidas, de modo que para cada punto del proceso de Poisson haya un proceso aleatorio no negativo variable , el proceso de Poisson compuesto resultante es entonces: ^[164] ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \{M_{i}\}}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle M_{i}}$

${\displaystyle C(B)=\sum _{i=1}^{N(B)}M_{i},}$

donde es un conjunto medible de Borel. ${\displaystyle \textstyle B\subset \mathbb {R} ^{d}}$

Si las variables aleatorias generales toman valores, por ejemplo, en el espacio euclidiano de dimensiones , el proceso de Poisson compuesto resultante es un ejemplo de un proceso de Lévy siempre que se forme a partir de un proceso de puntos homogéneo definido en los números no negativos . ^[165] ${\displaystyle \textstyle \{M_{i}\}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle N}$ ${\displaystyle \textstyle [0,\infty )}$

Proceso de fallo con suavizado exponencial de funciones de intensidad.

El proceso de falla con suavizamiento exponencial de funciones de intensidad (FP-ESI) es una extensión del proceso de Poisson no homogéneo. La función de intensidad de un FP-ESI es una función de suavizado exponencial de las funciones de intensidad en los últimos momentos de ocurrencia de eventos y supera a otros nueve procesos estocásticos en 8 conjuntos de datos de fallas del mundo real cuando los modelos se utilizan para ajustar los conjuntos de datos, ^{[166 ]} donde el rendimiento del modelo se mide en términos de AIC ( criterio de información de Akaike ) y BIC ( criterio de información bayesiano ).

Ver también

• Modelo booleano (teoría de la probabilidad)
• Teoría de la percolación continua
• Proceso de Poisson compuesto
• proceso de cox
• proceso de puntos
• Geometría estocástica
• Modelos de geometría estocástica de redes inalámbricas.
• Procesos de llegada markovianos

Notas

1. Consulte la Sección 2.3.2 de Chiu, Stoyan, Kendall, Mecke ^[1] o la Sección 1.3 de Kingman. ^[2]
2. Por ejemplo, es posible que un evento que no ocurre en el sentido de la teoría de colas sea un evento en el sentido de la teoría de la probabilidad.
3. En lugar de y , se podría escribir, por ejemplo, en coordenadas polares (bidimensionales) y , donde y denota las coordenadas radiales y angulares respectivamente, por lo que sería un elemento de área en este ejemplo. ${\displaystyle \textstyle \lambda (x)}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} }x}$ ${\displaystyle \textstyle \lambda (r,\theta )}$ ${\textstyle r\,dr\,d\theta }$ ${\displaystyle \textstyle r}$ ${\displaystyle \textstyle \theta }$ ${\displaystyle \textstyle {\mathrm {d} }x}$
4. Este conjunto está formado por un número finito de uniones, mientras que un conjunto de Borel está formado por un número contable de operaciones de conjunto. ^[130] ${\displaystyle \textstyle A}$
5. Kingman ^[137] llama a esto densidad de probabilidad, pero en otros recursos se llama núcleo de probabilidad . ^[19]
6. También se escribe Palm – Khintchine, por ejemplo, en Point Processes de Cox & Isham (1980, p. 41)

Referencias

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