Proceso de puntos

Teoría de la probabilidad

En estadística y teoría de probabilidad , un proceso puntual o campo de puntos es una colección de puntos matemáticos ubicados aleatoriamente en un espacio matemático como la línea real o el espacio euclidiano . ^{[1] [2]} Los procesos puntuales se pueden utilizar para el análisis de datos espaciales , ^{[3] [4]} lo cual es de interés en disciplinas tan diversas como la silvicultura, la ecología vegetal, la epidemiología, la geografía, la sismología, la ciencia de los materiales, la astronomía, las telecomunicaciones, la neurociencia computacional, ^[5] la economía ^[6] y otras.

Existen diferentes interpretaciones matemáticas de un proceso puntual, como una medida de conteo aleatoria o un conjunto aleatorio. ^{[7] [8]} Algunos autores consideran un proceso puntual y un proceso estocástico como dos objetos diferentes, de modo que un proceso puntual es un objeto aleatorio que surge de o está asociado con un proceso estocástico, ^{[9] [10]} aunque se ha señalado que la diferencia entre procesos puntuales y procesos estocásticos no está clara. ^[10] Otros consideran un proceso puntual como un proceso estocástico, donde el proceso está indexado por conjuntos del espacio subyacente ^[a] en el que está definido, como la línea real o el espacio euclidiano -dimensional. ^{[13] [14]} Otros procesos estocásticos como los procesos de renovación y de conteo se estudian en la teoría de procesos puntuales. ^{[15] [10]} A veces no se prefiere el término "proceso puntual", ya que históricamente la palabra "proceso" denota una evolución de algún sistema en el tiempo, por lo que el proceso puntual también se denomina campo puntual aleatorio. ^[16] ${\displaystyle n}$

Los procesos puntuales en la línea real forman un caso especial importante que es particularmente susceptible de estudio, ^[17] porque los puntos están ordenados de manera natural, y todo el proceso puntual puede ser descrito completamente por los intervalos (aleatorios) entre los puntos. Estos procesos puntuales se utilizan con frecuencia como modelos para eventos aleatorios en el tiempo, como la llegada de clientes a una cola ( teoría de colas ), de impulsos en una neurona ( neurociencia computacional ), partículas en un contador Geiger , ubicación de estaciones de radio en una red de telecomunicaciones ^[18] o de búsquedas en la red mundial .

Teoría general del proceso puntual

En matemáticas, un proceso puntual es un elemento aleatorio cuyos valores son "patrones puntuales" en un conjunto S. Si bien en la definición matemática exacta un patrón puntual se especifica como una medida de conteo localmente finita , para propósitos más aplicados es suficiente pensar en un patrón puntual como un subconjunto contable de S que no tiene puntos límite . ^{[ aclaración necesaria ]}

Definición

Para definir procesos puntuales generales, comenzamos con un espacio de probabilidad , y un espacio medible donde es un segundo espacio de Hausdorff numerable localmente compacto y es su σ-álgebra de Borel . Consideremos ahora un núcleo localmente finito de valor entero de en , es decir, una aplicación tal que: ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \Omega \times {\mathcal {S}}\mapsto \mathbb {Z} _{+}}$

1. Para cada , es una medida localmente finita (de valor entero) en . ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \xi (\omega ,\cdot )}$ ${\displaystyle S}$
2. Para cada , es una variable aleatoria sobre . ${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \xi (\cdot ,B):\Omega \to \mathbb {Z} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$

Este núcleo define una medida aleatoria de la siguiente manera. Nos gustaría pensar en la definición de una aplicación que se asigna a una medida (a saber, ), donde es el conjunto de todas las medidas localmente finitas en . Ahora, para que esta aplicación sea medible, necesitamos definir un -campo sobre . Este -campo se construye como el álgebra mínima de modo que todas las aplicaciones de evaluación de la forma , donde es relativamente compacta , sean mesurables. Equipado con este -campo, entonces es un elemento aleatorio, donde para cada , es una medida localmente finita sobre . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \xi _{\omega }\in {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \Omega \mapsto {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi _{B}:\mu \mapsto \mu (B)}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \xi _{\omega }}$ ${\displaystyle S}$

Ahora bien, por un proceso puntual en simplemente nos referimos a una medida aleatoria de valor entero (o equivalentemente, un núcleo de valor entero) construida como se ha indicado anteriormente. El ejemplo más común para el espacio de estados S es el espacio euclidiano R ⁿ o un subconjunto del mismo, donde un caso especial particularmente interesante lo da la semirrecta real [0,∞). Sin embargo, los procesos puntuales no se limitan a estos ejemplos y pueden, entre otras cosas, utilizarse también si los puntos son en sí mismos subconjuntos compactos de R ⁿ , en cuyo caso ξ suele denominarse proceso de partículas . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \xi }$

A pesar del nombre de proceso puntual, dado que S podría no ser un subconjunto de la línea real, podría sugerir que ξ es un proceso estocástico .

Representación

Cada instancia (o evento) de un proceso puntual ξ puede representarse como

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},}$

donde denota la medida de Dirac , n es una variable aleatoria de valor entero y son elementos aleatorios de S. Si son casi con seguridad distintos (o equivalentemente, casi con seguridad para todos los ), entonces el proceso puntual se conoce como simple . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \xi (x)\leq 1}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

Otra representación diferente pero útil de un evento (un evento en el espacio de eventos, es decir, una serie de puntos) es la notación de conteo, donde cada instancia se representa como una función, una función continua que toma valores enteros : ${\displaystyle N(t)}$ ${\displaystyle N:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {Z} _{0}^{+}}}$

${\displaystyle N(t_{1},t_{2})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\xi (t)\,dt}$

que es el número de eventos en el intervalo de observación . A veces se denota por , y o media . ${\displaystyle (t_{1},t_{2}]}$ ${\displaystyle N_{t_{1},t_{2}}}$ ${\displaystyle N_{T}}$ ${\displaystyle N(T)}$ ${\displaystyle N_{0,T}}$

Medida de expectativa

La medida esperada Eξ (también conocida como medida media ) de un proceso puntual ξ es una medida en S que asigna a cada subconjunto de Borel B de S el número esperado de puntos de ξ en B . Es decir,

${\displaystyle E\xi (B):=E{\bigl (}\xi (B){\bigr )}\quad {\text{for every }}B\in {\mathcal {B}}.}$

Funcional de Laplace

La funcional de Laplace de un proceso puntual N es una función del conjunto de todas las funciones de valor positivo f en el espacio de estados de N , definida de la siguiente manera: ${\displaystyle \Psi _{N}(f)}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

${\displaystyle \Psi _{N}(f)=E[\exp(-N(f))]}$

Desempeñan un papel similar al de las funciones características de una variable aleatoria . Un teorema importante dice que: dos procesos puntuales tienen la misma ley si sus funcionales de Laplace son iguales.

Medida de momento

La potencia ésima de un proceso puntual se define en el espacio del producto de la siguiente manera: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \xi ^{n},}$ ${\displaystyle S^{n}}$

${\displaystyle \xi ^{n}(A_{1}\times \cdots \times A_{n})=\prod _{i=1}^{n}\xi (A_{i})}$

Por el teorema de la clase monótona , esto define de manera única la medida del producto en La expectativa se llama la medida del momento n .° . La primera medida del momento es la medida media. ${\displaystyle (S^{n},B(S^{n})).}$ ${\displaystyle E\xi ^{n}(\cdot )}$ ${\displaystyle n}$

Sea . Las intensidades conjuntas de un proceso puntual con respecto a la medida de Lebesgue son funciones tales que para cualquier subconjunto de Borel acotado y disjunto ${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \rho ^{(k)}:(\mathbb {R} ^{d})^{k}\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$

${\displaystyle E\left(\prod _{i}\xi (B_{i})\right)=\int _{B_{1}\times \cdots \times B_{k}}\rho ^{(k)}(x_{1},\ldots ,x_{k})\,dx_{1}\cdots dx_{k}.}$

No siempre existen intensidades conjuntas para procesos puntuales. Dado que los momentos de una variable aleatoria determinan la variable aleatoria en muchos casos, se espera un resultado similar para intensidades conjuntas. De hecho, esto se ha demostrado en muchos casos. ^[2]

Estacionariedad

Se dice que un proceso puntual es estacionario si tiene la misma distribución que para todos Para un proceso puntual estacionario, la medida media para alguna constante y donde representa la medida de Lebesgue. Esto se llama la intensidad del proceso puntual. Un proceso puntual estacionario en tiene casi con seguridad 0 o un número infinito de puntos en total. Para obtener más información sobre los procesos puntuales estacionarios y la medida aleatoria, consulte el Capítulo 12 de Daley & Vere-Jones. ^[2] La estacionariedad se ha definido y estudiado para procesos puntuales en espacios más generales que . ${\displaystyle \xi \subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \xi +x:=\sum _{i=1}^{N}\delta _{X_{i}+x}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}.}$ ${\displaystyle E\xi (\cdot )=\lambda \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Ejemplos de procesos puntuales

Veremos algunos ejemplos de procesos puntuales en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

Proceso de puntos de Poisson

El ejemplo más simple y más común de un proceso puntual es el proceso puntual de Poisson , que es una generalización espacial del proceso de Poisson . Un proceso de Poisson (de conteo) en la línea se puede caracterizar por dos propiedades: el número de puntos (o eventos) en intervalos disjuntos son independientes y tienen una distribución de Poisson . Un proceso puntual de Poisson también se puede definir utilizando estas dos propiedades. Es decir, decimos que un proceso puntual es un proceso puntual de Poisson si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle \xi }$

1) son independientes para subconjuntos disjuntos ${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$ ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}.}$

2) Para cualquier subconjunto acotado , tiene una distribución de Poisson con parámetro donde denota la medida de Lebesgue . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \xi (B)}$ ${\displaystyle \lambda \|B\|,}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

Las dos condiciones se pueden combinar y escribir de la siguiente manera: Para cualquier subconjunto acotado disjunto y números enteros no negativos tenemos que ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ ${\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$

${\displaystyle \Pr[\xi (B_{i})=k_{i},1\leq i\leq n]=\prod _{i}e^{-\lambda \|B_{i}\|}{\frac {(\lambda \|B_{i}\|)^{k_{i}}}{k_{i}!}}.}$

La constante se denomina intensidad del proceso puntual de Poisson. Nótese que el proceso puntual de Poisson se caracteriza por el parámetro único Es un proceso puntual simple y estacionario. Para ser más específico, se denomina al proceso puntual anterior un proceso puntual de Poisson homogéneo. Un proceso de Poisson no homogéneo se define como se indicó anteriormente, pero reemplazando por donde es una función no negativa en ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \lambda \|B\|}$ ${\displaystyle \int _{B}\lambda (x)\,dx}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}.}$

Proceso de puntos de Cox

Un proceso de Cox (llamado así por Sir David Cox ) es una generalización del proceso puntual de Poisson, en el que utilizamos medidas aleatorias en lugar de . Más formalmente, sea una medida aleatoria . Un proceso puntual de Cox impulsado por la medida aleatoria es el proceso puntual con las dos propiedades siguientes: ${\displaystyle \lambda \|B\|}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \xi }$

1. Dado , ¿Poisson se distribuye con parámetro para cualquier subconjunto acotado? ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$ ${\displaystyle \xi (B)}$ ${\displaystyle \Lambda (B)}$ ${\displaystyle B.}$
2. Para cualquier colección finita de subconjuntos disjuntos y condicionados tenemos que son independientes. ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}}$ ${\displaystyle \Lambda (B_{1}),\ldots ,\Lambda (B_{n}),}$ ${\displaystyle \xi (B_{1}),\ldots ,\xi (B_{n})}$

Es fácil ver que los procesos puntuales de Poisson (homogéneos y no homogéneos) se presentan como casos especiales de procesos puntuales de Cox. La medida media de un proceso puntual de Cox es y, por lo tanto, en el caso especial de un proceso puntual de Poisson, es ${\displaystyle E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot )}$ ${\displaystyle \lambda \|\cdot \|.}$

Para un proceso puntual de Cox, se denomina medida de intensidad . Además, si tiene una densidad (aleatoria) ( derivada de Radon-Nikodym ) , es decir, ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$ ${\displaystyle \Lambda (\cdot )}$ ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$

${\displaystyle \Lambda (B)\,{\stackrel {\text{a.s.}}{=}}\,\int _{B}\lambda (x)\,dx,}$

Entonces se denomina campo de intensidad del proceso puntual de Cox. La estacionariedad de las medidas de intensidad o campos de intensidad implica la estacionariedad de los procesos puntuales de Cox correspondientes. ${\displaystyle \lambda (\cdot )}$

Se han estudiado en detalle muchas clases específicas de procesos de puntos de Cox, como por ejemplo:

• Procesos puntuales de Cox log-gaussianos: ^[19] para un campo aleatorio gaussiano ${\displaystyle \lambda (y)=\exp(X(y))}$ ${\displaystyle X(\cdot )}$
• Procesos puntuales de ruido de disparo de Cox:, ^[20] para un proceso puntual de Poisson y kernel ${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$ ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Procesos puntuales de Cox con ruido de disparo generalizado: ^[21] para un proceso puntual y un núcleo ${\displaystyle \lambda (y)=\sum _{X\in \Phi }h(X,y)}$ ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Procesos puntuales de Cox basados ​​en Lévy: ^[22] para una base de Lévy y un núcleo , y ${\displaystyle \lambda (y)=\int h(x,y)L(dx)}$ ${\displaystyle L(\cdot )}$ ${\displaystyle h(\cdot ,\cdot )}$
• Procesos de puntos de Cox permanentes: ^[23] para k campos aleatorios gaussianos independientes ${\displaystyle \lambda (y)=X_{1}^{2}(y)+\cdots +X_{k}^{2}(y)}$ ${\displaystyle X_{i}(\cdot )}$
• Procesos puntuales de Cox gaussianos sigmoideos: ^[24] para un campo aleatorio gaussiano y ${\displaystyle \lambda (y)=\lambda ^{\star }/(1+\exp(-X(y)))}$ ${\displaystyle X(\cdot )}$ ${\displaystyle \lambda ^{\star }>0}$

Por la desigualdad de Jensen, se puede verificar que los procesos puntuales de Cox satisfacen la siguiente desigualdad: para todos los subconjuntos acotados de Borel , ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (\xi (B))\geq \operatorname {Var} (\xi _{\alpha }(B)),}$

donde representa un proceso puntual de Poisson con medida de intensidad. Por lo tanto, los puntos se distribuyen con mayor variabilidad en un proceso puntual de Cox en comparación con un proceso puntual de Poisson. Esto a veces se denomina agrupamiento o propiedad atractiva del proceso puntual de Cox. ${\displaystyle \xi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha (\cdot ):=E\xi (\cdot )=E\Lambda (\cdot ).}$

Procesos puntuales determinantes

Una clase importante de procesos puntuales, con aplicaciones a la física , la teoría de matrices aleatorias y la combinatoria , es la de los procesos puntuales determinantes . ^[25]

Procesos de Hawkes (autoexcitantes)

Un proceso de Hawkes , también conocido como proceso de conteo autoexcitado, es un proceso puntual simple cuya intensidad condicional se puede expresar como ${\displaystyle N_{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (t)&=\mu (t)+\int _{-\infty }^{t}\nu (t-s)\,dN_{s}\\[5pt]&=\mu (t)+\sum _{T_{k}<t}\nu (t-T_{k})\end{aligned}}}$

donde es una función kernel que expresa la influencia positiva de eventos pasados ​​sobre el valor actual del proceso de intensidad , es una función posiblemente no estacionaria que representa la parte esperada, predecible o determinista de la intensidad, y es el tiempo de ocurrencia del i -ésimo evento del proceso. ^[26] ${\displaystyle \nu :\mathbb {R} ^{+}\rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle \lambda (t)}$ ${\displaystyle \mu (t)}$ ${\displaystyle \{T_{i}:T_{i}<T_{i+1}\}\in \mathbb {R} }$

Procesos geométricos

Dada una secuencia de variables aleatorias no negativas , si son independientes y la función de distribución acumulada de está dada por para , donde es una constante positiva, entonces se denomina proceso geométrico (PG). ^[27] ${\textstyle \{X_{k},k=1,2,\dots \}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle F(a^{k-1}x)}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{X_{k},k=1,2,\ldots \}}$

El proceso geométrico tiene varias extensiones, incluido el proceso de serie α ^[28] y el proceso doblemente geométrico ^[29] .

Procesos puntuales en la semirrecta real

Históricamente, los primeros procesos puntuales que se estudiaron tenían como espacio de estados la semirrecta real R _{+ = [0,∞), que en este contexto suele interpretarse como tiempo. Estos estudios estuvieron motivados por el deseo de modelar sistemas de telecomunicaciones,} ^[30] en los que los puntos representaban eventos en el tiempo, como llamadas a una central telefónica.

Los procesos puntuales en R ₊ se describen típicamente dando la secuencia de sus tiempos entre eventos (aleatorios) ( T ₁ ,  T ₂ , ...), de los cuales la secuencia real ( X ₁ ,  X ₂ , ...) de tiempos de eventos se puede obtener como

${\displaystyle X_{k}=\sum _{j=1}^{k}T_{j}\quad {\text{for }}k\geq 1.}$

Si los tiempos entre eventos son independientes y están distribuidos de forma idéntica, el proceso puntual obtenido se denomina proceso de renovación .

Intensidad de un proceso puntual

La intensidad λ ( t  |  H _t ) de un proceso puntual en la semirrecta real con respecto a una filtración H _t se define como

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr({\text{One event occurs in the time-interval}}\,[t,t+\Delta t]\mid H_{t}),}$

H _t puede denotar el historial de tiempos de eventos anteriores al tiempo t, pero también puede corresponder a otras filtraciones (por ejemplo, en el caso de un proceso de Cox).

En la notación, esto se puede escribir en una forma más compacta: ${\displaystyle N(t)}$

${\displaystyle \lambda (t\mid H_{t})=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1\mid H_{t}).}$

El compensador de un proceso puntual, también conocido como proyección dual-predecible , es la función de intensidad condicional integrada definida por

${\displaystyle \Lambda (s,u)=\int _{s}^{u}\lambda (t\mid H_{t})\,\mathrm {d} t}$

Funciones relacionadas

Función de intensidad de Papangelou

La función de intensidad de Papangelou de un proceso puntual en el espacio euclidiano -dimensional se define como ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \lambda _{p}(x)=\lim _{\delta \to 0}{\frac {1}{|B_{\delta }(x)|}}{P}\{{\text{One event occurs in }}\,B_{\delta }(x)\mid \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]\},}$

donde la bola está centrada en un radio , y denota la información del proceso puntual fuera de . ${\displaystyle B_{\delta }(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \sigma [N(\mathbb {R} ^{n}\setminus B_{\delta }(x))]}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B_{\delta }(x)}$

Función de verosimilitud

La probabilidad logarítmica de un proceso puntual simple parametrizado, condicionado a algunos datos observados, se escribe como

${\displaystyle \ln {\mathcal {L}}(N(t)_{t\in [0,T]})=\int _{0}^{T}(1-\lambda (s))\,ds+\int _{0}^{T}\ln \lambda (s)\,dN_{s}}$^[31]

Procesos puntuales en la estadística espacial

El análisis de datos de patrones de puntos en un subconjunto compacto S de R ⁿ es un importante objeto de estudio dentro de la estadística espacial . Dichos datos aparecen en una amplia gama de disciplinas, ^[32] entre las que se encuentran

• Ecología forestal y vegetal (posición de árboles o plantas en general)
• Epidemiología (ubicación de origen de los pacientes infectados)
• zoología (madrigueras o nidos de animales)
• geografía (posición de asentamientos humanos, pueblos o ciudades)
• sismología (epicentros de terremotos)
• Ciencia de los materiales (posición de defectos en materiales industriales)
• astronomía (ubicación de estrellas o galaxias)
• neurociencia computacional (picos de neuronas).

La necesidad de utilizar procesos puntuales para modelar este tipo de datos radica en su estructura espacial inherente. Por consiguiente, una primera cuestión de interés suele ser si los datos dados presentan una aleatoriedad espacial completa (es decir, son una realización de un proceso de Poisson espacial ) en lugar de exhibir agregación espacial o inhibición espacial.

Por el contrario, muchos conjuntos de datos considerados en las estadísticas multivariadas clásicas consisten en puntos de datos generados independientemente que pueden estar regidos por una o varias covariables (normalmente no espaciales).

Además de las aplicaciones en estadística espacial, los procesos puntuales son uno de los objetos fundamentales de la geometría estocástica . La investigación también se ha centrado ampliamente en varios modelos basados ​​en procesos puntuales, como las teselaciones de Voronoi , los gráficos geométricos aleatorios y los modelos booleanos .

Véase también

• Medida empírica
• Medida aleatoria
• Notación de proceso de puntos
• Operación del proceso puntual
• Proceso de Poisson
• Teoría de la renovación
• Medida invariante
• Operador de transferencia
• Operador de Koopman
• Operador de turno

Notas

1. En el contexto de los procesos puntuales, el término "espacio de estados" puede significar el espacio en el que se define el proceso puntual, como la línea real, ^{[11] [12]} que corresponde al índice establecido en la terminología del proceso estocástico.

Referencias

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