Medida de conteo

Concepto matemático

En matemáticas , específicamente en la teoría de la medida , la medida de conteo es una forma intuitiva de poner una medida en cualquier conjunto : el "tamaño" de un subconjunto se toma como el número de elementos en el subconjunto si el subconjunto tiene un número finito de elementos, e infinito ${\displaystyle \infty }$ si el subconjunto es infinito . ^[1]

La medida de conteo se puede definir en cualquier espacio medible (es decir, cualquier conjunto junto con un álgebra sigma), pero se utiliza principalmente en conjuntos contables . ^[1] ${\displaystyle X}$

En notación formal, podemos convertir cualquier conjunto en un espacio medible tomando el conjunto potencia de como el álgebra sigma , es decir, todos los subconjuntos de son conjuntos mesurables. Entonces, la medida de conteo en este espacio medible es la medida positiva definida por para todos donde denota la cardinalidad del conjunto ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma ;}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma \to [0,+\infty ]}$ $${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{if }}A{\text{ is finite}}\\+\infty &{\text{if }}A{\text{ is infinite}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle A\in \Sigma ,}$ ${\displaystyle \vert A\vert }$ ${\displaystyle A.}$

La medida de conteo en es σ-finita si y sólo si el espacio es contable . ^[3] ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle X}$

Integración en norte {\displaystyle \mathbb {N}} con medida de conteo

Tome el espacio de medida , donde es el conjunto de todos los subconjuntos de los naturales y la medida de conteo. Tome cualquier medible . Como se define en , se puede representar puntualmente como ${\displaystyle (\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },\mu )}$ ${\displaystyle 2^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)1_{\{n\}}(x)=\lim _{M\to \infty }\underbrace {\ \sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\ } _{\phi _{M}(x)}=\lim _{M\to \infty }\phi _{M}(x)}$$

Cada una es medible. Además, como cada una es una función simple , por lo tanto, por el teorema de convergencia monótona ${\displaystyle \phi _{M}}$ ${\displaystyle \phi _{M+1}(x)=\phi _{M}(x)+f(M+1)\cdot 1_{\{M+1\}}(x)\geq \phi _{M}(x)}$ ${\displaystyle \phi _{M}}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\int _{\mathbb {N} }\left(\sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\right)d\mu =\sum _{n=1}^{M}f(n)\mu (\{n\})=\sum _{n=1}^{M}f(n)\cdot 1=\sum _{n=1}^{M}f(n)}$$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {N} }fd\mu =\lim _{M\to \infty }\int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\lim _{M\to \infty }\sum _{n=1}^{M}f(n)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$$

Discusión

La medida de conteo es un caso especial de una construcción más general. Con la notación anterior, cualquier función define una medida en via donde la suma posiblemente incontable de números reales se define como el supremo de las sumas sobre todos los subconjuntos finitos, es decir, Tomando para todos se obtiene la medida de conteo. ${\displaystyle f:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ $${\displaystyle \mu (A):=\sum _{a\in A}f(a)\quad {\text{ for all }}A\subseteq X,}$$ $${\displaystyle \sum _{y\,\in \,Y\!\ \subseteq \,\mathbb {R} }y\ :=\ \sup _{F\subseteq Y,\,|F|<\infty }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.}$$ ${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle x\in X}$

Véase también

• Pip (conteo)  – Elementos fácilmente contables
• Medida de conteo aleatorio
• Función de conjunto  : Función de conjuntos a números

Referencias

1. Conteo y medida en PlanetMath .
2. Chelín, René L. (2005). Medidas, Integrales y Martingalas . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 27.ISBN​ 0-521-61525-9.
3. Hansen, Ernst (2009). Teoría de la medida (cuarta edición). Departamento de Ciencias Matemáticas, Universidad de Copenhague. p. 47. ISBN 978-87-91927-44-7.