Medida aleatoria tipo Poisson

Familia de tres medidas de conteo aleatorio.

Las medidas aleatorias de tipo Poisson son una familia de tres medidas de conteo aleatorias que están cerradas bajo restricción a un subespacio, es decir, cerradas bajo adelgazamiento. Son las únicas distribuciones de la familia de distribuciones canónicas de series de potencias no negativas que poseen esta propiedad e incluyen la distribución de Poisson , la distribución binomial negativa y la distribución binomial . ^[1] La familia de distribuciones PT también se conoce como familia de distribuciones Katz, ^[2] clase de distribuciones Panjer o (a,b,0) ^[3] y puede recuperarse a través de la distribución Conway-Maxwell-Poisson . ^[4]

Tirando piedras

Sea una variable aleatoria de valor entero no negativo ) con ley , media y cuando existe varianza . Sea una medida de probabilidad en el espacio mensurable . Sea una colección de variables aleatorias iid (piedras) que toman valores con ley . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\in \mathbb {N} _{\geq 0}=\mathbb {N} _{>0}\cup \{0\}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ ${\displaystyle \delta ^{2}>0}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =\{X_{i}\}}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle \nu }$

La medida de conteo aleatorio depende del par de medidas de probabilidad deterministas a través de la construcción de lanzamiento de piedras (STC) ^[5] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle (\kappa ,\nu )}$

${\displaystyle \quad N_{\omega }(A)=N(\omega ,A)=\sum _{i=1}^{K(\omega )}\mathbb {I} _{A}(X_{i}(\omega ))\quad {\text{for}}\quad \omega \in \Omega ,\,\,\,A\in {\mathcal {E}}}$

donde tiene ley y iid tiene ley . es un proceso binomial mixto ^[6] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsb }$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle N}$

Sea el conjunto de funciones positivas mensurables. La ley de probabilidad de está codificada en el funcional de Laplace. ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{+}=\{f:E\mapsto \mathbb {R} _{+}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \quad \mathbb {E} e^{-Nf}=\mathbb {E} (\mathbb {E} e^{-f(X)})^{K}=\mathbb {E} (\nu e^{-f})^{K}=\psi (\nu e^{-f})\quad {\text{for}}\quad f\in {\mathcal {E}}_{+}}$

¿Dónde está la función generadora de ? La media y la varianza están dadas por ${\displaystyle \psi (\cdot )}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \quad \mathbb {E} Nf=c\nu f}$

y

${\displaystyle \quad \mathbb {V} {\text{ar}}Nf=c\nu f^{2}+(\delta ^{2}-c)(\nu f)^{2}}$

La covarianza para arbitrario está dada por ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {E}}_{+}}$

${\displaystyle \quad \mathbb {C} {\text{ov}}(Nf,Ng)=c\nu (fg)+(\delta ^{2}-c)\nu f\nu g}$

Cuando es de Poisson, binomial negativo o binomial, se dice que es de tipo Poisson (PT). La distribución conjunta de la colección es para y ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle N(A),\ldots ,N(B)}$ ${\displaystyle i,\ldots ,j\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle i+\cdots +j=k}$

${\displaystyle \mathbb {P} (N(A)=i,\ldots ,N(B)=j)=\mathbb {P} (N(A)=i,\ldots ,N(B)=j|K=k)\,\mathbb {P} (K=k)={\frac {k!}{i!\cdots j!}}\,\nu (A)^{i}\cdots \nu (B)^{j}\,\mathbb {P} (K=k)}$

El siguiente resultado extiende la construcción de una medida aleatoria al caso en que la colección se expande hasta donde hay una transformación aleatoria de . Heurísticamente, representa algunas propiedades (marcas) de . Suponemos que la ley condicional de sigue algún núcleo de transición según . ${\displaystyle N=(\kappa ,\nu )}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\{(X_{i},Y_{i})\}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (Y\in B|X=x)=Q(x,B)}$

Teorema: STC marcado

Considere la medida aleatoria y el núcleo de probabilidad de transición de a . Supongamos que dada la colección las variables son condicionalmente independientes con . Entonces es una medida aleatoria en . Aquí se entiende como . Además, para cualquiera tenemos que donde es pgf de y se define como ${\displaystyle N=(\kappa ,\nu )}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (E,{\cal {E)}}}$ ${\displaystyle (F,{\cal {F)}}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} =\{Y_{i}\}}$ ${\displaystyle Y_{i}\sim Q(X_{i},\cdot )}$ ${\displaystyle M=(\kappa ,\nu \times Q)}$ ${\displaystyle (E\times F,{\cal {E\otimes F)}}}$ ${\displaystyle \mu =\nu \times Q}$ ${\displaystyle \mu (dx,dy)=\nu (dx)Q(x,dy)}$ ${\displaystyle f\in ({\cal {E}}\otimes {\cal {F}})_{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} e^{-Mf}=\psi (\nu e^{-g})}$ ${\displaystyle \psi (\cdot )}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {E}}_{+}}$ ${\displaystyle e^{-g(x)}=\int _{F}Q(x,dy)e^{-f(x,y)}.}$

El siguiente corolario es una consecuencia inmediata.

Corolario: STC restringido

La cantidad es una medida aleatoria bien definida en el subespacio mensurable donde y . Además, para cualquiera , tenemos ese dónde . ${\displaystyle N_{A}=(N\mathbb {I} _{A},\nu _{A})}$ ${\displaystyle (E\cap A,{\mathcal {E}}_{A})}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{A}=\{A\cap B:B\in {\mathcal {E}}\}}$ ${\displaystyle \nu _{A}(B)=\nu (A\cap B)/\nu (A)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {E}}_{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {E} e^{-N_{A}f}=\psi (\nu e^{-f}\mathbb {I} _{A}+b)}$ ${\displaystyle b=1-\nu (A)}$

Tenga en cuenta dónde utilizamos . ${\displaystyle \psi (\nu e^{-f}\mathbb {I} _{A}+1-a)=\psi _{A}(\nu _{A}e^{-f})}$ ${\displaystyle \nu e^{-f}\mathbb {I} _{A}=a\nu _{A}e^{-f}}$

Recogiendo huesos

La ley de probabilidad de la medida aleatoria está determinada por su funcional de Laplace y, por tanto, su función generadora.

Definición: Hueso

Sea la variable de conteo restringida a . Cuando y comparten la misma familia de leyes sujetas a un cambio de escala del parámetro , entonces se denomina distribución ósea . La condición ósea para el pgf viene dada por . ${\displaystyle K_{A}=N\mathbb {I} _{A}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A\subset E}$ ${\displaystyle \{N\mathbb {I} _{A}:A\subset E\}}$ ${\displaystyle K=N\mathbb {I} _{E}}$ ${\displaystyle h_{a}(\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \psi _{\theta }(at+1-a)=\psi _{h_{a}(\theta )}(t)}$

Equipado con la noción de distribución y condición ósea, el resultado principal de la existencia y singularidad de las medidas de conteo aleatorio de tipo Poisson (PT) se proporciona a continuación.

Teorema: existencia y unicidad de medidas aleatorias PT

Supongamos que con pgf pertenece a la familia de distribuciones de series de potencias no negativas canónicas (NNPS) y . Considere la medida aleatoria en el espacio y suponga que es difusa. Entonces, para cualquiera con existe un mapeo tal que la medida aleatoria restringida es , es decir, ${\displaystyle K\sim \kappa _{\theta }}$ ${\displaystyle \psi _{\theta }}$ ${\displaystyle \{0,1\}\subset {\text{supp}}(K)}$ ${\displaystyle N=(\kappa _{\theta },\nu )}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle A\subset E}$ ${\displaystyle \nu (A)=a>0}$ ${\displaystyle h_{a}:\Theta \rightarrow \Theta }$ ${\displaystyle N_{A}=(\kappa _{h_{a}(\theta )},\nu _{A})}$

${\displaystyle \quad \mathbb {E} e^{-N_{A}f}=\psi _{h_{a}(\theta )}(\nu _{A}e^{-f})\quad {\text{for}}\quad f\in {\mathcal {E}}_{+}}$

iff es Poisson, binomial negativo o binomial ( tipo Poisson ). ${\displaystyle K}$

La prueba de este teorema se basa en una ecuación de Cauchy aditiva generalizada y sus soluciones. El teorema establece que de todas las distribuciones NNPS, sólo PT tiene la propiedad de que sus restricciones comparten la misma familia de distribución que , es decir, están cerradas bajo adelgazamiento. Las medidas aleatorias PT son la medida aleatoria de Poisson , la medida aleatoria binomial negativa y la medida aleatoria binomial. Poisson es aditivo con independencia en conjuntos disjuntos, mientras que el binomio negativo tiene covarianza positiva y el binomio tiene covarianza negativa. El proceso binomial es un caso límite de medida aleatoria binomial donde . ${\displaystyle N\mathbb {I} _{A}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p\rightarrow 1,n\rightarrow c}$

Aplicaciones de autosimilitud distributiva

La condición de "hueso" en el pgf de codifica una propiedad de autosimilitud distributiva mediante la cual todos los recuentos en las restricciones (adelgazamientos) de los subespacios (codificados por pgf ) están en la misma familia a partir del cambio de escala del parámetro canónico. Estas ideas parecen estrechamente relacionadas con las de autodescomponibilidad y estabilidad de variables aleatorias discretas. ^[7] La ​​reducción binomial es un modelo fundamental para contar series temporales. ^{[8] [9]} La medida aleatoria de Poisson tiene la conocida propiedad de división, es un prototipo de la clase de medidas aleatorias aditivas (completamente aleatorias) y está relacionada con la estructura de los procesos de Lévy , los saltos de las ecuaciones de Kolmogorov (salto de Markov proceso) y las excursiones del movimiento browniano . ^[10] Por lo tanto, la propiedad de autosimilitud de la familia PT es fundamental para múltiples áreas. Los miembros de la familia PT son medidas aleatorias "primitivas" o prototípicas mediante las cuales se pueden construir muchas medidas y procesos aleatorios. ${\displaystyle \psi _{\theta }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \psi _{A}}$ ${\displaystyle \psi _{\theta }}$ ${\displaystyle K}$

Referencias

1. Caleb Bastián, Gregory Rempala. Lanzar piedras y recolectar huesos: buscando medidas aleatorias similares a las de Poisson, Métodos matemáticos en las ciencias aplicadas, 2020. doi:10.1002/mma.6224
2. Katz L.. Distribuciones discretas clásicas y contagiosas, cap. Tratamiento unificado de una clase amplia de distribuciones de probabilidad discretas, :175-182. Prensa de Pérgamo, Oxford 1965.
3. Panjer Harry H.. Evaluación recursiva de una familia de distribuciones compuestas. 1981;12(1):22-26
4. Conway RW, Maxwell WL. Un modelo de colas con tarifas de servicio dependientes del estado. Revista de Ingeniería Industrial. 1962;12.
5. Cinlar Erhan. Probabilidad y Estocástica. Springer-Verlag Nueva York; 2011
6. Kallenberg Olav. Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones. Saltador; 2017
7. Steutel FW, Van Harn K. Análogos discretos de autodescomponibilidad y estabilidad. Los anales de la probabilidad. 1979;:893–899.
8. Al-Osh MA, Alzaid AA. Proceso autogresivo de valor entero de primer orden (INAR(1)). Revista de análisis de series temporales. 1987;8(3):261–275.
9. Scotto Manuel G., Weiß Christian H., Gouveia Sónia. Modelos de adelgazamiento en el análisis de series de tiempo con valores enteros: una revisión. Modelización estadística. 2015;15(6):590–618.
10. Cinlar Erhan. Probabilidad y Estocástica. Springer-Verlag Nueva York; 2011.