Medida aleatoria de Poisson

Sea un espacio de medida con medida finita . La medida aleatoria de Poisson con medida de intensidad es una familia de variables aleatorias definidas en algún espacio de probabilidad tal que ${\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{N_{A}\}_{A\in {\mathcal {A}}}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )}$

i) es una variable aleatoria de Poisson con tasa . ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}},\quad N_{A}}$ ${\displaystyle \mu (A)}$

ii) Si los conjuntos no se cruzan, entonces las variables aleatorias correspondientes de i) son mutuamente independientes . ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {A}}}$

iii) es una medida sobre ${\displaystyle \forall \omega \in \Omega \;N_{\bullet }(\omega )}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {A}})}$

Existencia

Si entonces satisface las condiciones i)–iii). De lo contrario, en el caso de una medida finita , dada una variable aleatoria de Poisson con tasa y variables aleatorias mutuamente independientes con distribución , defina dónde se ubica una medida degenerada . Entonces será una medida aleatoria de Poisson. En el caso de que no sea finita, la medida se puede obtener a partir de las medidas construidas anteriormente en partes de donde es finita. ${\displaystyle \mu \equiv 0}$ ${\displaystyle N\equiv 0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mu (E)}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ ${\displaystyle {\frac {\mu }{\mu (E)}}}$ ${\displaystyle N_{\cdot }(\omega )=\sum \limits _{i=1}^{Z(\omega )}\delta _{X_{i}(\omega )}(\cdot )}$ ${\displaystyle \delta _{c}(A)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mu }$

Aplicaciones

Este tipo de medida aleatoria se utiliza a menudo al describir saltos de procesos estocásticos , en particular en la descomposición de Lévy-Itō de los procesos de Lévy .

Generalizaciones

La medida aleatoria de Poisson se generaliza a las medidas aleatorias de tipo Poisson , donde los miembros de la familia PT son invariantes bajo restricción a un subespacio.

Referencias

• Sato, K. (2010). Procesos de Lévy y distribuciones infinitamente divisibles . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55302-5.