Proceso binomial

Un proceso binomial es un proceso puntual especial en la teoría de probabilidad .

Definición

Sea una distribución de probabilidad y un número natural fijo. Sea una variable aleatoria iid con distribución , por lo que para todo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X_{i}\sim P}$ ${\displaystyle i\in \{1,2,\dots ,n\}}$

Entonces el proceso binomial basado en n y P es la medida aleatoria

${\displaystyle \xi =\sum _{i=1}^{n}\delta _{X_{i}},}$

dónde ${\displaystyle \delta _{X_{i}(A)}={\begin{cases}1,&{\text{if }}X_{i}\in A,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Propiedades

Nombre

El nombre de un proceso binomial se deriva del hecho de que para todos los conjuntos mensurables la variable aleatoria sigue una distribución binomial con parámetros y : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \xi (A)}$ ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \xi (A)\sim \operatorname {Bin} (n,P(A)).}$

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de un proceso binomial está dada por

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{P,n}(f)=\left[\int \exp(-f(x))\mathrm {P} (dx)\right]^{n}}$

para todas las funciones positivas mensurables . ${\displaystyle f}$

Medida de intensidad

La medida de intensidad de un proceso binomial viene dada por ${\displaystyle \operatorname {E} \xi }$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \operatorname {E} \xi =nP.}$

Generalizaciones

Una generalización de los procesos binomiales son los procesos binomiales mixtos . En estos procesos puntuales, el número de puntos no es determinista como en los procesos binomiales, sino que está determinado por una variable aleatoria . Por lo tanto, los procesos binomiales mixtos condicionados a son procesos binomiales basados ​​en y . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K=n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P}$

Literatura

• Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.