(a,b,0) clase de distribuciones

Término en teoría de la probabilidad

En teoría de probabilidad , un miembro de la clase de distribuciones ( a , b , 0) es cualquier distribución de una variable aleatoria discreta N cuyos valores son números enteros no negativos cuya función de masa de probabilidad satisface la fórmula de recurrencia.

${\displaystyle {\frac {p_{k}}{p_{k-1}}}=a+{\frac {b}{k}},\qquad k=1,2,3,\dots }$

para algunos números reales a y b , donde . ${\displaystyle p_{k}=P(N=k)}$

La clase de distribuciones (a,b,0) también se conoce como distribución Panjer, ^{[1] [2]} tipo Poisson o familia de distribuciones Katz, ^{[3] [4]} y se puede recuperar a través de la distribución Conway–Maxwell–Poisson .

Sólo las distribuciones de Poisson , binomial y binomial negativa satisfacen la forma completa de esta relación. Éstas son también las tres distribuciones discretas entre los seis miembros de la familia exponencial natural con funciones de varianza cuadrática (NEF–QVF).

Se pueden definir distribuciones más generales fijando algunos valores iniciales de p _j y aplicando la recursión para definir los valores subsiguientes. Esto puede ser útil para ajustar distribuciones a datos empíricos. Sin embargo, hay otras distribuciones bien conocidas disponibles si la recursión anterior solo se cumple para un rango restringido de valores de k : ^[5] por ejemplo, la distribución logarítmica y la distribución uniforme discreta .

La clase de distribuciones ( a , b , 0) tiene aplicaciones importantes en la ciencia actuarial en el contexto de los modelos de pérdidas. ^[6]

Propiedades

Sundt ^[7] demostró que sólo la distribución binomial , la distribución de Poisson y la distribución binomial negativa pertenecen a esta clase de distribuciones, y que cada distribución está representada por un signo diferente de  a . Además, Fackler ^[2] demostró que existe una fórmula universal para las tres distribuciones, llamada distribución de Panjer (unida) .

Los parámetros más habituales de estas distribuciones están determinados tanto por a como  por b . Las propiedades de estas distribuciones en relación con la presente clase de distribuciones se resumen en la siguiente tabla. Nótese que denota la función generadora de probabilidad . ${\displaystyle W_{N}(x)\,}$

Nótese que la distribución de Panjer se reduce a la distribución de Poisson en el caso límite ; coincide con la distribución binomial negativa para números reales finitos positivos y es igual a la distribución binomial para números enteros negativos . ${\displaystyle \alpha \rightarrow \pm \infty }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle -\alpha \in \mathbb {Z} }$

Trazando

Una forma sencilla de determinar rápidamente si una muestra dada fue tomada de una distribución de la clase ( a , b , 0) es graficar la relación de dos datos observados consecutivos (multiplicados por una constante) contra el eje x .

Al multiplicar ambos lados de la fórmula recursiva por , obtienes ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k\,{\frac {p_{k}}{p_{k-1}}}=ak+b,}$

lo que demuestra que el lado izquierdo es obviamente una función lineal de . Cuando se utiliza una muestra de datos, se debe realizar una aproximación de la de . Si representa el número de observaciones que tienen el valor , entonces es un estimador insesgado del verdadero . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{k}={\frac {n_{k}}{n}}}$ ${\displaystyle p_{k}}$

Por lo tanto, si se observa una tendencia lineal, se puede suponer que los datos se toman de una distribución ( a , b , 0). Además, la pendiente de la función sería el parámetro , mientras que la ordenada en el origen sería . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Véase también

• Distribución de Conway-Maxwell-Poisson
• Recursión de Panjer
• Medida aleatoria de tipo Poisson

Referencias

1. Panjer, Harry H. (1981). "Evaluación recursiva de una familia de distribuciones compuestas" (PDF) . Boletín ASTIN . 12 (1): 22–26.
2. Fackler, Michael (2009). "Panjer class united - one formula for the Poisson, Binomial and Negative Binomial distribution" (PDF) . Coloquio ASTIN . Asociación Actuarial Internacional .
3. Katz, Leo (1965). Ganapati Patil (ed.). Tratamiento unificado de una amplia clase de distribuciones de probabilidad discretas . Distribuciones discretas clásicas y contagiosas. Pergamon Press, Oxford. págs. 175–182.
4. Gathy, Maude; Lefèvre, Claude (2010). "Sobre la familia de distribuciones Lagrangian Katz como modelo de frecuencia de siniestralidadDistribuciones". Seguros: Matemáticas y Economía . 47 (1): 78–83. doi :10.1016/j.insmatheco.2010.03.010.
5. Hess, Klaus Th.; Liewald, Anett; Schmidt, Klaus D. (2002). "Una extensión de la recursión de Panjer" (PDF) . Boletín ASTIN . 32 (2): 283–297. doi : 10.2143/AST.32.2.1030 . Archivado (PDF) desde el original el 2009-07-11 . Consultado el 2009-06-18 .
6. Klugman, Stuart; Panjer, Harry ; Gordon, Willmot (2004). Modelos de pérdida: de los datos a las decisiones . Serie sobre probabilidad y estadística (2.ª ed.). Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-0-471-21577-6.
7. Sundt, Bjørn; Jewell, William S. (1981). "Resultados adicionales sobre la evaluación recursiva de distribuciones compuestas" (PDF) . Boletín ASTIN . 12 (1): 27–39. doi : 10.1017/S0515036100006802 .