Proceso de Poisson compuesto

Un proceso compuesto de Poisson es un proceso estocástico de tiempo continuo con saltos. Los saltos se producen aleatoriamente según un proceso de Poisson y el tamaño de los saltos también es aleatorio, con una distribución de probabilidad especificada. Para ser precisos, un proceso compuesto de Poisson, parametrizado por una distribución de velocidad y tamaño de salto G , es un proceso dado por ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \{\,Y(t):t\geq 0\,\}}$

${\displaystyle Y(t)=\sum _{i=1}^{N(t)}D_{i}}$

donde, es la variable de conteo de un proceso de Poisson con tasa , y son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, con función de distribución G , que también son independientes de ${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \{\,D_{i}:i\geq 1\,\}}$ ${\displaystyle \{\,N(t):t\geq 0\,\}.\,}$

Cuando las variables aleatorias son de valores enteros no negativos, entonces este proceso de Poisson compuesto se conoce como proceso de Poisson tartamudeante. ${\displaystyle D_{i}}$

Propiedades del proceso de Poisson compuesto

El valor esperado de un proceso de Poisson compuesto se puede calcular utilizando un resultado conocido como ecuación de Wald como:

${\displaystyle \operatorname {E} (Y(t))=\operatorname {E} (D_{1}+\cdots +D_{N(t)})=\operatorname {E} (N(t))\operatorname {E} (D_{1})=\operatorname {E} (N(t))\operatorname {E} (D)=\lambda t\operatorname {E} (D).}$

Haciendo un uso similar de la ley de varianza total , la varianza se puede calcular como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {var} (Y(t))&=\operatorname {E} (\operatorname {var} (Y(t)\mid N(t)))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (Y(t)\mid N(t)))\\[5pt]&=\operatorname {E} (N(t)\operatorname {var} (D))+\operatorname {var} (N(t)\operatorname {E} (D))\\[5pt]&=\operatorname {var} (D)\operatorname {E} (N(t))+\operatorname {E} (D)^{2}\operatorname {var} (N(t))\\[5pt]&=\operatorname {var} (D)\lambda t+\operatorname {E} (D)^{2}\lambda t\\[5pt]&=\lambda t(\operatorname {var} (D)+\operatorname {E} (D)^{2})\\[5pt]&=\lambda t\operatorname {E} (D^{2}).\end{aligned}}}$

Por último, utilizando la ley de probabilidad total , la función generadora de momentos se puede dar de la siguiente manera:

${\displaystyle \Pr(Y(t)=i)=\sum _{n}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\Pr(N(t)=n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (e^{sY})&=\sum _{i}e^{si}\Pr(Y(t)=i)\\[5pt]&=\sum _{i}e^{si}\sum _{n}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\Pr(N(t)=n)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)\sum _{i}e^{si}\Pr(Y(t)=i\mid N(t)=n)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)\sum _{i}e^{si}\Pr(D_{1}+D_{2}+\cdots +D_{n}=i)\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)M_{D}(s)^{n}\\[5pt]&=\sum _{n}\Pr(N(t)=n)e^{n\ln(M_{D}(s))}\\[5pt]&=M_{N(t)}(\ln(M_{D}(s)))\\[5pt]&=e^{\lambda t\left(M_{D}(s)-1\right)}.\end{aligned}}}$

Exponenciación de medidas

Sean N , Y y D como se indica anteriormente. Sea μ la medida de probabilidad según la cual se distribuye D , es decir

${\displaystyle \mu (A)=\Pr(D\in A).\,}$

Sea δ ₀ la distribución de probabilidad trivial que pone toda la masa en cero. Entonces la distribución de probabilidad de Y ( t ) es la medida

${\displaystyle \exp(\lambda t(\mu -\delta _{0}))\,}$

donde la exp exponencial ( ν ) de una medida finita ν en los subconjuntos de Borel de la línea real se define por

${\displaystyle \exp(\nu )=\sum _{n=0}^{\infty }{\nu ^{*n} \over n!}}$

y

${\displaystyle \nu ^{*n}=\underbrace {\nu *\cdots *\nu } _{n{\text{ factors}}}}$

es una convolución de medidas y la serie converge débilmente .

Véase también

• Proceso de Poisson
• Distribución de Poisson
• Distribución de Poisson compuesta
• Proceso de Poisson no homogéneo
• Fórmula de Campbell para la función generadora de momentos de un proceso de Poisson compuesto