Medida del momento factorial

En probabilidad y estadística , una medida de momento factorial es una cantidad, función o, más precisamente, medida matemática que se define en relación con objetos matemáticos conocidos como procesos puntuales , que son tipos de procesos estocásticos utilizados a menudo como modelos matemáticos de fenómenos físicos representables como Puntos colocados aleatoriamente en el tiempo , el espacio o ambos. Las medidas de momento generalizan la idea de momentos factoriales , que son útiles para estudiar variables aleatorias con valores enteros no negativos . ^[1]

La primera medida de momento factorial de un proceso puntual coincide con su primera medida de momento o medida de intensidad , ^[2] que da el número esperado o promedio de puntos del proceso puntual ubicados en alguna región del espacio. En general, si el número de puntos en una región se considera como una variable aleatoria, entonces la medida factorial del momento de esta región es el momento factorial de esta variable aleatoria. ^[3] Las medidas de momento factorial caracterizan completamente una amplia clase de procesos puntuales, lo que significa que pueden usarse para identificar de forma única un proceso puntual.

Si una medida de momento factorial es absolutamente continua , entonces con respecto a la medida de Lebesgue se dice que tiene una densidad (que es una forma generalizada de una derivada ), y esta densidad se conoce con varios nombres, como densidad de momento factorial y densidad del producto , así como densidad de coincidencia , ^[1] intensidad conjunta ^[4] , función de correlación o espectro de frecuencia multivariado ^[5] La primera y segunda densidades de momento factoriales de un proceso puntual se utilizan en la definición de la función de correlación de pares , que proporciona una forma de cuantificar estadísticamente la fuerza de la interacción o correlación entre puntos de un proceso puntual. ^[6]

Las medidas de momentos factoriales sirven como herramientas útiles en el estudio de procesos puntuales ^{[1] [6] [7]} , así como en los campos relacionados de la geometría estocástica ^[3] y la estadística espacial , ^{[6] [8]} que se aplican en diversos campos científicos. y disciplinas de ingeniería como biología , geología , física y telecomunicaciones . ^{[1] [3] [9]}

Notación de proceso de puntos

Los procesos puntuales son objetos matemáticos que se definen en algún espacio matemático subyacente . Dado que estos procesos se utilizan a menudo para representar colecciones de puntos dispersos aleatoriamente en el espacio, el tiempo o ambos, el espacio subyacente suele ser un espacio euclidiano d -dimensional denotado aquí por R ^d , pero se pueden definir en espacios matemáticos más abstractos . ^[7]

Los procesos puntuales tienen varias interpretaciones, lo que se refleja en los distintos tipos de notación de procesos puntuales . ^{[3] [9]} Por ejemplo, si un punto pertenece o es miembro de un proceso de puntos, denotado por N , entonces esto se puede escribir como: ^[3] ${\displaystyle \textstyle x}$

${\displaystyle \textstyle x\in {N},}$

y representa el proceso puntual que se interpreta como un conjunto aleatorio . Alternativamente, el número de puntos de N ubicados en algún conjunto B de Borel a menudo se escribe como: ^{[2] [3] [8]}

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

lo que refleja una interpretación de medidas aleatorias para procesos puntuales. Estas dos notaciones se utilizan a menudo en paralelo o indistintamente. ^{[3] [8] [2]}

Definiciones

norteésima potencia factorial de un proceso puntual

Para algún número entero positivo , la -ésima potencia factorial de un proceso puntual se define como: ^[2] ${\displaystyle \textstyle n=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$

${\displaystyle {N}^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\sum _{(x_{1}\neq \dots \neq x_{n})\in {N}}\prod _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{B_{i}}(x_{i})}$

donde es una colección de conjuntos de Borel no necesariamente disjuntos , que forman un producto cartesiano multiplicado de conjuntos denotados por: ${\displaystyle \textstyle B_{1},...,B_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}.}$

El símbolo indica una función indicadora que es una medida de Dirac para el conjunto . La suma en la expresión anterior se realiza sobre todas las tuplas de puntos distintos, incluidas las permutaciones , lo que puede contrastarse con la definición de la n -ésima potencia de un proceso puntual . El símbolo denota multiplicación, mientras que la existencia de varias notaciones de procesos puntuales significa que la n -ésima potencia factorial de un proceso puntual a veces se define utilizando otra notación. ^[2] ${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} _{B_{1}}}$ ${\displaystyle \textstyle B_{n}}$ ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle \Pi }$

norteª medida del momento factorial

La medida del momento factorial de n.ésimo orden o la medida del momento factorial de n.ésimo orden se define como:

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=E[{N}^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})],}$

donde E denota la expectativa ( operador ) del proceso puntual N. En otras palabras, la n -ésima medida del momento factorial es la expectativa de la n -ésima potencia factorial de algún proceso puntual.

La n- ésima medida de momento factorial de un proceso puntual N se define de manera equivalente ^[3] por:

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})M^{(n)}(dx_{1},\ldots ,dx_{n})=E\left[\sum _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in {N}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\right],}$

donde hay cualquier función medible no negativa , y la suma anterior se realiza sobre todas las tuplas de puntos distintos, incluidas las permutaciones. En consecuencia, la medida del momento factorial se define de manera que no haya puntos que se repitan en el conjunto de productos, a diferencia de la medida del momento. ^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}^{nd}}$ ${\displaystyle n}$

Primera medida del momento factorial

La primera medida de momento factorial coincide con la primera medida de momento : ^[2] ${\displaystyle \textstyle M^{1}}$

${\displaystyle M^{(1)}(B)=M^{1}(B)=E[{N}(B)],}$

donde se conoce, entre otros términos, como medida de intensidad ^[3] o medida media , ^[10] y se interpreta como el número esperado de puntos de encontrados o ubicados en el conjunto ${\displaystyle \textstyle M^{1}}$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

Segunda medida del momento factorial

La segunda medida de momento factorial para dos conjuntos de Borel es : ${\displaystyle \textstyle A}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle M^{(2)}(A\times B)=M^{2}(A\times B)-M^{1}(A\cap B).}$

Explicación del nombre

Para algunos conjuntos de Borel , el homónimo de esta medida se revela cuando la medida del momento factorial se reduce a: ${\displaystyle \textstyle B}$ ${\displaystyle \textstyle n\,}$

${\displaystyle M^{(n)}(B\times \cdots \times B)=E[{N}(B)({N}(B)-1)\cdots ({N}(B)-n+1)],}$

que es el -ésimo momento factorial de la variable aleatoria . ^[3] ${\displaystyle \textstyle n\,}$ ${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$

Densidad de momento factorial

Si una medida de momento factorial es absolutamente continua , entonces tiene una densidad (o más precisamente, una derivada o densidad de Radon-Nikodym ) con respecto a la medida de Lebesgue y esta densidad se conoce como densidad de momento factorial o densidad de producto , intensidad conjunta , función de correlación , o espectro de frecuencia multivariado . Denotando la -ésima densidad de momento factorial por , se define con respecto a la ecuación: ^[3] ${\displaystyle \textstyle n}$ ${\displaystyle \textstyle \mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})=\int _{B_{1}}\cdots \int _{B_{n}}\mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}.}$

Además, esto significa la siguiente expresión

${\displaystyle E\left[\sum _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in {N}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\right]=\int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n},}$

¿Dónde está cualquier función medible acotada no negativa definida en ? ${\displaystyle \textstyle f}$ ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{n}}$

Función de correlación de pares

En estadística espacial y geometría estocástica, para medir la relación de correlación estadística entre puntos de un proceso puntual, la función de correlación de pares de un proceso puntual se define como: ^{[3] [6]} ${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})={\frac {\mu ^{(2)}(x_{1},x_{2})}{\mu ^{(1)}(x_{1})\mu ^{(1)}(x_{2})}},}$

donde los puntos . En general, mientras que no corresponde a ninguna correlación (entre puntos) en el sentido estadístico típico. ^[6] ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in R^{d}}$ ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})\geq 0}$ ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=1}$

Ejemplos

proceso de punto de veneno

Para un proceso general de puntos de Poisson con medida de intensidad, la -ésima medida del momento factorial viene dada por la expresión: ^[3] ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

donde está la medida de intensidad o medida del primer momento de , que para algún conjunto de Borel viene dada por: ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ ${\displaystyle \textstyle {N}}$ ${\displaystyle \textstyle B}$

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=E[{N}(B)].}$

Para un proceso homogéneo de puntos de Poisson, la medida del momento factorial -ésimo es simplemente: ^[2] ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

¿Dónde es la longitud, el área o el volumen (o más generalmente, la medida de Lebesgue ) de ? Además, la -ésima densidad de momento factorial es: ^[3] ${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$ ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle n}$

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

La función de correlación de pares del proceso homogéneo del punto de Poisson es simplemente

${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=1,}$

lo que refleja la falta de interacción entre puntos de este proceso puntual.

Expansión de momento factorial

Las expectativas de funcionales generales de procesos puntuales simples, siempre que ciertas condiciones matemáticas, tengan expansiones (posiblemente infinitas) o series que constan de las correspondientes medidas de momento factorial. ^{[11] [12]} En comparación con la serie de Taylor , que consiste en una serie de derivadas de alguna función, la n- ésima medida del momento factorial juega el mismo papel que la n -ésima derivada de la serie de Taylor. En otras palabras, dada una funcional general f de algún proceso puntual simple, entonces este teorema tipo Taylor para procesos puntuales que no son de Poisson significa que existe una expansión para la expectativa de la función E , siempre que se cumpla alguna condición matemática que asegure la convergencia de la expansión.

Ver también

• momento factorial
• Momento
• Medida de momento

Referencias

1. DJ Daley y D. Vere-Jones. Una introducción a la teoría de los procesos puntuales. vol. I . Probabilidad y sus aplicaciones (Nueva York). Springer, Nueva York, segunda edición, 2003.
2. Baccelli, François (2009). "Geometría estocástica y redes inalámbricas: teoría del volumen I" (PDF) . Fundamentos y Tendencias en Networking . 3 (3–4): 249–449. doi :10.1561/1300000006. ISSN  1554-057X.
3. D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke y L. Ruschendorf. Geometría estocástica y sus aplicaciones , volumen 2. Wiley Chichester, 1995.
4. Hough, J. Ben; Krishnapur, Manjunath; Peres, Yuval ; Virág, Balint (2006). "Procesos determinantes e independencia". Encuestas de probabilidad . 3 : 206–229. arXiv : matemáticas/0503110 . doi :10.1214/154957806000000078. S2CID  9604112.
5. K. Handa. El proceso puntual de dos parámetros {Poisson-Dirichlet}. Bernoulli , 15(4):1082–1116, 2009.
6. A. Baddeley, I. B{\'a}r{\'a}ny y R. Schneider. Procesos de puntos espaciales y sus aplicaciones. Geometría estocástica: conferencias impartidas en la escuela de verano del CIME celebrada en Martina Franca, Italia, del 13 al 18 de septiembre de 2004 , páginas 1 a 75, 2007.
7. DJ Daley y D. Vere-Jones. Una introducción a la teoría de los procesos puntuales. vol. {II }. Probabilidad y sus aplicaciones (Nueva York). Springer, Nueva York, segunda edición, 2008
8. Møller, Jesper; Waagepetersen, Rasmus Plenge (2003). Inferencia estadística y simulación de procesos puntuales espaciales . Monografías de C&H/CRC sobre estadística y probabilidad aplicada. vol. 100. CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . doi :10.1201/9780203496930. ISBN  978-1-58488-265-7.
9. F. Baccelli y B. Błaszczyszyn. Geometría estocástica y redes inalámbricas, Volumen II - Aplicaciones , volumen 4, No 1-2 de Fundamentos y tendencias en redes . Editores ahora, 2009.
10. JFC Kingman. Procesos de Poisson , volumen 3. Oxford University Press, 1992.
11. B. Blaszczyszyn. Expansión de momento factorial para sistemas estocásticos. Estoco. Proc. Aplica. , 56:321–335, 1995.
12. Kroese, Dirk P.; Schmidt, Volker (1996). "Análisis de tráfico ligero para colas con llegadas distribuidas espacialmente". Matemáticas de la Investigación de Operaciones . 21 (1): 135-157. doi :10.1287/moor.21.1.135.