Notación de proceso de puntos

Notación matemática utilizada en probabilidad y estadística

En probabilidad y estadística , la notación de procesos puntuales comprende el rango de notación matemática utilizada para representar simbólicamente objetos aleatorios conocidos como procesos puntuales , que se utilizan en campos relacionados como la geometría estocástica , la estadística espacial y la teoría de percolación continua y con frecuencia sirven como modelos matemáticos de fenómenos aleatorios, representables como puntos, en el tiempo, el espacio o ambos.

La notación varía debido a las historias de ciertos campos matemáticos y las diferentes interpretaciones de los procesos puntuales, ^{[1] [2] [3]} y toma prestada la notación de áreas matemáticas de estudio como la teoría de la medida y la teoría de conjuntos . ^[1]

Interpretación de procesos puntuales

La notación, así como la terminología, de los procesos puntuales dependen de su configuración e interpretación como objetos matemáticos que, bajo ciertos supuestos, pueden interpretarse como secuencias aleatorias de puntos, conjuntos aleatorios de puntos o medidas de conteo aleatorias . ^[1]

Secuencias aleatorias de puntos

En algunos marcos matemáticos, un proceso puntual dado puede considerarse como una secuencia de puntos con cada punto ubicado aleatoriamente en un espacio euclidiano de dimensión d R ^{d [1]} así como en otros espacios matemáticos más abstractos . En general, si una secuencia aleatoria es o no equivalente a las otras interpretaciones de un proceso puntual depende del espacio matemático subyacente, pero esto es válido para el contexto del espacio euclidiano de dimensión finita R ^{d [4]} .

Conjunto aleatorio de puntos

Un proceso puntual se denomina simple si no hay dos (o más puntos) que coincidan en ubicación con probabilidad uno . Dado que a menudo los procesos puntuales son simples y el orden de los puntos no importa, una colección de puntos aleatorios puede considerarse como un conjunto aleatorio de puntos ^{[1] [5]} La teoría de conjuntos aleatorios fue desarrollada independientemente por David Kendall y Georges Matheron . En términos de ser considerado como un conjunto aleatorio, una secuencia de puntos aleatorios es un conjunto cerrado aleatorio si la secuencia no tiene puntos de acumulación con probabilidad uno ^[6]

Un proceso puntual se denota a menudo con una sola letra, ^{[1] [7] [8]} por ejemplo , y si el proceso puntual se considera como un conjunto aleatorio, entonces la notación correspondiente: ^[1] ${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle x\in {N},}$

se utiliza para indicar que un punto aleatorio es un elemento de (o pertenece a) el proceso puntual . La teoría de conjuntos aleatorios se puede aplicar a los procesos puntuales gracias a esta interpretación, que junto con la interpretación de la secuencia aleatoria ha dado como resultado que un proceso puntual se escriba como: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots \}=\{x\}_{i},}$

lo que resalta su interpretación como una secuencia aleatoria o un conjunto cerrado aleatorio de puntos. ^[1] Además, a veces una letra mayúscula denota el proceso puntual, mientras que una minúscula denota un punto del proceso, así, por ejemplo, el punto (o ) pertenece o es un punto del proceso puntual , o con notación de conjunto, . ^[8] ${\displaystyle \textstyle x}$ ${\displaystyle \textstyle x_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle x\in X}$

Medidas aleatorias

Para indicar el número de puntos ubicados en algún conjunto de Borel , a veces se escribe ^[7] ${\displaystyle {N}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Phi (B)=\#(B\cap {N}),}$

donde es una variable aleatoria y es una medida de conteo , que da la cantidad de puntos en un conjunto. En esta expresión matemática, el proceso de puntos se denota por: ${\displaystyle \Phi (B)}$ ${\displaystyle \#}$

${\displaystyle {N}}$.

Por otro lado, el símbolo:

${\displaystyle \Phi }$

representa el número de puntos de en . En el contexto de medidas aleatorias, se puede escribir: ${\displaystyle {N}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \Phi (B)=n}$

para denotar que existe el conjunto que contiene puntos de . En otras palabras, un proceso puntual puede considerarse como una medida aleatoria que asigna alguna medida de valor entero no negativo a los conjuntos. ^[1] Esta interpretación ha motivado que un proceso puntual se considere simplemente otro nombre para una medida de conteo aleatorio ^{[9] : 106} y las técnicas de la teoría de medidas aleatorias ofrecen otra forma de estudiar los procesos puntuales, ^{[1] [10]} lo que también induce el uso de las diversas notaciones utilizadas en la teoría de la integración y la medida. ^[a] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {N}}$

Notación dual

Las diferentes interpretaciones de los procesos puntuales como conjuntos aleatorios y medidas de conteo se capturan con la notación frecuentemente utilizada ^{[1] [3] [8] [11]} en la que:

• ${\displaystyle {N}}$denota un conjunto de puntos aleatorios.
• ${\displaystyle {N}(B)}$denota una variable aleatoria que da el número de puntos de in (por lo tanto, es una medida de conteo aleatoria). ${\displaystyle {N}}$ ${\displaystyle B}$

Denotando nuevamente la medida de conteo con , esta notación dual implica: ${\displaystyle \#}$

${\displaystyle {N}(B)=\#(B\cap {N}).}$

Sumas

Si es una función medible en R ^d , entonces la suma de todos los puntos en se puede escribir de varias maneras ^{[1] [3]} tales como: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots }$

que tiene la apariencia de secuencia aleatoria, o con notación de conjunto como:

${\displaystyle \sum _{x\in {N}}f(x)}$

o, equivalentemente, con notación de integración como:

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x){N}(dx)}$

donde se pone énfasis en la interpretación de que se trata de una medida de conteo aleatoria. Se puede utilizar una notación de integración alternativa para escribir esta integral como: ${\displaystyle {N}}$

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}f\,d{N}}$

La interpretación dual de los procesos puntuales se ilustra al escribir el número de puntos en un conjunto como: ${\displaystyle {N}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {N}(B)=\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)}$

donde la función indicadora si el punto existe en y cero en caso contrario, lo que en este contexto también se conoce como medida de Dirac . ^[11] En esta expresión, la interpretación de la medida aleatoria está en el lado izquierdo, mientras que la notación del conjunto aleatorio que se utiliza está en el lado derecho. ${\displaystyle 1_{B}(x)=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$

Esperanzas de heredar

El valor promedio o esperado de una suma de funciones sobre un proceso puntual se escribe como: ^{[1] [3]}

${\displaystyle E\left[\sum _{x\in {N}}f(x)\right]\qquad {\text{or}}\qquad \int _{\textbf {N}}\sum _{x\in {N}}f(x)P(d{N}),}$

donde (en el sentido de medida aleatoria) es una medida de probabilidad apropiada definida en el espacio de medidas de conteo . El valor esperado de se puede escribir como: ^[1] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\textbf {N}}}$ ${\displaystyle {N}(B)}$

${\displaystyle E[{N}(B)]=E\left(\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)\right)\qquad {\text{or}}\qquad \int _{\textbf {N}}\sum _{x\in {N}}1_{B}(x)P(d{N}).}$

que también se conoce como la primera medida de momento de . La expectativa de tal suma aleatoria, conocida como proceso de ruido de disparo en la teoría de procesos puntuales, se puede calcular con el teorema de Campbell . ^[2] ${\displaystyle {N}}$

Usos en otros campos

Los procesos puntuales se emplean en otras disciplinas matemáticas y estadísticas, por lo tanto, la notación puede usarse en campos como la geometría estocástica , la estadística espacial o la teoría de percolación continua , y áreas que utilizan los métodos y la teoría de estos campos.

Véase también

• Símbolos Alfanuméricos Matemáticos
• Notación matemática
• Notación en probabilidad
• Tabla de símbolos matemáticos

Notas

1. Como se analiza en el Capítulo 1 de Stoyan, Kendall y Mechke, ^{[1] la notación} integral variable en general se aplica a todas las integrales aquí y en otros lugares.

Referencias

1. D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke y L. Ruschendorf. Geometría estocástica y sus aplicaciones , segunda edición, sección 4.1, Wiley Chichester, 1995.
2. Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2003). Introducción a la teoría de procesos puntuales . Probabilidad y sus aplicaciones. doi :10.1007/b97277. ISBN 978-0-387-95541-4.
3. M. Haenggi. Geometría estocástica para redes inalámbricas . Capítulo 2. Cambridge University Press, 2012.
4. Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2008). Introducción a la teoría de procesos puntuales . Probabilidad y sus aplicaciones. doi :10.1007/978-0-387-49835-5. ISBN 978-0-387-21337-8.
5. Baddeley, A.; Barany, I.; Schneider, R.; Weil, W. (2007). "Procesos puntuales espaciales y sus aplicaciones". Geometría estocástica . Apuntes de clase de matemáticas. Vol. 1892. pág. 1. doi :10.1007/978-3-540-38175-4_1. ISBN 978-3-540-38174-7.
6. Schneider, R.; Weil, W. (2008). Geometría estocástica e integral . Probabilidad y sus aplicaciones. doi :10.1007/978-3-540-78859-1. ISBN 978-3-540-78858-4.
7. JFC Kingman . Procesos de Poisson , volumen 3. Oxford University Press, 1992.
8. Moller, J.; Plenge Waagepetersen, R. (2003). Inferencia estadística y simulación para procesos puntuales espaciales . Monografías de C&H/CRC sobre estadística y probabilidad aplicada. Vol. 100. CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . doi :10.1201/9780203496930. ISBN .  978-1-58488-265-7.
9. Molchanov, Ilya (2005). Teoría de conjuntos aleatorios . Probabilidad y sus aplicaciones. doi :10.1007/1-84628-150-4. ISBN 978-1-85233-892-3.
10. Grandell, Jan (1977). "Procesos puntuales y medidas aleatorias". Avances en probabilidad aplicada . 9 (3): 502–526. doi :10.2307/1426111. JSTOR  1426111. S2CID  124650005.
11. Baccelli, FO (2009). "Geometría estocástica y redes inalámbricas: Volumen I Teoría" (PDF) . Fundamentos y tendencias en redes . 3 (3–4): 249–449. doi :10.1561/1300000006.