Teorema de Campbell (probabilidad)

Teorema en teoría de probabilidad y estadística.

En teoría de probabilidad y estadística , el teorema de Campbell o el teorema de Campbell-Hardy es una ecuación particular o un conjunto de resultados relacionados con la expectativa de una función sumada sobre un proceso puntual a una integral que involucra la medida media del proceso puntual, que permite el cálculo del valor esperado y la varianza de la suma aleatoria . Una versión del teorema, ^[1] también conocida como fórmula de Campbell , ^{[2] : 28} implica una ecuación integral para la suma antes mencionada sobre un proceso puntual general, y no necesariamente un proceso puntual de Poisson. ^[2] También existen ecuaciones que involucran medidas de momento y medidas de momento factorial que se consideran versiones de la fórmula de Campbell. Todos estos resultados se emplean en probabilidad y estadística con especial importancia en la teoría de procesos puntuales ^[3] y la teoría de colas ^[4] , así como en los campos relacionados, geometría estocástica , ^[1] teoría de la percolación continua , ^[5] y estadística espacial. . ^{[2] [6]}

Otro resultado con el nombre de teorema de Campbell ^[7] es específicamente para el proceso de puntos de Poisson y proporciona un método para calcular momentos así como el funcional de Laplace de un proceso de puntos de Poisson.

El nombre de ambos teoremas proviene del trabajo ^{[8] [9]} de Norman R. Campbell sobre el ruido termoiónico , también conocido como ruido de disparo , en tubos de vacío , ^{[3] [10]} que se inspiró en parte en el trabajo de Ernest Rutherford. y Hans Geiger sobre la detección de partículas alfa , donde el proceso del punto de Poisson surgió como solución a una familia de ecuaciones diferenciales de Harry Bateman . ^[10] En el trabajo de Campbell, presenta los momentos y funciones generadoras de la suma aleatoria de un proceso de Poisson sobre la recta real, pero comenta que el principal argumento matemático se debió a GH Hardy , quien ha inspirado que el resultado sea a veces llamado el Teorema de Campbell-Hardy . ^{[10] [11]}

Fondo

Para un proceso puntual definido en el espacio euclidiano d -dimensional , ^[a] el teorema de Campbell ofrece una forma de calcular las expectativas de una función de valor real definida también y resumida , a saber: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}^{d}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}^{d}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right],}$

donde denota la expectativa y la notación de conjunto se utiliza de manera que se considera un conjunto aleatorio (consulte Notación de proceso de puntos ). Para un proceso puntual , el teorema de Campbell relaciona la expectativa anterior con la medida de intensidad . En relación con un conjunto Borel B, la medida de intensidad se define como: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)],}$

donde se utiliza la notación de medida de manera que se considera una medida de conteo aleatoria . La cantidad se puede interpretar como el número promedio de puntos del proceso puntual ubicado en el conjunto B. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Lambda (B)}$ ${\displaystyle N}$

Primera definición: proceso de puntos generales

Una versión del teorema de Campbell es para un proceso puntual general (no necesariamente simple) con medida de intensidad: ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Lambda (B)=\operatorname {E} [N(B)],}$

Se conoce como fórmula de Campbell ^[2] o teorema de Campbell , ^{[1] [12] [13]} que proporciona un método para calcular expectativas de sumas de funciones mensurables con rangos sobre la recta real . Más específicamente, para un proceso puntual y una función medible , la suma del proceso puntual viene dada por la ecuación: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle E\left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),}$

donde si un lado de la ecuación es finito, el otro también lo es. ^[14] Esta ecuación es esencialmente una aplicación del teorema de Fubini ^[1] y es válida para una amplia clase de procesos puntuales, simples o no. ^[2] Dependiendo de la notación integral, ^[b] esta integral también puede escribirse como: ^[14]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f\,d\Lambda ,}$

Si la medida de intensidad de un proceso puntual tiene una densidad , entonces la fórmula de Campbell se convierte en: ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lambda (x)}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\lambda (x)\,dx}$

Proceso de punto estacionario

Para un proceso puntual estacionario con densidad constante , el teorema o fórmula de Campbell se reduce a una integral de volumen: ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \lambda >0}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\sum _{x\in N}f(x)\right]=\lambda \int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\,dx}$

Esta ecuación se cumple naturalmente para los procesos homogéneos del punto de Poisson, que es un ejemplo de proceso estocástico estacionario . ^[1]

Aplicaciones: sumas aleatorias

El teorema de Campbell para procesos puntuales generales proporciona un método para calcular la expectativa de una función de un punto (de un proceso puntual) sumada a todos los puntos del proceso puntual. Estas sumas aleatorias sobre procesos puntuales tienen aplicaciones en muchas áreas donde se utilizan como modelos matemáticos.

Disparo

Campbell estudió originalmente un problema de sumas aleatorias motivado por la comprensión del ruido termoiónico en las válvulas, que también se conoce como ruido de disparo. En consecuencia, el estudio de sumas aleatorias de funciones sobre procesos puntuales se conoce como ruido de disparo en probabilidad y, particularmente, en la teoría de procesos puntuales.

Interferencia en redes inalámbricas

En la comunicación de red inalámbrica, cuando un transmisor intenta enviar una señal a un receptor, todos los demás transmisores de la red pueden considerarse interferencias, lo que plantea un problema similar al del ruido en las redes de telecomunicaciones por cable tradicionales en términos de la capacidad de enviar datos basados ​​en la teoría de la información. Si se supone que el posicionamiento de los transmisores perturbadores forma algún proceso puntual, entonces se puede utilizar el ruido de disparo para modelar la suma de sus señales perturbadoras, lo que ha llevado a modelos de geometría estocástica de redes inalámbricas. ^[15]

Neurociencia

La entrada total en las neuronas es la suma de muchas entradas sinápticas con cursos de tiempo similares. Cuando las entradas se modelan como un proceso de punto de Poisson independiente, la corriente media y su varianza vienen dadas por el teorema de Campbell. Una extensión común es considerar una suma con amplitudes aleatorias.

${\displaystyle S=\sum _{x\in {N}}a_{n}f(x)}$

En este caso los acumulados de igual ${\displaystyle \kappa _{i}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \kappa _{i}=\lambda {\overline {a^{i}}}\int f(x)^{i}dx}$

¿Dónde están los momentos brutos de la distribución de ? ^[dieciséis] ${\displaystyle {\overline {a^{i}}}}$ ${\displaystyle a}$

Generalizaciones

Para procesos puntuales generales, existen otras versiones más generales del teorema de Campbell dependiendo de la naturaleza de la suma aleatoria y, en particular, de la función que se suma en el proceso puntual.

Funciones de múltiples puntos.

Si la función es función de más de un punto del proceso puntual, se necesitan medidas de momento o medidas factoriales de momento del proceso puntual, que se pueden comparar con momentos y factoriales de variables aleatorias. El tipo de medida necesaria depende de si los puntos del proceso de puntos en la suma aleatoria deben ser distintos o pueden repetirse.

Puntos repetidos

Las medidas de momento se utilizan cuando se permite que los puntos se repitan.

Puntos distintos

Las medidas de momento factorial se utilizan cuando no se permite que los puntos se repitan, por lo que los puntos son distintos.

Funciones de los puntos y el proceso de los puntos.

Para procesos puntuales generales, el teorema de Campbell es sólo para sumas de funciones de un solo punto del proceso puntual. Para calcular la suma de una función de un solo punto, así como el proceso de puntos completo, se requieren los teoremas de Campbell generalizados utilizando la distribución de Palm del proceso de puntos, que se basa en la rama de la probabilidad conocida como teoría de Palm o cálculo de Palm .

Segunda definición: proceso del punto de Poisson

Otra versión del teorema de Campbell ^[7] dice que para un proceso de puntos de Poisson con medida de intensidad y una función medible , la suma aleatoria ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle f:{\textbf {R}}^{d}\rightarrow {\textbf {R}}}$

${\displaystyle S=\sum _{x\in N}f(x)}$

es absolutamente convergente con probabilidad uno si y sólo si la integral

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{d}}\min(|f(x)|,1)\Lambda (dx)<\infty .}$

Siempre que esta integral sea finita, el teorema afirma además que para cualquier valor complejo la ecuación ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle E(e^{\theta S})=\exp \left(\int _{{\textbf {R}}^{d}}[e^{\theta f(x)}-1]\Lambda (dx)\right),}$

se cumple si la integral del lado derecho converge , que es el caso de puramente imaginario . Además, ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle E(S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)\Lambda (dx),}$

y si esta integral converge, entonces

${\displaystyle \operatorname {Var} (S)=\int _{{\textbf {R}}^{d}}f(x)^{2}\Lambda (dx),}$

donde denota la varianza de la suma aleatoria . ${\displaystyle {\text{Var}}(S)}$ ${\displaystyle S}$

De este teorema se siguen algunos resultados esperados para el proceso del punto de Poisson , incluido su funcional de Laplace . ^{[7] [c]}

Aplicación: Laplace funcional

Para un proceso de puntos de Poisson con medida de intensidad , el funcional de Laplace es una consecuencia de la versión anterior del teorema de Campbell ^[7] y viene dado por: ^[15] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N}(sf):=E{\bigl [}e^{-s\sum _{x\in N}f(x)}{\bigr ]}=\exp {\Bigl [}-\int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-sf(x)})\Lambda (dx){\Bigr ]},}$

que para el caso homogéneo es:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N}(sf)=\exp {\Bigl [}-\lambda \int _{{\textbf {R}}^{d}}(1-e^{-sf(x)})\,dx{\Bigr ]}.}$

Notas

1. Puede definirse en un espacio matemático más general que el espacio euclidiano, pero a menudo este espacio se utiliza para modelos. ^[3]
2. Como se analizó en el Capítulo 1 de Stoyan, Kendall y Mecke, ^[1] que se aplica a todas las demás integrales presentadas aquí y en otros lugares debido a la notación integral variable.
3. Kingman ^[7] lo llama "característica funcional", pero Daley y Vere-Jones ^[3] y otros lo llaman "funcional de Laplace", ^{[1] [15]} reservando el término "característica funcional" para cuando es imaginario. ${\displaystyle \theta }$

Referencias

1. D. Stoyan, WS Kendall, J. Mecke. Geometría estocástica y sus aplicaciones , volumen 2. Wiley Chichester, 1995.
2. Baddeley, A.; Barany, I.; Schneider, R.; Weil, W. (2007). "Procesos de puntos espaciales y sus aplicaciones". Geometría Estocástica . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1892. pág. 1.doi :10.1007/978-3-540-38175-4_1 . ISBN 978-3-540-38174-7.
3. Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2003). Introducción a la teoría de los procesos puntuales . Probabilidad y sus aplicaciones. doi :10.1007/b97277. ISBN 978-0-387-95541-4.
4. Bremaud, Pierre; Baccelli, François (2002). "Elementos de la teoría de colas: cálculo de Palm Martingale y recurrencias estocásticas" . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 18.195. ISBN 978-3-642-08537-6.
5. R. Meester y R. Roy. Percolación continua, volumen 119 de los tratados de matemáticas de Cambridge, 1996.
6. Moller, J.; Plenge Waagepetersen, R. (2003). Inferencia estadística y simulación de procesos puntuales espaciales . Monografías de C&H/CRC sobre estadística y probabilidad aplicada. vol. 100. CiteSeerX 10.1.1.124.1275 . doi :10.1201/9780203496930. ISBN  978-1-58488-265-7.
7. Kingman, John (1993). Procesos de Poisson . Publicaciones científicas de Oxford. pag. 28.ISBN​ 978-0-19-853693-2.
8. Campbell, N. (1909). "El estudio de los fenómenos discontinuos". Proc. Camb. Fil. Soc . 15 : 117-136.
9. Campbell, N. (1910). "Discontinuidades en la emisión de luz". Proc. Camb. Fil. Soc . 15 : 310–328.
10. Stirzaker, David (2000). "Consejos para los erizos, o las constantes pueden variar". La Gaceta Matemática . 84 (500): 197–210. doi :10.2307/3621649. JSTOR  3621649.
11. Grimmett G. y Stirzaker D. (2001). Probabilidad y procesos aleatorios . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 290.
12. Daley, DJ; Vere-Jones, D. (2008). Introducción a la teoría de los procesos puntuales . Probabilidad y sus aplicaciones. doi :10.1007/978-0-387-49835-5. ISBN 978-0-387-21337-8.
13. P. Brémaud. Análisis de Fourier de Procesos Estocásticos . Saltador, 2014.
14. A. Baddeley. Un curso intensivo en geometría estocástica. Geometría estocástica: probabilidad y computación Eds OE Barndorff-Nielsen, WS Kendall, HNN van Lieshout (Londres: Chapman and Hall) págs. , páginas 1–35, 1999.
15. Baccelli, FO (2009). "Geometría estocástica y redes inalámbricas: teoría del volumen I" (PDF) . Fundamentos y Tendencias en Networking . 3 (3–4): 249–449. doi :10.1561/1300000006.
16. SO Rice Análisis matemático del ruido aleatorio Bell Syst. Tecnología. J. 24, 1944 reimpreso en "'Artículos seleccionados sobre ruido y procesos aleatorios N. Wax (editor) Dover 1954.