En matemáticas, la geometría estocástica es el estudio de patrones espaciales aleatorios. En el centro de la materia se encuentra el estudio de patrones puntuales aleatorios. Esto conduce a la teoría de procesos puntuales espaciales , de ahí las nociones de condicionamiento de Palm, que se extienden al contexto más abstracto de las medidas aleatorias .
Existen varios modelos para procesos puntuales, generalmente basados en el clásico proceso puntual homogéneo de Poisson (el modelo básico para la aleatoriedad espacial completa ), pero que van más allá para encontrar modelos expresivos que permitan métodos estadísticos efectivos.
La teoría de patrones de puntos proporciona un componente fundamental para la generación de procesos de objetos aleatorios, permitiendo la construcción de patrones espaciales aleatorios elaborados. La versión más simple, el modelo booleano , coloca un objeto compacto aleatorio en cada punto de un proceso de puntos de Poisson. Las versiones más complejas permiten interacciones basadas de diversas maneras en la geometría de los objetos. Diferentes direcciones de aplicación incluyen: la producción de modelos para imágenes aleatorias, ya sea como unión de conjuntos de objetos o como patrones de objetos superpuestos; también la generación de modelos inspirados geométricamente para el proceso de puntos subyacente (por ejemplo, la distribución de patrones de puntos puede estar sesgada por un factor exponencial que involucra el área de la unión de los objetos; esto está relacionado con el modelo de Widom-Rowlinson [1] de mecánica estadística).
¿Qué se entiende por objeto aleatorio? Una respuesta completa a esta pregunta requiere la teoría de conjuntos cerrados aleatorios , que entra en contacto con conceptos avanzados de la teoría de la medida. La idea clave es centrarse en las probabilidades de que el conjunto cerrado aleatorio dado llegue a conjuntos de prueba específicos. Surgen cuestiones de inferencia (por ejemplo, estimar el conjunto que encierra un patrón de puntos dado) y teorías de generalizaciones de medias, etc., para aplicar a conjuntos aleatorios. Ahora se están haciendo conexiones entre este último trabajo y los desarrollos recientes en el análisis matemático geométrico relativos a los espacios métricos generales y su geometría. Las buenas parametrizaciones de conjuntos aleatorios específicos pueden permitirnos referir los procesos de objetos aleatorios a la teoría de los procesos de puntos marcados; los pares objeto-punto se consideran puntos en un espacio de producto más grande formado como el producto del espacio original y el espacio de parametrización.
Supongamos que ya no nos interesan los objetos compactos, sino los objetos que se extienden espacialmente: líneas en el plano o planos en el espacio tridimensional. Esto nos lleva a considerar los procesos lineales y los procesos de planos o hiperplanos. Ya no puede haber una ubicación espacial preferida para cada objeto; sin embargo, la teoría puede volver a aplicarse a la teoría de procesos puntuales representando cada objeto por un punto en un espacio de representación adecuado. Por ejemplo, en el caso de líneas dirigidas en el plano, se puede tomar el espacio de representación como un cilindro. Una complicación es que las simetrías del movimiento euclidiano se expresarán entonces en el espacio de representación de una manera un tanto inusual. Además, los cálculos deben tener en cuenta sesgos espaciales interesantes (por ejemplo, los segmentos de línea tienen menos probabilidades de ser alcanzados por líneas aleatorias a las que son casi paralelos) y esto proporciona una conexión interesante y significativa con el área enormemente significativa de la estereología , que en algunos aspectos puede verse como otro tema más de la geometría estocástica. A menudo ocurre que los cálculos se realizan mejor en términos de conjuntos de líneas que llegan a varios conjuntos de pruebas, en lugar de trabajar en el espacio de representación.
Los procesos lineales e hiperplanos tienen sus propias aplicaciones directas, pero también se aplican como una forma de crear teselaciones que dividen el espacio; por lo tanto, se puede hablar, por ejemplo, de teselaciones lineales de Poisson. Un resultado reciente notable [2] demuestra que la celda en el origen de la teselación lineal de Poisson es aproximadamente circular cuando se la condiciona a ser grande. Por supuesto, las teselaciones en geometría estocástica se pueden producir por otros medios, por ejemplo, utilizando construcciones de Voronoi y variantes, y también iterando varios medios de construcción.
El nombre parece haber sido acuñado por David Kendall y Klaus Krickeberg [3] mientras se preparaban para un taller en Oberwolfach en junio de 1969 , aunque los antecedentes de la teoría se remontan a mucho antes bajo el nombre de probabilidad geométrica . El término "geometría estocástica" también fue utilizado por Frisch y Hammersley en 1963 [4] como una de las dos sugerencias para los nombres de una teoría de "estructuras irregulares aleatorias" inspirada en la teoría de la percolación .
Esta breve descripción se ha centrado en la teoría [3] [5] de la geometría estocástica, que permite una visión de la estructura del tema. Sin embargo, gran parte de la vida e interés del tema, y de hecho muchas de sus ideas originales, surgen de una amplia gama de aplicaciones, por ejemplo: astronomía, [6] telecomunicaciones distribuidas espacialmente , [7] modelado y análisis de redes inalámbricas, [8] modelado de desvanecimiento de canal , [9] [10] silvicultura, [11] la teoría estadística de la forma, [12] ciencia de los materiales, [13] análisis multivariante , problemas en análisis de imágenes [14] y estereología . Hay vínculos con la mecánica estadística, [15] el Monte Carlo de cadena de Markov e implementaciones de la teoría en computación estadística (por ejemplo, spatstat [16] en R ). Más recientemente, los procesos puntuales determinantes y permanentes (conectados a la teoría de matrices aleatorias) están comenzando a desempeñar un papel. [17]