En física estadística y matemáticas , la teoría de la percolación describe el comportamiento de una red cuando se agregan nodos o enlaces. Se trata de un tipo de transición de fase geométrica, ya que en una fracción crítica de la suma la red de pequeños grupos desconectados se fusiona en grupos conectados significativamente más grandes , los llamados grupos de expansión. Las aplicaciones de la teoría de la percolación a la ciencia de los materiales y en muchas otras disciplinas se analizan aquí y en los artículos Teoría de redes y Percolación (psicología cognitiva) .
Una pregunta representativa (y la fuente del nombre) es la siguiente. Supongamos que se vierte algo de líquido sobre algún material poroso . ¿Podrá el líquido pasar de un agujero a otro y llegar al fondo? Esta cuestión física se modela matemáticamente como una red tridimensional de n × n × n vértices , generalmente llamados "sitios", en los que el borde o "enlaces" entre cada dos vecinos puede estar abierto (permitiendo el paso del líquido) con probabilidad p . , o cerrado con probabilidad 1 – p , y se supone que son independientes. Por lo tanto, para un p dado , ¿cuál es la probabilidad de que exista un camino abierto (es decir, un camino, cada uno de cuyos vínculos es un vínculo "abierto") de arriba a abajo? El comportamiento para n grande es de primordial interés. Este problema, llamado ahora percolación de enlaces , fue introducido en la literatura matemática por Broadbent y Hammersley (1957), [1] y ha sido estudiado intensamente por matemáticos y físicos desde entonces.
En un modelo matemático ligeramente diferente para obtener un gráfico aleatorio, un sitio está "ocupado" con probabilidad p o "vacío" (en cuyo caso se eliminan sus bordes) con probabilidad 1 – p ; el problema correspondiente se llama percolación del sitio . La pregunta es la misma: para un p dado , ¿cuál es la probabilidad de que exista un camino entre arriba y abajo? De manera similar, uno puede preguntar, dado un gráfico conectado, en qué fracción 1 – p de fallas el gráfico se desconectará (sin componente grande).
Se pueden hacer las mismas preguntas para cualquier dimensión de la red. Como suele ser habitual, en realidad es más fácil examinar redes infinitas que sólo redes grandes. En este caso la pregunta correspondiente es: ¿existe un cúmulo abierto infinito? Es decir, ¿existe un camino de puntos conectados de longitud infinita "a través" de la red? Según la ley cero-uno de Kolmogorov , para cualquier p dado , la probabilidad de que exista un grupo infinito es cero o uno. Dado que esta probabilidad es una función creciente de p (prueba mediante argumento de acoplamiento ), debe haber un p crítico (denotado por p c ) por debajo del cual la probabilidad es siempre 0 y por encima del cual la probabilidad es siempre 1. En la práctica, esta criticidad es muy fácil de observar. Incluso para n tan pequeño como 100, la probabilidad de un camino abierto desde arriba hacia abajo aumenta bruscamente desde muy cerca de cero a muy cerca de uno en un corto lapso de valores de p .
La teoría de Flory-Stockmayer fue la primera teoría que investigó los procesos de percolación. [2]
La historia del modelo de percolación tal como lo conocemos tiene sus raíces en la industria del carbón. Desde la revolución industrial, la importancia económica de esta fuente de energía impulsó numerosos estudios científicos para comprender su composición y optimizar su uso. Durante los 30' y 40' [ ¿cuándo? ] , el análisis cualitativo mediante química orgánica dejó cada vez más espacio para estudios más cuantitativos. [3]
En este contexto, en 1938 se creó la Asociación Británica de Investigación sobre la Utilización del Carbón (BCURA). Es una asociación de investigación financiada por los propietarios de las minas de carbón. En 1942, Rosalind Franklin , entonces recién graduada en química por la Universidad de Cambridge, se incorporó al BCURA. Inició investigaciones sobre la densidad y porosidad del carbón. Durante la Segunda Guerra Mundial, el carbón fue un recurso estratégico importante. Se utilizaba como fuente de energía, pero también era el componente principal de las máscaras antigás.
El carbón es un medio poroso. Para medir su densidad "real", había que sumergirlo en un líquido o un gas cuyas moléculas sean lo suficientemente pequeñas como para llenar sus poros microscópicos. Al intentar medir la densidad del carbón utilizando varios gases (helio, metanol, hexano, benceno), y encontrando diferentes valores según el gas utilizado, Rosalind Franklin demostró que los poros del carbón están formados por microestructuras de diversas longitudes que actúan como tamiz microscópico para discriminar los gases. También descubrió que el tamaño de estas estructuras depende de la temperatura de carbonatación durante la producción de carbón. Con esta investigación obtuvo el título de Doctor y abandonó el BCURA en 1946. [4]
A mediados de los años cincuenta, Simon Broadbent trabajaba en el BCURA como estadístico. Entre otros intereses, estudió el uso del carbón en máscaras antigás. Una cuestión es comprender cómo un fluido puede difundirse en los poros del carbón, modelados como un laberinto aleatorio de túneles abiertos o cerrados. En 1954, durante un simposio sobre métodos de Montecarlo , hace preguntas a John Hammersley sobre el uso de métodos numéricos para analizar este modelo.[5]
Broadbent y Hammersley introdujeron en su artículo de 1957 un modelo matemático para modelar este fenómeno, la percolación.
Para la mayoría de los gráficos de red infinita, p c no se puede calcular exactamente, aunque en algunos casos p c hay un valor exacto. Por ejemplo:
[11]
Esto indica que para una distribución de grados dada, la agrupación conduce a un umbral de filtración mayor, principalmente porque para un número fijo de enlaces, la estructura de agrupación refuerza el núcleo de la red con el precio de diluir las conexiones globales. Para redes con un alto nivel de agrupamiento, un fuerte agrupamiento podría inducir la estructura centro-periferia, en la que el núcleo y la periferia podrían filtrarse en diferentes puntos críticos, y el tratamiento aproximado anterior no es aplicable. [12]
El principio de universalidad establece que el valor numérico de p c está determinado por la estructura local del gráfico, mientras que el comportamiento cerca del umbral crítico, p c , se caracteriza por exponentes críticos universales . Por ejemplo, la distribución del tamaño de los grupos en criticidad decae como una ley de potencia con el mismo exponente para todas las redes 2d. Esta universalidad significa que para una dimensión dada, los diversos exponentes críticos, la dimensión fractal de los grupos en p c es independiente del tipo de red y del tipo de percolación (por ejemplo, enlace o sitio). Sin embargo, recientemente se realizó una percolación sobre una red estocástica plana ponderada (WPSL) y se encontró que aunque la dimensión de la WPSL coincide con la dimensión del espacio donde está incrustada, su clase de universalidad es diferente a la de todas las redes planas conocidas. . [13] [14]
El hecho principal en la fase subcrítica es la "decadencia exponencial". Es decir, cuando p < p c , la probabilidad de que un punto específico (por ejemplo, el origen) esté contenido en un grupo abierto (es decir, un conjunto máximo conectado de bordes "abiertos" del gráfico) de tamaño r decae exponencialmente a cero. en r . Esto fue demostrado para la percolación en tres y más dimensiones por Menshikov (1986) e independientemente por Aizenman y Barsky (1987). En dos dimensiones, formó parte de la prueba de Kesten de que p c =1/2. [15]
La gráfica dual de la red cuadrada ℤ 2 es también la red cuadrada. De ello se deduce que, en dos dimensiones, la fase supercrítica es dual a un proceso de percolación subcrítica. Esto proporciona esencialmente información completa sobre el modelo supercrítico con d = 2 . El resultado principal para la fase supercrítica en tres y más dimensiones es que, para N suficientemente grande , hay [ se necesita aclaración ] un cúmulo abierto infinito en la losa bidimensional ℤ 2 × [0, N ] d − 2 . Esto fue demostrado por Grimmett y Marstrand (1990). [dieciséis]
En dos dimensiones con p <1/2, existe con probabilidad uno un grupo cerrado infinito único (un grupo cerrado es un conjunto conectado máximo de bordes "cerrados" del gráfico). Por tanto, la fase subcrítica puede describirse como islas abiertas finitas en un océano infinito y cerrado. Cuando p >1/2ocurre todo lo contrario, con islas finitas y cerradas en un océano abierto infinito. El panorama es más complicado cuando d ≥ 3 ya que p c <1/2, y hay coexistencia de infinitos grupos abiertos y cerrados para p entre p c y 1 − p c .
La percolación tiene una singularidad en el punto crítico p = p c y muchas propiedades se comportan como una ley potencial con , cerca de . La teoría de escalas predice la existencia de exponentes críticos , dependiendo del número d de dimensiones, que determinan la clase de la singularidad. Cuando d = 2, estas predicciones están respaldadas por argumentos de la teoría de campos conforme y la evolución de Schramm-Loewner , e incluyen valores numéricos predichos para los exponentes. La mayoría de estas predicciones son conjeturales, excepto cuando el número d de dimensiones satisface d = 2 o d ≥ 6 . Incluyen:
Véase Grimmett (1999). [17] En 11 o más dimensiones, estos hechos se prueban en gran medida utilizando una técnica conocida como expansión del encaje. Se cree que una versión de la expansión del cordón debería ser válida para 7 o más dimensiones, quizás con implicaciones también para el caso umbral de 6 dimensiones. La conexión entre la percolación y la expansión del encaje se encuentra en Hara y Slade (1990). [18]
En dos dimensiones, el primer hecho ("no hay percolación en la fase crítica") se demuestra para muchas redes, utilizando la dualidad. Se han logrado avances sustanciales en la percolación bidimensional a través de la conjetura de Oded Schramm de que el límite de escala de un cúmulo grande puede describirse en términos de una evolución de Schramm-Loewner . Esta conjetura fue probada por Smirnov (2001) [19] en el caso especial de percolación de sitios en la red triangular.
La teoría de la percolación se ha utilizado para predecir con éxito la fragmentación de las envolturas de los virus biológicos (cápsides), [21] [22] prediciendo y detectando experimentalmente el umbral de fragmentación de la cápside del virus de la hepatitis B. [23] Cuando se ha eliminado aleatoriamente un número crítico de subunidades de la capa nanoscópica, se fragmenta y esta fragmentación puede detectarse mediante espectroscopía de masas con detección de carga (CDMS), entre otras técnicas de partículas individuales. Se trata de un análogo molecular del juego de mesa común Jenga y tiene relevancia para el estudio más amplio del desensamblaje de virus. Curiosamente, las partículas virales más estables (tejidos con mayores umbrales de fragmentación) se encuentran en mayor abundancia en la naturaleza. [21]
La teoría de la percolación se ha aplicado a estudios sobre cómo la fragmentación del medio ambiente afecta los hábitats de los animales [24] y a modelos de cómo se propaga la bacteria de la peste Yersinia pestis . [25]
