La teoría de las colas es el estudio matemático de las filas o colas de espera. [1] Se construye un modelo de colas para poder predecir la longitud de las colas y el tiempo de espera. [1] La teoría de colas generalmente se considera una rama de la investigación de operaciones porque los resultados se utilizan a menudo al tomar decisiones comerciales sobre los recursos necesarios para proporcionar un servicio.
La teoría de las colas tiene su origen en la investigación de Agner Krarup Erlang , quien creó modelos para describir el sistema de llamadas entrantes en la Compañía de Intercambio Telefónico de Copenhague. [1] Estas ideas fueron fundamentales para el campo de la ingeniería de teletráfico y desde entonces han tenido aplicaciones en telecomunicaciones , ingeniería de tráfico , informática , [2] gestión de proyectos y, en particular, ingeniería industrial , donde se aplican en el diseño de fábricas, tiendas y oficinas. y hospitales. [3] [4]
Ortografía
La ortografía "cola" en lugar de "cola" se encuentra típicamente en el campo de la investigación académica. De hecho, una de las revistas emblemáticas del campo es Queuing Systems .
Descripción
La teoría de colas es una de las principales áreas de estudio en la disciplina de las ciencias de la gestión . A través de la ciencia de la gestión, las empresas pueden resolver una variedad de problemas utilizando diferentes enfoques científicos y matemáticos. El análisis de colas es el análisis probabilístico de las colas de espera y, por lo tanto, los resultados, también conocidos como características operativas, son probabilísticos en lugar de deterministas. [5] La probabilidad de que n clientes estén en el sistema de colas, el número promedio de clientes en el sistema de colas, el número promedio de clientes en la cola de espera, el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema de colas total, el tiempo promedio gastado por un cliente en la fila de espera y, finalmente, la probabilidad de que el servidor esté ocupado o inactivo son todas las diferentes características operativas que calculan estos modelos de cola. [5] El objetivo general del análisis de colas es calcular estas características para el sistema actual y luego probar varias alternativas que podrían conducir a mejoras. Calcular las características operativas del sistema actual y comparar los valores con las características de los sistemas alternativos permite a los gerentes ver los pros y los contras de cada opción potencial. Estos sistemas ayudan en el proceso de toma de decisiones final mostrando formas de aumentar el ahorro, reducir el tiempo de espera, mejorar la eficiencia, etc. Los principales modelos de colas que se pueden utilizar son el sistema de línea de espera de un solo servidor y el sistema de líneas de espera de múltiples servidores. que se analizan más adelante. Estos modelos se pueden diferenciar aún más dependiendo de si los tiempos de servicio son constantes o indefinidos, la longitud de la cola es finita, la población de llamadas es finita, etc. [5]
Nodos de cola únicos
Una cola o un nodo de cola se puede considerar casi como una caja negra . Los trabajos (también llamados clientes o solicitudes , según el campo) llegan a la cola, posiblemente esperan algún tiempo, tardan algún tiempo en procesarse y luego salen de la cola.
Sin embargo, el nodo de cola no es del todo una caja negra pura, ya que se necesita cierta información sobre el interior del nodo de cola. La cola tiene uno o más servidores , cada uno de los cuales puede emparejarse con un trabajo entrante. Cuando el trabajo se complete y salga, ese servidor volverá a estar libre para emparejarse con otro trabajo que llegue.
Una analogía que se utiliza a menudo es la del cajero de un supermercado. (Hay otros modelos, pero éste se encuentra comúnmente en la literatura). Los clientes llegan, son procesados por el cajero y se van. Cada cajero procesa un cliente a la vez y, por lo tanto, se trata de un nodo de cola con un solo servidor. Una configuración en la que un cliente saldrá inmediatamente si el cajero está ocupado cuando llegue el cliente se denomina cola sin zona de espera (o sin área de espera ). Un entorno con una zona de espera para hasta n clientes se denomina cola con un buffer de tamaño n .
Proceso de nacimiento-muerte
El comportamiento de una sola cola (también llamada nodo de cola ) se puede describir mediante un proceso de nacimiento-muerte , que describe las llegadas y salidas de la cola, junto con la cantidad de trabajos actualmente en el sistema. Si k denota el número de trabajos en el sistema (ya sea en servicio o en espera si la cola tiene un buffer de trabajos en espera), entonces una llegada aumenta k en 1 y una salida disminuye k en 1.
El sistema realiza una transición entre los valores de k mediante "nacimientos" y "muertes", que ocurren en las tasas de llegada y salida de cada trabajo . Para una cola, generalmente se considera que estas tasas no varían con el número de trabajos en la cola, por lo que se supone una tasa promedio única de llegadas/salidas por unidad de tiempo. Bajo este supuesto, este proceso tiene una tasa de llegada y una tasa de salida de .
Ecuaciones de equilibrio
Las ecuaciones de estado estacionario para el proceso de nacimiento y muerte, conocidas como ecuaciones de equilibrio , son las siguientes. Aquí se denota la probabilidad de estado estacionario de estar en el estado n .
Las dos primeras ecuaciones implican
y
.
Por inducción matemática,
.
La condición conduce a
que, junto con la ecuación para , describe completamente las probabilidades de estado estacionario requeridas.
notación de Kendall
Los nodos de cola única generalmente se describen usando la notación de Kendall en la forma A/S/ c donde A describe la distribución de las duraciones entre cada llegada a la cola, S la distribución de los tiempos de servicio para los trabajos y c el número de servidores en el nodo. [6] [7] Como ejemplo de notación, la cola M/M/1 es un modelo simple en el que un único servidor sirve trabajos que llegan de acuerdo con un proceso de Poisson (donde las duraciones entre llegadas se distribuyen exponencialmente ) y tienen exponencialmente tiempos de servicio distribuidos (la M denota un proceso de Markov ). En una cola M/G/1 , la G significa "general" e indica una distribución de probabilidad arbitraria para los tiempos de servicio.
Análisis de ejemplo de una cola M/M/1
Considere una cola con un servidor y las siguientes características:
: la tasa de llegada (el recíproco del tiempo esperado entre la llegada de cada cliente, por ejemplo, 10 clientes por segundo)
: el recíproco del tiempo medio de servicio (el número esperado de terminaciones de servicio consecutivas por la misma unidad de tiempo, por ejemplo, por 30 segundos)
n : el parámetro que caracteriza el número de clientes en el sistema
: la probabilidad de que haya n clientes en el sistema en estado estable
Además, representemos el número de veces que el sistema ingresa al estado n y representemos el número de veces que el sistema sale del estado n . Entonces para todo n . Es decir, el número de veces que el sistema sale de un estado difiere como máximo en 1 del número de veces que entra en ese estado, ya que o regresará a ese estado en algún momento en el futuro ( ) o no ( ).
Cuando el sistema llega a un estado estable, la tasa de llegada debe ser igual a la tasa de salida.
Un sistema de colas básico común se atribuye a Erlang y es una modificación de la Ley de Little . Dada una tasa de llegada λ , una tasa de abandono σ y una tasa de salida μ , la longitud de la cola L se define como:
.
Suponiendo una distribución exponencial de las tarifas, el tiempo de espera W puede definirse como la proporción de llegadas atendidas. Esto es igual a la tasa de supervivencia exponencial de aquellos que no abandonan durante el período de espera, dando:
La segunda ecuación comúnmente se reescribe como:
El modelo de caja única de dos etapas es común en epidemiología . [8]
Historia
En 1909, Agner Krarup Erlang , un ingeniero danés que trabajaba para la Central Telefónica de Copenhague, publicó el primer artículo sobre lo que ahora se llamaría teoría de colas. [9] [10] [11] Modeló el número de llamadas telefónicas que llegan a una central mediante un proceso de Poisson y resolvió la cola M/D/1 en 1917 y el modelo de cola M/D/ k en 1920. [12] En Notación de Kendall:
M significa "Markov" o "sin memoria" y significa que las llegadas se producen según un proceso de Poisson.
D significa "determinista" y significa que los trabajos que llegan a la cola requieren una cantidad fija de servicio.
k describe el número de servidores en el nodo de cola ( k = 1, 2, 3, ...)
Si el nodo tiene más trabajos que servidores, los trabajos se pondrán en cola y esperarán el servicio.
Después de la década de 1940, la teoría de colas se convirtió en un área de investigación de interés para los matemáticos. [14] En 1953, David George Kendall resolvió la cola GI/M/ k [15] e introdujo la notación moderna para colas, ahora conocida como notación de Kendall . En 1957, Pollaczek estudió el GI/G/1 utilizando una ecuación integral . [16] John Kingman dio una fórmula para el tiempo medio de espera en una cola G/G/1 , ahora conocida como fórmula de Kingman . [17]
Leonard Kleinrock trabajó en la aplicación de la teoría de colas a la conmutación de mensajes a principios de los años 1960 y a la conmutación de paquetes a principios de los años 1970. Su contribución inicial a este campo fue su tesis doctoral en el Instituto Tecnológico de Massachusetts en 1962, publicada en forma de libro en 1964. Su trabajo teórico publicado a principios de la década de 1970 apuntaló el uso de la conmutación de paquetes en ARPANET , un precursor de Internet.
Los sistemas con órbitas acopladas son una parte importante de la teoría de colas en su aplicación a redes inalámbricas y procesamiento de señales. [19]
La aplicación moderna de la teoría de colas se refiere, entre otras cosas, al desarrollo de productos en los que los productos (materiales) tienen una existencia espaciotemporal, en el sentido de que los productos tienen un cierto volumen y una determinada duración. [20]
Problemas como las métricas de rendimiento para la cola M/G/ k siguen siendo un problema abierto. [12] [14]
Disciplinas de servicio
Se pueden utilizar varias políticas de programación en los nodos de cola:
También llamado primero en llegar, primero en ser atendido (FCFS), [21] este principio establece que los clientes son atendidos uno a la vez y que el cliente que ha estado esperando más tiempo es atendido primero. [22]
Este principio también atiende a los clientes uno a la vez, pero el cliente con el menor tiempo de espera será atendido primero. [22] También conocido como pila .
La capacidad de servicio se comparte equitativamente entre los clientes. [22]
Prioridad
Los clientes con alta prioridad son atendidos primero. [22] Las colas de prioridad pueden ser de dos tipos: no preventivas (donde un trabajo en servicio no puede interrumpirse) y preventivas (donde un trabajo en servicio puede ser interrumpido por un trabajo de mayor prioridad). No se pierde trabajo en ninguno de los modelos. [23]
El siguiente trabajo a realizar es aquel con el menor requisito de procesamiento restante. [26]
Instalación de servicio
Servidor único: los clientes hacen fila y solo hay un servidor
Varios servidores paralelos (cola única): los clientes hacen fila y hay varios servidores
Varios servidores paralelos (varias colas): hay muchos contadores y los clientes pueden decidir en cuál hacer cola
Servidor no confiable
Las fallas del servidor ocurren según un proceso estocástico (aleatorio) (generalmente Poisson) y van seguidas de períodos de configuración durante los cuales el servidor no está disponible. El cliente interrumpido permanece en el área de servicio hasta que se arregle el servidor. [27]
Comportamiento de espera del cliente
Reticencias: los clientes deciden no unirse a la cola si es demasiado larga
Jockeying: los clientes cambian de cola si creen que serán atendidos más rápido al hacerlo.
Incumplimiento: los clientes abandonan la cola si han esperado demasiado para recibir el servicio.
Los clientes que llegan y no son atendidos (ya sea porque la cola no tiene buffer o porque el cliente se resiste o incumple) también se conocen como abandonos . La tasa promedio de abandonos es un parámetro importante que describe una cola.
Redes de cola
Las redes de colas son sistemas en los que se conectan varias colas mediante el enrutamiento del cliente . Cuando un cliente recibe servicio en un nodo, puede unirse a otro nodo y hacer cola para recibir servicio, o abandonar la red.
Para redes de m nodos, el estado del sistema se puede describir mediante un vector m –dimensional ( x 1 , x 2 , ..., x m ) donde x i representa el número de clientes en cada nodo.
Las redes de colas no triviales más simples se denominan colas en tándem . [28] Los primeros resultados significativos en esta área fueron las redes de Jackson , [29] [30] para las cuales existe una distribución estacionaria eficiente en forma de producto y el análisis del valor medio [31] (que permite métricas promedio como el rendimiento y los tiempos de estancia) se puede calcular. [32] Si el número total de clientes en la red permanece constante, la red se llama red cerrada y se ha demostrado que también tiene una distribución estacionaria en forma de producto según el teorema de Gordon-Newell . [33] Este resultado se extendió a la red BCMP , [34] donde se muestra que una red con tiempo de servicio, regímenes y enrutamiento de clientes muy generales también exhibe una distribución estacionaria en forma de producto. La constante de normalización se puede calcular con el algoritmo de Buzen , propuesto en 1973. [35]
También se han investigado redes de clientes, como las redes Kelly , donde clientes de diferentes clases experimentan diferentes niveles de prioridad en diferentes nodos de servicio. [36] Otro tipo de red son las redes G , propuestas por primera vez por Erol Gelenbe en 1993: [37] estas redes no asumen distribuciones de tiempo exponenciales como la red clásica de Jackson.
Algoritmos de enrutamiento
En redes de tiempo discreto donde existe una restricción sobre qué nodos de servicio pueden estar activos en cualquier momento, el algoritmo de programación de peso máximo elige una política de servicio para brindar un rendimiento óptimo en el caso de que cada trabajo visite solo un nodo de servicio de una sola persona. [21] En el caso más general en el que los trabajos pueden visitar más de un nodo, el enrutamiento de contrapresión proporciona un rendimiento óptimo. Un planificador de red debe elegir un algoritmo de cola , que afecta las características de la red más grande. [38]
Límites de campo medio
Los modelos de campo medio consideran el comportamiento limitante de la medida empírica (proporción de colas en diferentes estados) cuando el número de colas m se acerca al infinito. El impacto de otras colas en cualquier cola determinada de la red se aproxima mediante una ecuación diferencial. El modelo determinista converge a la misma distribución estacionaria que el modelo original. [39]
Aproximaciones de tráfico pesado/difusión
En un sistema con altas tasas de ocupación (utilización cercana a 1), se puede utilizar una aproximación de tráfico pesado para aproximar el proceso de longitud de la cola mediante un movimiento browniano reflejado , [40] proceso de Ornstein-Uhlenbeck o un proceso de difusión más general . [41] El número de dimensiones del proceso browniano es igual al número de nodos en cola, con la difusión restringida al ortante no negativo .
Límites de fluidos
Los modelos de fluidos son análogos deterministas continuos de las redes de colas que se obtienen tomando el límite cuando el proceso se escala en el tiempo y el espacio, permitiendo objetos heterogéneos. Esta trayectoria escalada converge a una ecuación determinista que permite demostrar la estabilidad del sistema. Se sabe que una red de colas puede ser estable pero tener un límite de fluido inestable. [42]
Aplicaciones de cola
La teoría de colas encuentra una aplicación generalizada en informática y tecnología de la información. En redes, por ejemplo, las colas son parte integral de los enrutadores y conmutadores, donde los paquetes se ponen en cola para su transmisión. Al aplicar los principios de la teoría de colas, los diseñadores pueden optimizar estos sistemas, asegurando un rendimiento receptivo y una utilización eficiente de los recursos. Más allá del ámbito tecnológico, la teoría de las colas es relevante para las experiencias cotidianas. Ya sea esperando en la cola de un supermercado o del transporte público, comprender los principios de la teoría de las colas proporciona información valiosa para optimizar estos sistemas y mejorar la satisfacción del usuario. En algún momento, todos estarán involucrados en un aspecto de las colas. Lo que algunos pueden considerar un inconveniente podría ser posiblemente el método más eficaz. La teoría de colas, una disciplina arraigada en las matemáticas aplicadas y la informática, es un campo dedicado al estudio y análisis de colas o líneas de espera, y sus implicaciones en una amplia gama de aplicaciones. Este marco teórico ha demostrado ser fundamental para comprender y optimizar la eficiencia de los sistemas caracterizados por la presencia de colas. El estudio de las colas es esencial en contextos como los sistemas de tráfico, las redes informáticas, las telecomunicaciones y las operaciones de servicios. La teoría de colas profundiza en varios conceptos fundamentales, siendo centrales el proceso de llegada y el proceso de servicio. El proceso de llegada describe la manera en que las entidades se unen a la cola a lo largo del tiempo, a menudo modelado mediante procesos estocásticos como los procesos de Poisson. La eficiencia de los sistemas de colas se mide mediante métricas clave de rendimiento. Estos incluyen la longitud promedio de la cola, el tiempo de espera promedio y el rendimiento del sistema. Estas métricas brindan información sobre la funcionalidad del sistema, guiando las decisiones destinadas a mejorar el rendimiento y reducir los tiempos de espera. Referencias: Gross, D. y Harris, CM (1998). Fundamentos de la teoría de colas. John Wiley e hijos. Kleinrock, L. (1976). Sistemas de colas: Volumen I - Teoría. Wiley. Cooper, BF y Mitrani, I. (1985). Redes de colas: un enfoque fundamental. John Wiley e hijos
^ abc Sundarapandian, V. (2009). "7. Teoría de las colas". Probabilidad, Estadística y Teoría de Colas . Aprendizaje de PHI. ISBN 978-81-203-3844-9.
^ Lawrence W. Dowdy, Virgilio AF Almeida, Daniel A. Menasce. "Rendimiento por diseño: planificación de la capacidad informática con ejemplo". Archivado desde el original el 6 de mayo de 2016 . Consultado el 8 de julio de 2009 .
^ Schlechter, Kira (2 de marzo de 2009). "Hershey Medical Center abrirá una sala de emergencias rediseñada". The Patriot-News . Archivado desde el original el 29 de junio de 2016 . Consultado el 12 de marzo de 2009 .
^ Mayhew, Les; Smith, David (diciembre de 2006). Uso de la teoría de colas para analizar los tiempos de finalización en los departamentos de accidentes y emergencias a la luz del objetivo gubernamental de 4 horas. Escuela de Negocios Cass . ISBN978-1-905752-06-5. Archivado desde el original el 7 de septiembre de 2021 . Consultado el 20 de mayo de 2008 .
^ abc Taylor, Bernard W. (2019). Introducción a la ciencia de la gestión (13ª ed.). Nueva York: Pearson. ISBN978-0-13-473066-0.
^ Tijms, HC, Análisis algorítmico de colas , capítulo 9 de un primer curso de modelos estocásticos, Wiley, Chichester, 2003
^ Kendall, director general (1953). "Procesos estocásticos que ocurren en la teoría de colas y su análisis mediante el método de la cadena de Markov incrustada". Los anales de la estadística matemática . 24 (3): 338–354. doi : 10.1214/aoms/1177728975 . JSTOR 2236285.
^ Hernández-Suárez, Carlos (2010). "Una aplicación de la teoría de colas a los modelos epidémicos SIS y SEIS". Matemáticas. Biosci . 7 (4): 809–823. doi : 10.3934/mbe.2010.7.809 . PMID 21077709.
^ "Agner Krarup Erlang (1878-1929) | plus.maths.org". Pass.maths.org.uk. 30 de abril de 1997. Archivado desde el original el 7 de octubre de 2008 . Consultado el 22 de abril de 2013 .
^ Asmussen, SR; Boxma, DO (2009). "Introducción editorial". Sistemas de colas . 63 (1–4): 1–2. doi :10.1007/s11134-009-9151-8. S2CID 45664707.
^ Erlang, AgnerKrarup (1909). «La teoría de las probabilidades y las conversaciones telefónicas» (PDF) . Nyt Tidsskrift para Matematik B. 20 : 33–39. Archivado desde el original (PDF) el 1 de octubre de 2011.
^ abc Kingman, JFC (2009). "El primer siglo de Erlang y el siguiente". Sistemas de colas . 63 (1–4): 3–4. doi :10.1007/s11134-009-9147-4. S2CID 38588726.
^ Pollaczek, F., Ueber eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitstheorie, Matemáticas. Z. 1930
^ Kendall, DG: Procesos estocásticos que ocurren en la teoría de colas y su análisis mediante el método de la cadena de Markov incrustada, Ann. Matemáticas. Estadística. 1953
^ Pollaczek, F., Problemas estocásticos planteados por el fenómeno de formación de una cola
^ Ramaswami, V. (1988). "Una recursión estable para el vector de estado estacionario en cadenas de Markov de tipo m/g/1". Comunicaciones en Estadística. Modelos estocásticos . 4 : 183–188. doi : 10.1080/15326348808807077.
^ Morózov, E. (2017). "Análisis de estabilidad de un sistema de nuevo ensayo multiclase con colas de órbita acopladas". Actas del 14º Taller Europeo . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 17. págs. 85–98. doi : 10.1007/978-3-319-66583-2_6 . ISBN978-3-319-66582-5.
^ Carlson, CE; Felder, RM (1992). "Simulación y modelado de redes de colas de campañas de producción de un solo producto". Informática e Ingeniería Química . 16 (7): 707–718. doi :10.1016/0098-1354(92)80018-5.
^ ab Manuel, Laguna (2011). Modelado, Simulación y Diseño de Procesos de Negocio. Educación Pearson India. pag. 178.ISBN978-81-317-6135-9. Consultado el 6 de octubre de 2017 .
^ abcd Penttinen A., Capítulo 8 - Sistemas de colas , Notas de la conferencia: S-38.145 - Introducción a la teoría del teletráfico.
^ Harchol-Balter, M. (2012). "Programación: políticas no preventivas basadas en el tamaño". Modelado y Diseño de Rendimiento de Sistemas Informáticos . págs. 499–507. doi :10.1017/CBO9781139226424.039. ISBN978-1-139-22642-4.
^ Andrew S. Tanenbaum; Herbert Bos (2015). Sistemas operativos modernos. Pearson. ISBN978-0-13-359162-0.
^ Harchol-Balter, M. (2012). "Programación: políticas preventivas basadas en el tamaño". Modelado y Diseño de Rendimiento de Sistemas Informáticos . págs. 508–517. doi :10.1017/CBO9781139226424.040. ISBN978-1-139-22642-4.
^ Harchol-Balter, M. (2012). "Programación: SRPT y equidad". Modelado y Diseño de Rendimiento de Sistemas Informáticos . págs. 518–530. doi :10.1017/CBO9781139226424.041. ISBN978-1-139-22642-4.
^ Dimitriou, I. (2019). "Un sistema de nuevo ensayo multiclase con órbitas acopladas e interrupciones del servicio: verificación de condiciones de estabilidad". Actas de FRUCT 24 . 7 : 75–82.
^ "Copia archivada" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 29 de marzo de 2017 . Consultado el 2 de agosto de 2018 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
^ Jackson, JR (1957). "Redes de colas de espera". La investigación de operaciones . 5 (4): 518–521. doi :10.1287/opre.5.4.518. JSTOR 167249.
^ Jackson, James R. (octubre de 1963). "Sistemas de colas tipo taller". Ciencias de la gestión . 10 (1): 131-142. doi :10.1287/mnsc.1040.0268. JSTOR 2627213.
^ Reiser, M.; Lavenberg, SS (1980). "Análisis de valor medio de redes de colas multicadena cerradas". Revista de la ACM . 27 (2): 313. doi : 10.1145/322186.322195 . S2CID 8694947.
^ Van Dijk, Nuevo México (1993). "Sobre el teorema de la llegada para redes de comunicación". Redes Informáticas y Sistemas RDSI . 25 (10): 1135-2013. doi :10.1016/0169-7552(93)90073-D. S2CID 45218280. Archivado desde el original el 24 de septiembre de 2019 . Consultado el 24 de septiembre de 2019 .
^ Baskett, F.; Chandy, K. Mani ; Muntz, RR; Palacios, FG (1975). “Redes de colas abiertas, cerradas y mixtas con diferentes clases de clientes”. Revista de la ACM . 22 (2): 248–260. doi : 10.1145/321879.321887 . S2CID 15204199.
^ Buzen, JP (1973). "Algoritmos computacionales para redes de colas cerradas con servidores exponenciales" (PDF) . Comunicaciones de la ACM . 16 (9): 527–531. doi :10.1145/362342.362345. S2CID 10702. Archivado (PDF) desde el original el 13 de mayo de 2016 . Consultado el 1 de septiembre de 2015 .
^ Kelly, FP (1975). "Redes de Colas con Clientes de Diferentes Tipos". Revista de probabilidad aplicada . 12 (3): 542–554. doi :10.2307/3212869. JSTOR 3212869. S2CID 51917794.
^ Gelenbe, Erol (septiembre de 1993). "G-Networks con movimiento de clientes activado". Revista de probabilidad aplicada . 30 (3): 742–748. doi :10.2307/3214781. JSTOR 3214781. S2CID 121673725.
^ Newell, GF (1982). "Aplicaciones de la teoría de colas". Enlace Springer . doi :10.1007/978-94-009-5970-5. ISBN978-94-009-5972-9.
^ Bobbio, A.; Gribaudo, M.; Telek, MS (2008). "Análisis de sistemas interactivos a gran escala mediante el método de campo medio". 2008 Quinta Conferencia Internacional sobre Evaluación Cuantitativa de Sistemas . pag. 215. doi :10.1109/QEST.2008.47. ISBN978-0-7695-3360-5. S2CID 2714909.
^ Chen, H.; Whitt, W. (1993). "Aproximaciones de difusión para redes de colas abiertas con interrupciones del servicio". Sistemas de colas . 13 (4): 335. doi : 10.1007/BF01149260. S2CID 1180930.
^ Yamada, K. (1995). "Aproximación de difusión para redes de colas abiertas dependientes del estado en situaciones de tráfico intenso". Los anales de la probabilidad aplicada . 5 (4): 958–982. doi : 10.1214/aoap/1177004602 . JSTOR 2245101.
^ Bramson, M. (1999). "Una red de colas estable con un modelo de fluido inestable". Los anales de la probabilidad aplicada . 9 (3): 818–853. doi : 10.1214/aoap/1029962815 . JSTOR 2667284.
Otras lecturas
Bruto, Donald; Carl M. Harris (1998). Fundamentos de la teoría de colas . Wiley. ISBN 978-0-471-32812-4.En línea
Zukerman, Moshe (2013). Introducción a la teoría de colas y modelos estocásticos de teletráfico (PDF) . arXiv : 1307.2968 .
Deitel, Harvey M. (1984) [1982]. Una introducción a los sistemas operativos (primera edición revisada). Addison-Wesley. pag. 673.ISBN 978-0-201-14502-1.Capítulo 15, págs. 380–412
Gelenbe, Erol; Isi Mitrani (2010). Análisis y Síntesis de Sistemas Informáticos. Científico mundial 2ª edición. ISBN 978-1-908978-42-4.
Newell, Gordron F. (1 de junio de 1971). Aplicaciones de la teoría de colas . Chapman y Hall.
Leonard Kleinrock, Flujo de información en grandes redes de comunicación, (MIT, Cambridge, 31 de mayo de 1961) Propuesta para un doctorado. Tesis
Leonard Kleinrock. Flujo de información en grandes redes de comunicación (Informe de progreso trimestral de RLE, julio de 1961)
Leonard Kleinrock. Redes de comunicación: retraso y flujo de mensajes estocásticos (McGraw-Hill, Nueva York, 1964)
Kleinrock, Leonard (2 de enero de 1975). Sistemas de colas: Volumen I - Teoría . Nueva York: Wiley Interscience. págs.417. ISBN 978-0-471-49110-1.
Kleinrock, Leonard (22 de abril de 1976). Sistemas de colas: Volumen II - Aplicaciones informáticas. Nueva York: Wiley Interscience. págs.576. ISBN 978-0-471-49111-8.
Lazowska, Edward D.; Juan Zahorján; G. Scott Graham; Kenneth C. Sevcik (1984). Rendimiento cuantitativo del sistema: análisis de sistemas informáticos utilizando modelos de redes de colas. Prentice-Hall, Inc. ISBN 978-0-13-746975-8.
Jon Kleinberg; Éva Tardos (30 de junio de 2013). Diseño de algoritmos. Pearson. ISBN 978-1-292-02394-6.
enlaces externos
Busque hacer cola o hacer cola en Wikcionario, el diccionario gratuito.
Tutorial y calculadoras de teoría de colas de Teknomo
Curso de teoría de colas de Virtamo
Página de teoría de colas de Myron Hlynka
LINE: un motor de propósito general para resolver modelos de colas